Страница 181 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

795. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 12 м, 15 м и 6 м.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).

Формула для вычисления объёма:

$V = a \cdot b \cdot c$

В условии задачи даны следующие измерения:

$a = 12$ м

$b = 15$ м

$c = 6$ м

Подставим эти значения в формулу и вычислим объём:

$V = 12 \cdot 15 \cdot 6$

Сначала вычислим произведение $12 \cdot 15$:

$12 \cdot 15 = 180$

Теперь умножим полученный результат на 6:

$180 \cdot 6 = 1080$

Так как измерения были даны в метрах, то объём измеряется в кубических метрах (м³).

Ответ: $1080$ м³.

796. Чему равен объём куба, ребро которого равно 6 см?

Для того чтобы найти объём куба, необходимо воспользоваться формулой для вычисления объёма. Объём куба ($V$) равен длине его ребра ($a$), возведённой в третью степень.

Формула для вычисления объёма куба выглядит следующим образом:

$V = a^3$

В условии задачи дано, что длина ребра куба равна 6 см. Подставим это значение в формулу:

$a = 6$ см

$V = 6^3$

Теперь вычислим значение:

$V = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$ см³.

Таким образом, объём куба с ребром 6 см составляет 216 кубических сантиметров.

Ответ: 216 см³.

797. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 дм, 8 дм и 4 дм?

Объём прямоугольного параллелепипеда находится как произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты.

Формула для вычисления объёма ($V$) имеет вид:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a$, $b$ и $c$ — это измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота).

Согласно условию задачи, измерения равны 10 дм, 8 дм и 4 дм. Подставим эти значения в формулу:

$a = 10$ дм

$b = 8$ дм

$c = 4$ дм

Теперь вычислим объём:

$V = 10 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 80 \text{ дм}^2 \cdot 4 \text{ дм} = 320 \text{ дм}^3$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен 320 кубическим дециметрам.

Ответ: 320 дм³.

798. Какой ящик более вместительный: с измерениями 15 см, 20 см и 30 см или с измерениями 45 см, 10 см, 18 см?

Чтобы определить, какой ящик более вместительный, необходимо вычислить объем каждого ящика и сравнить полученные значения. Вместительность ящика — это его объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, форму которого имеет ящик, вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a$, $b$ и $c$ — его измерения (длина, ширина и высота).

Вычисление объема первого ящика

Измерения первого ящика: 15 см, 20 см и 30 см.

Подставим эти значения в формулу:

$V_1 = 15 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 300 \text{ см}^2 \cdot 30 \text{ см} = 9000 \text{ см}^3$

Вычисление объема второго ящика

Измерения второго ящика: 45 см, 10 см и 18 см.

Подставим эти значения в формулу:

$V_2 = 45 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 18 \text{ см} = 450 \text{ см}^2 \cdot 18 \text{ см} = 8100 \text{ см}^3$

Сравнение объемов и вывод

Сравним полученные объемы двух ящиков:

$V_1 = 9000 \text{ см}^3$

$V_2 = 8100 \text{ см}^3$

Так как $9000 > 8100$, то объем первого ящика больше объема второго ящика ($V_1 > V_2$).

Следовательно, ящик с измерениями 15 см, 20 см и 30 см является более вместительным.

Ответ: более вместительный ящик с измерениями 15 см, 20 см и 30 см.

799. (Домашняя практическая работа) Найдите дома предмет, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Выполнив необходимые измерения, вычислите его объём.

1. Выбор предмета и проведение измерений
В качестве предмета, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, выберем обычную обувную коробку. Для того чтобы вычислить её объём, необходимо измерить три её основных параметра: длину, ширину и высоту. Используя измерительную ленту или линейку, проведём замеры.
Предположим, что результаты измерений получились следующими:
• Длина ($a$) = 34 см
• Ширина ($b$) = 21 см
• Высота ($c$) = 13 см

2. Вычисление объёма
Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле, которая представляет собой произведение трёх его измерений (длины, ширины и высоты).
Формула для вычисления объёма:
$V = a \cdot b \cdot c$
Теперь подставим полученные при измерении значения в эту формулу:
$V = 34 \text{ см} \cdot 21 \text{ см} \cdot 13 \text{ см}$
Выполним вычисления поэтапно:
Сначала найдём площадь основания: $34 \cdot 21 = 714 \text{ см}^2$
Затем умножим площадь основания на высоту: $714 \cdot 13 = 9282 \text{ см}^3$
Таким образом, объём коробки составляет $9282$ кубических сантиметра.

Ответ: $9282 \text{ см}^3$.

800. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если $S = 15 \text{ см}^2$, $h = 6 \text{ см}$, где $S$ — площадь основания параллелепипеда, $h$ — его высота.

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется как произведение площади его основания $S$ на высоту $h$. Формула для расчёта объёма выглядит следующим образом:

$V = S \cdot h$

Согласно условию задачи, нам известны:

• Площадь основания: $S = 15$ см²
• Высота: $h = 6$ см

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения объёма:

$V = 15 \, \text{см}^2 \cdot 6 \, \text{см}$

$V = 90 \, \text{см}^3$

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда составляет 90 кубических сантиметров.

Ответ: $90$ см$^3$.

801. Выразите:

1) в кубических миллиметрах:

$7 \text{ см}^3$; $12 \text{ см}^3 243 \text{ мм}^3$; $54 \text{ см}^3 4 \text{ мм}^3$;
$1 \text{ дм}^3 20 \text{ мм}^3$; $18 \text{ дм}^3 172 \text{ см}^3$;

2) в кубических дециметрах:

$4 \text{ м}^3$; $28 \text{ м}^3 2 \text{ дм}^3$; $5\ 430\ 000 \text{ см}^3$.

Для перевода величин в кубические миллиметры (мм³) используем следующие соотношения:
В одном кубическом сантиметре 1000 кубических миллиметров: $1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
В одном кубическом дециметре 1000 кубических сантиметров, следовательно, $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3 = 1000 \times 1000 \text{ мм}^3 = 1 000 000 \text{ мм}^3$.

$7 \text{ см}^3 = 7 \times 1000 \text{ мм}^3 = 7000 \text{ мм}^3$.
Ответ: 7000 мм³.

$12 \text{ см}^3 243 \text{ мм}^3 = 12 \times 1000 \text{ мм}^3 + 243 \text{ мм}^3 = 12000 \text{ мм}^3 + 243 \text{ мм}^3 = 12243 \text{ мм}^3$.
Ответ: 12243 мм³.

$54 \text{ см}^3 4 \text{ мм}^3 = 54 \times 1000 \text{ мм}^3 + 4 \text{ мм}^3 = 54000 \text{ мм}^3 + 4 \text{ мм}^3 = 54004 \text{ мм}^3$.
Ответ: 54004 мм³.

$1 \text{ дм}^3 20 \text{ мм}^3 = 1 \times 1000000 \text{ мм}^3 + 20 \text{ мм}^3 = 1000000 \text{ мм}^3 + 20 \text{ мм}^3 = 1000020 \text{ мм}^3$.
Ответ: 1000020 мм³.

$18 \text{ дм}^3 172 \text{ см}^3 = 18 \times 1000000 \text{ мм}^3 + 172 \times 1000 \text{ мм}^3 = 18000000 \text{ мм}^3 + 172000 \text{ мм}^3 = 18172000 \text{ мм}^3$.
Ответ: 18172000 мм³.

Для перевода величин в кубические дециметры (дм³) используем следующие соотношения:
В одном кубическом метре 1000 кубических дециметров: $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
В одном кубическом дециметре 1000 кубических сантиметров: $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$, значит, чтобы перевести см³ в дм³, нужно разделить на 1000.

$4 \text{ м}^3 = 4 \times 1000 \text{ дм}^3 = 4000 \text{ дм}^3$.
Ответ: 4000 дм³.

$28 \text{ м}^3 2 \text{ дм}^3 = 28 \times 1000 \text{ дм}^3 + 2 \text{ дм}^3 = 28000 \text{ дм}^3 + 2 \text{ дм}^3 = 28002 \text{ дм}^3$.
Ответ: 28002 дм³.

$5 430 000 \text{ см}^3 = 5 430 000 : 1000 \text{ дм}^3 = 5430 \text{ дм}^3$.
Ответ: 5430 дм³.

802. Выразите в кубических сантиметрах: 62 $дм^3$; 520 000 $мм^3$; 78 $дм^3$ 325 $см^3$; 56 $дм^3$ 14 $см^3$.

62 дм³
Чтобы выразить кубические дециметры в кубических сантиметрах, необходимо знать соотношение между этими единицами. В одном дециметре (дм) содержится 10 сантиметров (см).
Следовательно, объем в 1 кубический дециметр равен:
$1 \text{ дм}^3 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$.
Чтобы перевести 62 дм³ в см³, нужно умножить это значение на 1000:
$62 \text{ дм}^3 = 62 \times 1000 \text{ см}^3 = 62000 \text{ см}^3$.
Ответ: 62000 см³.

520 000 мм³
Чтобы выразить кубические миллиметры (мм³) в кубических сантиметрах (см³), вспомним, что в одном сантиметре 10 миллиметров. Значит, объем в 1 кубический сантиметр равен:
$1 \text{ см}^3 = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}^3$.
Чтобы перевести мм³ в см³, необходимо разделить данное значение на 1000:
$520 000 \text{ мм}^3 = \frac{520 000}{1000} \text{ см}^3 = 520 \text{ см}^3$.
Ответ: 520 см³.

78 дм³ 325 см³
Данное значение является смешанным. Чтобы выразить его полностью в кубических сантиметрах, нужно сначала перевести часть в кубических дециметрах, а затем прибавить оставшуюся часть в кубических сантиметрах.
Используя соотношение $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$, переводим 78 дм³:
$78 \text{ дм}^3 = 78 \times 1000 \text{ см}^3 = 78000 \text{ см}^3$.
Теперь сложим полученное значение с оставшейся частью:
$78000 \text{ см}^3 + 325 \text{ см}^3 = 78325 \text{ см}^3$.
Ответ: 78325 см³.

56 дм³ 14 см³
Это значение также является смешанным. Действуем по аналогии с предыдущим примером. Сначала переводим кубические дециметры в кубические сантиметры.
$1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$56 \text{ дм}^3 = 56 \times 1000 \text{ см}^3 = 56000 \text{ см}^3$.
Затем добавляем оставшиеся кубические сантиметры:
$56000 \text{ см}^3 + 14 \text{ см}^3 = 56014 \text{ см}^3$.
Ответ: 56014 см³.

803. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 15 дм, длина — на 3 дм больше ширины, а высота — в 3 раза меньше длины. Найдите объём данного параллелепипеда.

Для того чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо последовательно вычислить его длину и высоту, а затем перемножить все три измерения (длину, ширину и высоту).

1. Найдём длину параллелепипеда
По условию, ширина равна 15 дм, а длина на 3 дм больше ширины. Следовательно, длина составляет:
$15 + 3 = 18$ (дм).

2. Найдём высоту параллелепипеда
Высота в 3 раза меньше длины. Так как мы уже вычислили, что длина равна 18 дм, высота будет:
$18 : 3 = 6$ (дм).

3. Найдём объём параллелепипеда
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ и $c$ — его измерения. Подставим найденные значения:
$V = 15 \cdot 18 \cdot 6 = 1620$ (дм³).

Ответ: 1620 дм³.

804. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 20 см, что на 4 см меньше его длины и в 5 раз больше его ширины. Вычислите объём данного параллелепипеда.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда ($V$) необходимо перемножить его длину ($l$), ширину ($w$) и высоту ($h$). Формула для расчёта объёма: $V = l \cdot w \cdot h$.

По условию задачи, высота параллелепипеда $h = 20$ см.

1. Вычисление длины
Сказано, что высота (20 см) на 4 см меньше длины. Это означает, что длина на 4 см больше высоты. $l = 20 + 4 = 24$ см.

2. Вычисление ширины
Также сказано, что высота (20 см) в 5 раз больше ширины. Это означает, что ширина в 5 раз меньше высоты. $w = 20 : 5 = 4$ см.

3. Вычисление объёма
Теперь, когда мы знаем все три измерения, мы можем найти объём параллелепипеда. $V = 24 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 96 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 1920 \text{ см}^3$.

Ответ: $1920$ см³.

805. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $560 \text{ см}^3$, длина — $14 \text{ см}$, ширина — $8 \text{ см}$. Найдите высоту данного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объема выглядит следующим образом:
$V = a \cdot b \cdot c$

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Объем $V = 560$ см³;
Длина $a = 14$ см;
Ширина $b = 8$ см.

Чтобы найти высоту ($c$), необходимо выразить ее из формулы объема. Для этого нужно разделить объем на произведение длины и ширины (то есть на площадь основания):
$c = \frac{V}{a \cdot b}$

Подставим известные значения в эту формулу:
$c = \frac{560}{14 \cdot 8}$

Сначала вычислим площадь основания, перемножив длину и ширину:
$14 \cdot 8 = 112$ см²

Теперь разделим объем на полученную площадь основания, чтобы найти высоту:
$c = \frac{560}{112} = 5$ см

Ответ: 5 см

806. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 18 см, высота — 15 см, а объём — $3240 \text{ см}^3$. Найдите ширину данного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($h$). Формула для расчёта объёма:

$V = a \cdot b \cdot h$

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Длина $a = 18$ см
Высота $h = 15$ см
Объём $V = 3240$ см³

Для того чтобы найти ширину ($b$), необходимо выразить её из формулы объёма. Для этого нужно разделить объём на произведение длины и высоты:

$b = \frac{V}{a \cdot h}$

Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисления.

1. Сначала вычислим произведение длины на высоту:
$18 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 270 \text{ см}^2$

2. Затем разделим объём на полученный результат, чтобы найти ширину:
$b = \frac{3240 \text{ см}^3}{270 \text{ см}^2} = 12 \text{ см}$

Таким образом, ширина данного параллелепипеда составляет 12 см.

Ответ: 12 см.

807. Объем комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен $144 \text{ м}^3$, а высота — $4 \text{ м}$. Найдите площадь пола комнаты.

Объем комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле: $V = S \cdot h$, где $V$ – это объем, $S$ – это площадь основания (в данном случае – площадь пола), а $h$ – это высота.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Объем комнаты: $V = 144 \text{ м}^3$
Высота комнаты: $h = 4 \text{ м}$

Для того чтобы найти площадь пола ($S$), необходимо выразить ее из формулы для объема:
$S = \frac{V}{h}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и произведем вычисление:
$S = \frac{144 \text{ м}^3}{4 \text{ м}} = 36 \text{ м}^2$

Ответ: $36 \text{ м}^2$.

808. Спортивный зал имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объём равен $960\text{ м}^3$, а площадь пола равна $192\text{ м}^2$. Найдите высоту спортивного зала.

Спортивный зал имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объём ($V$) такой фигуры вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В данном случае основанием параллелепипеда является пол спортивного зала. Таким образом, $S_{осн} = S_{пола}$. Формула принимает вид:
$V = S_{пола} \cdot h$

Чтобы найти высоту зала ($h$), нужно его объём ($V$) разделить на площадь пола ($S_{пола}$):
$h = \frac{V}{S_{пола}}$

Из условия задачи известны следующие значения:
$V = 960 \text{ м³}$
$S_{пола} = 192 \text{ м²}$

Подставим эти значения в формулу для нахождения высоты и выполним вычисление:
$h = \frac{960}{192} = 5 \text{ м}$
Ответ: 5 м.

809. Отливок меди имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 10 дм, 8 дм и 6 дм. Найдите массу отливка, если масса $1 \text{ дм}^3$ меди составляет 9 кг.

Чтобы найти массу медного отливка, нужно выполнить два действия: сначала вычислить его объем, а затем умножить объем на массу одного кубического дециметра меди.

1. Вычисление объема отливка.
Отливок имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) находится по формуле:
$V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина и высота).
Согласно условию, измерения отливка равны 10 дм, 8 дм и 6 дм.
Подставим значения в формулу:
$V = 10 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм} = 80 \text{ дм}^2 \cdot 6 \text{ дм} = 480 \text{ дм}^3$.
Таким образом, объем отливка равен 480 дм³.

2. Вычисление массы отливка.
Масса ($m$) вычисляется как произведение объема ($V$) на плотность вещества. В данном случае, нам дана масса 1 дм³ меди, что и является плотностью.
Масса 1 дм³ меди = 9 кг.
Чтобы найти общую массу, умножим объем отливка на эту величину:
$m = 480 \text{ дм}^3 \cdot 9 \frac{\text{кг}}{\text{дм}^3} = 4320 \text{ кг}$.

Ответ: 4320 кг.

810. Ребро куба, изготовленного из цинка, равно 4 см. Найдите массу куба, если масса 1 $см^3$ цинка составляет 7 г.

Для того чтобы найти массу куба, необходимо сначала вычислить его объем. Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

По условию задачи, длина ребра куба, изготовленного из цинка, равна 4 см. Подставим это значение в формулу для нахождения объема:

$V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ см³.

Далее, чтобы найти массу куба $m$, нужно умножить его объем на плотность материала. В условии сказано, что масса 1 см³ цинка составляет 7 г. Это и есть плотность цинка $\rho$.

Формула для вычисления массы: $m = V \times \rho$.

Подставим известные значения в формулу:

$m = 64 \text{ см}³ \times 7 \text{ г/см}³ = 448$ г.

Следовательно, масса цинкового куба составляет 448 граммов.

Ответ: 448 г.