Номер 764, страница 169 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 27. Площадь. Площадь прямоугольника. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 764, страница 169.

764. На бумаге в клетку нарисован многоугольник (рис. 177). Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, нарисуйте многоугольник, площадь которого на 2 $см^2$ больше площади данного многоугольника, а периметр на 4 см меньше его периметра (стороны многоугольника должны лежать на линиях сетки).

Рис. 177

Для того чтобы нарисовать требуемый многоугольник, необходимо сначала найти площадь и периметр исходной фигуры, изображенной на рисунке.

1. Находим площадь и периметр исходного многоугольника.

Площадь многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, можно найти, посчитав количество клеток (квадратов со стороной 1 см) внутри него.
Фигура состоит из прямоугольного основания размером $5 \times 1$ клеток и трех одинаковых "выступов" размером $1 \times 3$ клетки каждый.
Площадь основания: $S_{основания} = 5 \times 1 = 5 \text{ см}^2$.
Суммарная площадь трех выступов: $S_{выступов} = 3 \times (1 \times 3) = 9 \text{ см}^2$.
Общая площадь исходного многоугольника ($S_{исх}$) равна сумме этих площадей:$S_{исх} = S_{основания} + S_{выступов} = 5 + 9 = 14 \text{ см}^2$.

Периметр многоугольника ($P_{исх}$) – это сумма длин всех его сторон. Посчитаем сумму длин всех горизонтальных и вертикальных отрезков, образующих его границу:
Сумма длин горизонтальных отрезков: $5 (\text{нижняя сторона}) + 1+1+1 (\text{вершины выступов}) + 1+1 (\text{углубления между выступами}) = 10 \text{ см}$.
Сумма длин вертикальных отрезков: $1 (\text{левая сторона}) + 1 (\text{правая сторона}) + 6 \times 3 (\text{боковые стороны трех выступов}) = 1 + 1 + 3 \times (3+3) = 1+1+18 = 20 \text{ см}$.
Этот способ подсчета не совсем корректен, так как некоторые отрезки могут быть посчитаны неверно. Более надежный способ — просуммировать длины всех отрезков по контуру.
Двигаясь по часовой стрелке от левого нижнего угла: $5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 = 24 \text{ см}$.
Таким образом, периметр исходного многоугольника $P_{исх} = 24 \text{ см}$.

2. Определяем параметры нового многоугольника.

Согласно условию задачи, площадь нового многоугольника ($S_{нов}$) должна быть на 2 см² больше площади исходного:
$S_{нов} = S_{исх} + 2 \text{ см}^2 = 14 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

Периметр нового многоугольника ($P_{нов}$) должен быть на 4 см меньше периметра исходного:
$P_{нов} = P_{исх} - 4 \text{ см} = 24 \text{ см} - 4 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

3. Строим новый многоугольник.

Нам необходимо нарисовать многоугольник, стороны которого лежат на линиях сетки, с площадью $S_{нов} = 16 \text{ см}^2$ и периметром $P_{нов} = 20 \text{ см}$.
Самый простой вид такого многоугольника — прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$.
Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b$.
Периметр прямоугольника: $P = 2(a + b)$.
Подставим требуемые значения и решим систему уравнений:
$a \cdot b = 16$
$2(a + b) = 20 \implies a + b = 10$
Подбираем два целых числа, произведение которых равно 16, а сумма — 10. Этими числами являются 2 и 8.
Значит, прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см удовлетворяет условиям задачи.
Проверим:
Площадь: $S = 2 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.
Периметр: $P = 2(2 \text{ см} + 8 \text{ см}) = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
Все условия выполнены.

Ответ:
Один из возможных многоугольников, удовлетворяющих условиям задачи, — это прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см. Его изображение на клетчатой бумаге представлено ниже: