Страница 164 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие свойства площади фигуры вы знаете?

Площадью фигуры называется неотрицательная величина, численное значение которой обладает следующими основными свойствами:

• Неотрицательность. Площадь любой геометрической фигуры является неотрицательным числом. Это означает, что площадь не может быть меньше нуля. Математически это свойство записывается как $S(F) \ge 0$ для любой фигуры $F$. Площадь равна нулю только для вырожденных фигур, таких как точка или отрезок прямой.

• Инвариантность. Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если одну фигуру можно совместить с другой путем наложения (с помощью движения: параллельного переноса, поворота или зеркального отражения), то их площади одинаковы. То есть, если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$, то их площади $S(F_1)$ и $S(F_2)$ также равны: $S(F_1) = S(F_2)$.

• Аддитивность. Если фигура составлена из нескольких частей (фигур), которые не имеют общих внутренних точек (пересекаются только по границе), то её общая площадь равна сумме площадей этих частей. Например, если фигура $F$ разделена на две части $F_1$ и $F_2$, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей: $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$.

• Нормированность. Площадь квадрата, сторона которого равна единице длины, принимается за единицу площади (так называемый единичный квадрат). Например, если сторона квадрата равна 1 см, то его площадь равна 1 квадратному сантиметру ($1 \text{ см}^2$). Это свойство устанавливает эталон для измерения площадей других фигур.

Ответ: Основные свойства площади фигуры: неотрицательность, инвариантность (равные фигуры имеют равные площади), аддитивность (площадь целого равна сумме площадей его частей), нормированность (существование единицы измерения площади).

2. Какой квадрат называют единичным?

Единичным квадратом называют квадрат, длина стороны которого принята за единицу измерения. Проще говоря, это квадрат, у которого все стороны равны 1.

Эта единица длины может быть любой: 1 сантиметр, 1 метр, 1 дюйм и так далее. Соответственно, площадь такого квадрата будет равна одной квадратной единице (1 квадратному сантиметру, 1 квадратному метру, 1 квадратному дюйму и т.д.).

Площадь любого квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — это длина его стороны. Для единичного квадрата, поскольку $a = 1$, его площадь всегда будет равна $S = 1^2 = 1$.

Единичные квадраты являются основной единицей измерения площади. Площадь любой плоской фигуры показывает, сколько единичных квадратов можно разместить внутри этой фигуры.

Ответ: Единичный квадрат — это квадрат, сторона которого равна 1.

3. Какие единицы измерения площади вы знаете?

Существует множество единиц измерения площади, которые можно сгруппировать по различным системам. Основной единицей площади в Международной системе единиц (СИ) является квадратный метр.

Метрические единицы площади

Эти единицы основаны на метре и являются наиболее распространенными в мире. Каждая последующая единица в 100 раз больше предыдущей.
- Квадратный миллиметр (мм²): площадь квадрата со стороной 1 мм.
- Квадратный сантиметр (см²): $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$.
- Квадратный дециметр (дм²): $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.
- Квадратный метр (м²): основная единица площади в системе СИ. $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10 \ 000 \text{ см}^2$.
- Квадратный километр (км²): используется для измерения больших территорий, например, городов и стран. $1 \text{ км}^2 = 1 \ 000 \ 000 \text{ м}^2$.

Земельные единицы площади

Эти единицы тесно связаны с метрической системой и широко применяются для измерения земельных участков в сельском хозяйстве и землеустройстве.
- Ар (а), более известный как сотка, так как он равен площади квадрата со стороной 10 м. $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
- Гектар (га): равен площади квадрата со стороной 100 м. $1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 10 \ 000 \text{ м}^2$. Соотношение с квадратным километром: $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$.

Британские и американские (имперские) единицы площади

Эта система используется в основном в США, Великобритании и некоторых других странах.
- Квадратный дюйм (in²): $1 \text{ in}^2 \approx 6.45 \text{ см}^2$.
- Квадратный фут (ft²): $1 \text{ ft}^2 = 144 \text{ in}^2 \approx 0.093 \text{ м}^2$.
- Квадратный ярд (yd²): $1 \text{ yd}^2 = 9 \text{ ft}^2 \approx 0.836 \text{ м}^2$.
- Акр (acre): $1 \text{ акр} \approx 4047 \text{ м}^2$.
- Квадратная миля (mi²): $1 \text{ миля}^2 = 640 \text{ акров} \approx 2.59 \text{ км}^2$.

Старорусские единицы площади

Эти единицы в настоящее время практически не используются, но их можно встретить в исторических документах и литературе.
- Квадратная сажень: $\approx 4.55 \text{ м}^2$.
- Десятина: $1 \text{ десятина} = 2400 \text{ квадратным саженям} \approx 1.09 \text{ га}$.
- Квадратная верста: $1 \text{ кв. верста} \approx 1.138 \text{ км}^2$.

Ответ: Наиболее известные единицы измерения площади включают метрические (квадратный миллиметр, сантиметр, метр, километр), земельные (ар или сотка, гектар), а также имперские (квадратный дюйм, фут, ярд, акр, квадратная миля) и вышедшие из употребления старорусские единицы (десятина, квадратная сажень).

4. Что означает измерить площадь фигуры?

Измерить площадь фигуры — это значит найти численную характеристику, которая показывает размер части плоскости, занимаемой этой фигурой. Этот процесс заключается в сравнении данной фигуры с другой фигурой, принятой за единицу измерения (эталон).

В качестве эталона площади обычно выбирают единичный квадрат — это квадрат, сторона которого равна единице длины (например, 1 сантиметр, 1 метр и т.д.). Площадь такого квадрата называется единицей измерения площади (квадратный сантиметр $см^2$, квадратный метр $м^2$ и т.д.).

Таким образом, измерить площадь фигуры означает подсчитать, сколько раз выбранная единица измерения (единичный квадрат) и её части укладываются в данной фигуре. Результатом измерения является положительное число, которое показывает отношение площади фигуры к площади единичного квадрата.

Процесс измерения площади основывается на нескольких ключевых свойствах:

• Площадь любой фигуры является неотрицательным числом ($S \ge 0$).
• Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади.
• Если фигура разделена на несколько частей, не имеющих общих внутренних точек, то её общая площадь равна сумме площадей этих частей. Например, если фигура $F$ состоит из частей $F_1$ и $F_2$, то их площади связаны соотношением $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$.
• Площадь единичного квадрата принимается равной единице.

Например, если мы говорим, что площадь прямоугольника равна $20 \text{ см}^2$, это означает, что внутри этого прямоугольника можно разместить ровно 20 квадратов со стороной 1 см.

Ответ: Измерить площадь фигуры — это определить, сколько раз эталонная единица площади (например, квадратный сантиметр) помещается внутри этой фигуры.