Номер 765, страница 169 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 27. Площадь. Площадь прямоугольника. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 765, страница 169.

765. На бумаге в клетку нарисован многоугольник (рис. 178). Считая, что длина стороны клетки равна $1\text{ см}$, нарисуйте многоугольник, площадь которого на $1\text{ см}^2$ меньше площади данного многоугольника, а периметр равен периметру данного многоугольника (стороны многоугольника должны лежать на линиях сетки).

Рис. 178

Для решения этой задачи сначала найдем площадь и периметр исходного многоугольника, а затем построим новый многоугольник с требуемыми параметрами.

1. Нахождение площади и периметра исходного многоугольника.

Многоугольник нарисован на клетчатой бумаге, где сторона каждой клетки равна 1 см.

• Площадь (S₁): Площадь можно найти, посчитав количество целых клеток внутри многоугольника. Внутри фигуры находится 5 клеток. Площадь одной клетки составляет $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.
  Таким образом, площадь исходного многоугольника: $S₁ = 5 \times 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.
• Периметр (P₁): Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. Посчитаем длину внешней границы фигуры, двигаясь по линиям сетки. Проследим контур фигуры по часовой стрелке, начиная с левого нижнего угла:
  1. Вверх на 2 см
  2. Вправо на 1 см
  3. Вниз на 1 см
  4. Вправо на 1 см
  5. Вверх на 1 см
  6. Вправо на 1 см
  7. Вниз на 1 см
  8. Вправо на 1 см
  9. Вниз на 1 см
  10. Влево на 4 см
  Сложим длины всех этих отрезков, чтобы найти периметр: $P₁ = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 = 14 \text{ см}$.

Итак, исходный многоугольник имеет площадь $S₁ = 5 \text{ см}^2$ и периметр $P₁ = 14 \text{ см}$.

2. Определение параметров нового многоугольника.

Согласно условию задачи, новый многоугольник должен иметь:

• Площадь (S₂): на 1 см² меньше площади данного многоугольника. $S₂ = S₁ - 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2 - 1 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$.
• Периметр (P₂): равен периметру данного многоугольника. $P₂ = P₁ = 14 \text{ см}$.

Наша задача — нарисовать многоугольник, стороны которого лежат на линиях сетки, с площадью 4 см² и периметром 14 см.

3. Построение нового многоугольника.

Простые фигуры, состоящие из 4-х клеток (например, квадрат 2х2 или прямоугольник 1х4), имеют периметр 8 см и 10 см соответственно. Чтобы получить больший периметр при той же площади, фигура должна иметь более сложную, "изрезанную" форму.

Мы можем построить нужную фигуру, модифицируя простой прямоугольник. Возьмем за основу прямоугольник размером 3х2 см.

• Его начальная площадь $S_0 = 3 \times 2 = 6 \text{ см}^2$.
• Его начальный периметр $P_0 = 2 \times (3 + 2) = 10 \text{ см}$.

Нам нужно уменьшить площадь на $6 - 4 = 2 \text{ см}^2$ и увеличить периметр на $14 - 10 = 4 \text{ см}$.

Этого можно добиться, сделав два "внутренних выреза" размером 1х1 см. Каждый такой вырез (когда отрезок границы длиной 1 см заменяется тремя отрезками по 1 см, образующими выемку) уменьшает площадь на 1 см² и увеличивает периметр на 2 см.

Выполнив два таких выреза, мы получим:

• Новая площадь: $S₂ = S_0 - 1 - 1 = 6 - 2 = 4 \text{ см}^2$.
• Новый периметр: $P₂ = P_0 + 2 + 2 = 10 + 4 = 14 \text{ см}$.

Эти параметры соответствуют требованиям задачи. Один из возможных вариантов такого многоугольника показан на рисунке ниже. Он получен из прямоугольника 3х2 путем вырезания одной клетки из середины длинной стороны и одной клетки из середины короткой стороны.

Ответ: Требуемый многоугольник должен иметь площадь 4 см² и периметр 14 см. Пример такого многоугольника — прямоугольник 3х2 с одним вырезом 1х1 см на длинной стороне и одним вырезом 1х1 см на короткой стороне, как показано на рисунке.