Страница 169 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

764. На бумаге в клетку нарисован многоугольник (рис. 177). Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, нарисуйте многоугольник, площадь которого на 2 $см^2$ больше площади данного многоугольника, а периметр на 4 см меньше его периметра (стороны многоугольника должны лежать на линиях сетки).

Рис. 177

Для того чтобы нарисовать требуемый многоугольник, необходимо сначала найти площадь и периметр исходной фигуры, изображенной на рисунке.

1. Находим площадь и периметр исходного многоугольника.

Площадь многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, можно найти, посчитав количество клеток (квадратов со стороной 1 см) внутри него.
Фигура состоит из прямоугольного основания размером $5 \times 1$ клеток и трех одинаковых "выступов" размером $1 \times 3$ клетки каждый.
Площадь основания: $S_{основания} = 5 \times 1 = 5 \text{ см}^2$.
Суммарная площадь трех выступов: $S_{выступов} = 3 \times (1 \times 3) = 9 \text{ см}^2$.
Общая площадь исходного многоугольника ($S_{исх}$) равна сумме этих площадей:$S_{исх} = S_{основания} + S_{выступов} = 5 + 9 = 14 \text{ см}^2$.

Периметр многоугольника ($P_{исх}$) – это сумма длин всех его сторон. Посчитаем сумму длин всех горизонтальных и вертикальных отрезков, образующих его границу:
Сумма длин горизонтальных отрезков: $5 (\text{нижняя сторона}) + 1+1+1 (\text{вершины выступов}) + 1+1 (\text{углубления между выступами}) = 10 \text{ см}$.
Сумма длин вертикальных отрезков: $1 (\text{левая сторона}) + 1 (\text{правая сторона}) + 6 \times 3 (\text{боковые стороны трех выступов}) = 1 + 1 + 3 \times (3+3) = 1+1+18 = 20 \text{ см}$.
Этот способ подсчета не совсем корректен, так как некоторые отрезки могут быть посчитаны неверно. Более надежный способ — просуммировать длины всех отрезков по контуру.
Двигаясь по часовой стрелке от левого нижнего угла: $5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 = 24 \text{ см}$.
Таким образом, периметр исходного многоугольника $P_{исх} = 24 \text{ см}$.

2. Определяем параметры нового многоугольника.

Согласно условию задачи, площадь нового многоугольника ($S_{нов}$) должна быть на 2 см² больше площади исходного:
$S_{нов} = S_{исх} + 2 \text{ см}^2 = 14 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

Периметр нового многоугольника ($P_{нов}$) должен быть на 4 см меньше периметра исходного:
$P_{нов} = P_{исх} - 4 \text{ см} = 24 \text{ см} - 4 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

3. Строим новый многоугольник.

Нам необходимо нарисовать многоугольник, стороны которого лежат на линиях сетки, с площадью $S_{нов} = 16 \text{ см}^2$ и периметром $P_{нов} = 20 \text{ см}$.
Самый простой вид такого многоугольника — прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$.
Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b$.
Периметр прямоугольника: $P = 2(a + b)$.
Подставим требуемые значения и решим систему уравнений:
$a \cdot b = 16$
$2(a + b) = 20 \implies a + b = 10$
Подбираем два целых числа, произведение которых равно 16, а сумма — 10. Этими числами являются 2 и 8.
Значит, прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см удовлетворяет условиям задачи.
Проверим:
Площадь: $S = 2 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.
Периметр: $P = 2(2 \text{ см} + 8 \text{ см}) = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
Все условия выполнены.

Ответ:
Один из возможных многоугольников, удовлетворяющих условиям задачи, — это прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см. Его изображение на клетчатой бумаге представлено ниже:

765. На бумаге в клетку нарисован многоугольник (рис. 178). Считая, что длина стороны клетки равна $1\text{ см}$, нарисуйте многоугольник, площадь которого на $1\text{ см}^2$ меньше площади данного многоугольника, а периметр равен периметру данного многоугольника (стороны многоугольника должны лежать на линиях сетки).

Рис. 178

Для решения этой задачи сначала найдем площадь и периметр исходного многоугольника, а затем построим новый многоугольник с требуемыми параметрами.

1. Нахождение площади и периметра исходного многоугольника.

Многоугольник нарисован на клетчатой бумаге, где сторона каждой клетки равна 1 см.

• Площадь (S₁): Площадь можно найти, посчитав количество целых клеток внутри многоугольника. Внутри фигуры находится 5 клеток. Площадь одной клетки составляет $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.
  Таким образом, площадь исходного многоугольника: $S₁ = 5 \times 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.
• Периметр (P₁): Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. Посчитаем длину внешней границы фигуры, двигаясь по линиям сетки. Проследим контур фигуры по часовой стрелке, начиная с левого нижнего угла:
  1. Вверх на 2 см
  2. Вправо на 1 см
  3. Вниз на 1 см
  4. Вправо на 1 см
  5. Вверх на 1 см
  6. Вправо на 1 см
  7. Вниз на 1 см
  8. Вправо на 1 см
  9. Вниз на 1 см
  10. Влево на 4 см
  Сложим длины всех этих отрезков, чтобы найти периметр: $P₁ = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 = 14 \text{ см}$.

Итак, исходный многоугольник имеет площадь $S₁ = 5 \text{ см}^2$ и периметр $P₁ = 14 \text{ см}$.

2. Определение параметров нового многоугольника.

Согласно условию задачи, новый многоугольник должен иметь:

• Площадь (S₂): на 1 см² меньше площади данного многоугольника. $S₂ = S₁ - 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2 - 1 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$.
• Периметр (P₂): равен периметру данного многоугольника. $P₂ = P₁ = 14 \text{ см}$.

Наша задача — нарисовать многоугольник, стороны которого лежат на линиях сетки, с площадью 4 см² и периметром 14 см.

3. Построение нового многоугольника.

Простые фигуры, состоящие из 4-х клеток (например, квадрат 2х2 или прямоугольник 1х4), имеют периметр 8 см и 10 см соответственно. Чтобы получить больший периметр при той же площади, фигура должна иметь более сложную, "изрезанную" форму.

Мы можем построить нужную фигуру, модифицируя простой прямоугольник. Возьмем за основу прямоугольник размером 3х2 см.

• Его начальная площадь $S_0 = 3 \times 2 = 6 \text{ см}^2$.
• Его начальный периметр $P_0 = 2 \times (3 + 2) = 10 \text{ см}$.

Нам нужно уменьшить площадь на $6 - 4 = 2 \text{ см}^2$ и увеличить периметр на $14 - 10 = 4 \text{ см}$.

Этого можно добиться, сделав два "внутренних выреза" размером 1х1 см. Каждый такой вырез (когда отрезок границы длиной 1 см заменяется тремя отрезками по 1 см, образующими выемку) уменьшает площадь на 1 см² и увеличивает периметр на 2 см.

Выполнив два таких выреза, мы получим:

• Новая площадь: $S₂ = S_0 - 1 - 1 = 6 - 2 = 4 \text{ см}^2$.
• Новый периметр: $P₂ = P_0 + 2 + 2 = 10 + 4 = 14 \text{ см}$.

Эти параметры соответствуют требованиям задачи. Один из возможных вариантов такого многоугольника показан на рисунке ниже. Он получен из прямоугольника 3х2 путем вырезания одной клетки из середины длинной стороны и одной клетки из середины короткой стороны.

Ответ: Требуемый многоугольник должен иметь площадь 4 см² и периметр 14 см. Пример такого многоугольника — прямоугольник 3х2 с одним вырезом 1х1 см на длинной стороне и одним вырезом 1х1 см на короткой стороне, как показано на рисунке.

766. Длина каждой из сторон прямоугольного листа бумаги равна целому числу сантиметров, а площадь листа — $12 \text{ см}^2$. Сколько квадратов площадью $4 \text{ см}^2$ можно вырезать из этого прямоугольника?

По условию задачи, у нас есть прямоугольный лист бумаги, площадь которого $S_{листа} = 12 \text{ см}^2$. Длины его сторон, обозначим их как $a$ и $b$, являются целыми числами. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Следовательно, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 12.

Возможные пары сторон для такого прямоугольника:

• 1 см и 12 см ($1 \cdot 12 = 12$)
• 2 см и 6 см ($2 \cdot 6 = 12$)
• 3 см и 4 см ($3 \cdot 4 = 12$)

Из этого листа нужно вырезать квадраты площадью $S_{квадрата} = 4 \text{ см}^2$. Найдем длину стороны такого квадрата. Если сторона квадрата равна $c$, то его площадь $S_{квадрата} = c^2$. Значит, $c^2 = 4 \text{ см}^2$, откуда $c = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь рассмотрим каждый возможный вариант размеров прямоугольного листа и посчитаем, сколько квадратов со стороной 2 см можно из него вырезать.

Случай 1: Размеры листа 1 см × 12 см.
Чтобы вырезать квадрат со стороной 2 см, обе стороны прямоугольника должны быть не меньше 2 см. Поскольку одна из сторон листа равна 1 см, что меньше 2 см, из такого листа невозможно вырезать ни одного квадрата со стороной 2 см.

Случай 2: Размеры листа 2 см × 6 см.
По стороне длиной 2 см поместится ровно один ряд квадратов ($2 \div 2 = 1$).
По стороне длиной 6 см поместится три квадрата в ряд ($6 \div 2 = 3$).
Общее количество квадратов, которые можно вырезать, будет равно $1 \cdot 3 = 3$.

Случай 3: Размеры листа 3 см × 4 см.
По стороне длиной 3 см поместится один ряд квадратов (поскольку $3 \div 2 = 1$ с остатком). Останется полоска размером 1 см × 4 см.
По стороне длиной 4 см поместится два квадрата в ряд ($4 \div 2 = 2$).
Общее количество квадратов, которые можно вырезать, будет равно $1 \cdot 2 = 2$.

Таким образом, количество квадратов, которое можно вырезать, зависит от исходных размеров прямоугольного листа.

Ответ: задача имеет несколько решений в зависимости от размеров листа бумаги. Если размеры листа 1 см и 12 см, то вырезать нельзя ни одного квадрата. Если размеры листа 2 см и 6 см, можно вырезать 3 квадрата. Если размеры листа 3 см и 4 см, можно вырезать 2 квадрата.

767. Скорость космического корабля «Восток», на котором Юрий Гагарин совершил свой полёт, равна $8 \text{ км/с}$.

1) За сколько минут он пролетал $960 \text{ км}$?

2) Какое расстояние он пролетал за $1 \text{ ч}$?

1) За сколько минут он пролетал 960 км?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой времени: $t = s / v$, где $t$ – время, $s$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Дано:
Скорость ($v$) = 8 км/с
Расстояние ($s$) = 960 км

1. Сначала найдем время в секундах, подставив данные в формулу:
$t = 960 \text{ км} / 8 \text{ км/с} = 120 \text{ с}$

2. Теперь переведем полученное время из секунд в минуты. Зная, что в одной минуте 60 секунд, разделим количество секунд на 60:
$120 \text{ с} / 60 = 2 \text{ мин}$

Ответ: 2 минуты.

2) Какое расстояние он пролетал за 1 ч?

Для нахождения расстояния используем формулу: $s = v \times t$.

Дано:
Скорость ($v$) = 8 км/с
Время ($t$) = 1 ч

1. Для проведения расчетов необходимо, чтобы единицы измерения времени были одинаковыми. Переведем 1 час в секунды:
В 1 часе 60 минут, а в 1 минуте 60 секунд.
$t = 1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} = 3600 \text{ с}$

2. Теперь можем вычислить расстояние, которое пролетал корабль за 1 час:
$s = 8 \text{ км/с} \times 3600 \text{ с} = 28800 \text{ км}$

Ответ: 28 800 км.

768. Выполните действия:

1) $1008 \cdot 604 - 105\ 984 : 12 - 54\ 321;$

2) $(57 \cdot 34 + 812\ 754 : 27) : 18.$

1) Для решения выражения $1008 \cdot 604 - 105984 : 12 - 54321$ необходимо выполнить действия согласно порядку их приоритета: сначала умножение и деление, затем вычитание.

1. Выполним умножение:

   $1008 \cdot 604 = 608832$

2. Выполним деление:

   $105984 : 12 = 8832$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение и выполним вычитание слева направо:

   $608832 - 8832 - 54321 = 600000 - 54321 = 545679$

Ответ: 545679

2) Для решения выражения $(57 \cdot 34 + 812754 : 27) : 18$ сначала выполняются действия в скобках, а затем действие за скобками. Внутри скобок сначала выполняем умножение и деление, а потом сложение.

1. Выполним умножение в скобках:

   $57 \cdot 34 = 1938$

2. Выполним деление в скобках:

   $812754 : 27 = 30102$

3. Теперь выполним сложение результатов в скобках:

   $1938 + 30102 = 32040$

4. И, наконец, разделим полученный результат на 18:

   $32040 : 18 = 1780$

Ответ: 1780

769. Для проведения Дня именинника родительский комитет закупил конфеты, печенье и вафли. Счёт за эту покупку неосторожно залили соком. Помогите восстановить счёт.

Название товара: Вафли

Кол-во упаковок: (залито соком)

Цена упаковки, р.: 105

Стоимость, р.: 1260

Название товара: Конфеты

Кол-во упаковок: 5

Цена упаковки, р.: (залито соком)

Стоимость, р.: (залито соком)

Название товара: Печенье

Кол-во упаковок: 9

Цена упаковки, р.: 210

Стоимость, р.: (залито соком)

Цена упаковки, р.: Итого

Стоимость, р.: 4575

Чтобы восстановить счёт, необходимо найти все недостающие значения в таблице, выполнив несколько математических действий.

Вафли

Известна общая стоимость вафель (1260 р.) и цена одной упаковки (105 р.). Чтобы найти количество купленных упаковок, нужно общую стоимость разделить на цену за упаковку.
$1260 \div 105 = 12$ (упаковок).
Ответ: было куплено 12 упаковок вафель.

Печенье

Известно количество упаковок печенья (9) и цена одной упаковки (210 р.). Чтобы найти общую стоимость, нужно умножить количество упаковок на цену.
$9 \times 210 = 1890$ (р.).
Ответ: стоимость всего печенья составляет 1890 р.

Конфеты

Для конфет известно только количество упаковок (5). Чтобы найти остальные значения, сначала определим общую стоимость конфет. Для этого из итоговой суммы счёта (4575 р.) вычтем уже известную стоимость вафель и печенья.
$4575 - (1260 + 1890) = 4575 - 3150 = 1425$ (р.).
Теперь, когда известна общая стоимость конфет (1425 р.) и количество упаковок (5), можно найти цену одной упаковки. Для этого разделим общую стоимость на количество.
$1425 \div 5 = 285$ (р.).
Ответ: стоимость всех конфет — 1425 р., а цена одной упаковки — 285 р.

Восстановленный счёт: