Страница 174 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

772. На грани куба сидит божья коровка (рис. 190). Назовите грань куба, на которой она сидит, если вы:

1) видите божью коровку;

$MNKP$, $ADNM$, $DCPK$

2) не видите её.

$ABCD$, $ABMN$, $BCPK$

Рис. 190

а

б

На рисунках а и б изображён куб. В принятой для чертежа проекции наблюдатель видит три грани: верхнюю, переднюю и правую. Три другие грани (нижняя, задняя и левая) являются невидимыми. Рёбра невидимых граней на чертеже принято изображать пунктирными линиями.

Определим грани куба по его вершинам:

• Верхняя грань: $MNKP$ (видимая)
• Передняя грань: $ADPM$ (видимая)
• Правая грань: $DCKP$ (видимая)
• Левая грань: $ABNM$ (невидимая)
• Задняя грань: $BCKN$ (невидимая)
• Нижняя грань: $ADCB$ (невидимая)

1) видите божью коровку;

Если божья коровка видна, значит, она находится на одной из видимых граней. Рисунок 190, а иллюстрирует именно этот случай. На нём божья коровка сидит на верхней грани куба, которая образована вершинами $M, N, K, P$.
Ответ: грань $MNKP$.

2) не видите её

Если божья коровка не видна, значит, она находится на одной из невидимых граней. На рисунке 190, б её положение условно показано на левой, невидимой для наблюдателя, грани. Эта грань образована вершинами $A, B, N, M$.
Ответ: грань $ABNM$.

773. Измерения прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST (рис. 191) равны 9 см, 5 см и 6 см. Вычислите:

1) площадь грани MNKP;

2) площадь грани NFSK;

3) площадь поверхности параллелепипеда;

4) сумму длин всех его рёбер.

Рис. 191

1) площадь грани MNKP

Грань MNKP является прямоугольником (основанием параллелепипеда). Согласно рисунку и условию, длины смежных сторон этой грани равны 9 см и 5 см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон.

Пусть длина $l = 9$ см, а ширина $w = 5$ см.

Площадь грани MNKP, обозначим ее $S_{MNKP}$, равна:

$S_{MNKP} = l \cdot w = 9 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$

Ответ: $45 \text{ см}^2$

2) площадь грани NFSK

В прямоугольном параллелепипеде MNKPEFST грань NFSK является одной из боковых граней и также представляет собой прямоугольник. Вершины F и S расположены над вершинами N и K соответственно. Следовательно, стороны этого прямоугольника — это ребро NK (находящееся в основании) и ребро FN (являющееся высотой).

Ребро NK параллельно и равно ребру MP, длина которого, согласно условию, составляет 9 см. Таким образом, $NK = 9$ см.

Ребро FN является высотой параллелепипеда, его длина равна длине ребра EM, то есть 6 см. Таким образом, $FN = 6$ см.

Площадь грани NFSK, обозначим ее $S_{NFSK}$, равна:

$S_{NFSK} = NK \cdot FN = 9 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$

Ответ: $54 \text{ см}^2$

3) площадь поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда — это сумма площадей всех его шести граней. Параллелепипед имеет три пары равных по площади граней. Измерения параллелепипеда: длина $l=9$ см, ширина $w=5$ см, высота $h=6$ см.

Площади трех пар граней равны:

1. Площадь оснований (нижней и верхней граней): $S_1 = l \cdot w = 9 \cdot 5 = 45 \text{ см}^2$

2. Площадь боковых граней (передней и задней): $S_2 = l \cdot h = 9 \cdot 6 = 54 \text{ см}^2$

3. Площадь боковых граней (левой и правой): $S_3 = w \cdot h = 5 \cdot 6 = 30 \text{ см}^2$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) вычисляется как удвоенная сумма площадей этих трех различных граней:

$S_{полн} = 2 \cdot (S_1 + S_2 + S_3) = 2 \cdot (45 + 54 + 30) = 2 \cdot 129 = 258 \text{ см}^2$

Ответ: $258 \text{ см}^2$

4) сумму длин всех его рёбер

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер. Среди них 4 ребра равны длине, 4 — ширине и 4 — высоте. Измерения параллелепипеда: $l=9$ см, $w=5$ см, $h=6$ см.

Сумма длин всех рёбер ($L$) вычисляется по формуле:

$L = 4 \cdot l + 4 \cdot w + 4 \cdot h = 4 \cdot (l + w + h)$

Подставим значения:

$L = 4 \cdot (9 + 5 + 6) = 4 \cdot 20 = 80 \text{ см}$

Ответ: $80 \text{ см}$

774. Найдите сумму длин всех рёбер и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 7 см, 10 см и 11 см.

Для решения задачи обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$.
По условию задачи имеем: $a = 7$ см, $b = 10$ см, $c = 11$ см.

Сумма длин всех рёбер

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины. Сумма длин всех рёбер ($L$) вычисляется по формуле:

$L = 4 \cdot (a + b + c)$

Подставим известные значения в формулу:

$L = 4 \cdot (7 + 10 + 11) = 4 \cdot 28 = 112$ см.

Ответ: 112 см.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) — это сумма площадей всех его шести граней. Противоположные грани равны, поэтому формула для вычисления площади поверхности имеет вид:

$S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$

Подставим известные значения в формулу:

$S = 2 \cdot (7 \cdot 10 + 7 \cdot 11 + 10 \cdot 11) = 2 \cdot (70 + 77 + 110) = 2 \cdot 257 = 514$ см$^2$.

Ответ: 514 см$^2$.

775. (Домашняя практическая работа) Найдите дома предмет, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Выполнив необходимые измерения, вычислите площадь его поверхности.

Это практическое задание, результат которого зависит от выбранного вами предмета и его размеров. Ниже приведен пример выполнения задания.

1. Выбор предмета и его измерение.
В качестве предмета, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, выберем коробку от смартфона. С помощью линейки измерим ее длину, ширину и высоту. Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения:

• Длина (a) = 18 см
• Ширина (b) = 10 см
• Высота (c) = 6 см

2. Вычисление площади поверхности.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) — это сумма площадей всех его шести граней. Поскольку противоположные грани попарно равны, площадь можно вычислить по формуле:

$S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$

Подставим в формулу измеренные нами значения:

$S = 2 \cdot (18 \cdot 10 + 10 \cdot 6 + 18 \cdot 6)$

Выполним вычисления по шагам:

1) Найдем площади трех разных граней:
$ab = 18 \cdot 10 = 180$ см$^2$
$bc = 10 \cdot 6 = 60$ см$^2$
$ac = 18 \cdot 6 = 108$ см$^2$

2) Сложим полученные площади:
$180 + 60 + 108 = 348$ см$^2$

3) Умножим сумму на 2, чтобы найти общую площадь поверхности:
$S = 2 \cdot 348 = 696$ см$^2$

Таким образом, площадь поверхности выбранной коробки от смартфона составляет 696 квадратных сантиметров.

Ответ: 696 см$^2$ (значение получено для примера; ваш ответ будет зависеть от размеров выбранного вами предмета).

776. Площадь грани куба равна $9 \text{ см}^2$. Чему равна площадь поверхности куба?

Куб — это объемная геометрическая фигура, у которой 6 граней, и все они являются одинаковыми квадратами.

Площадь полной поверхности куба ($S_{пов}$) равна сумме площадей всех его шести граней. Поскольку все грани равны, для нахождения площади поверхности нужно умножить площадь одной грани ($S_{грани}$) на их количество.

По условию задачи, площадь одной грани куба равна $9 \text{ см}^2$.

Выполним вычисление по формуле:
$S_{пов} = 6 \times S_{грани} = 6 \times 9 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.

777. Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер куба (рис. 192), ребро которого равно 5 см.

Рис. 192

Площадь поверхности

Площадь поверхности куба (S) вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба. Это связано с тем, что поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.

По условию задачи, длина ребра $a = 5$ см. Подставим это значение в формулу:

$S = 6 \cdot (5)^2 = 6 \cdot 25 = 150$ см².

Ответ: 150 см².

Сумма длин всех рёбер

Куб имеет 12 рёбер, и все они имеют одинаковую длину. Сумма длин всех рёбер (L) вычисляется по формуле $L = 12a$, где $a$ – длина одного ребра.

Подставим значение длины ребра $a = 5$ см в формулу:

$L = 12 \cdot 5 = 60$ см.

Ответ: 60 см.