Страница 185 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую из данных единиц измерения используют при измерении площади?

А) 1 см

Б) 1 с

В) 1 га

Г) 1 г

Для того чтобы определить, какая из предложенных единиц используется для измерения площади, необходимо рассмотреть каждую из них.

А) 1 см (сантиметр) — это единица измерения длины. Площадь измеряется в квадратных единицах, например, в квадратных сантиметрах ($см^2$). Следовательно, сантиметр не является единицей площади.

Б) 1 с (секунда) — это основная единица измерения времени. Она не имеет отношения к измерению площади.

В) 1 га (гектар) — это внесистемная единица измерения площади. Гектар равен площади квадрата со стороной 100 метров. Эту единицу часто используют для измерения площади земельных участков. $1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10000 \text{ м}^2$. Это единица измерения площади.

Г) 1 г (грамм) — это единица измерения массы, являющаяся дольной по отношению к килограмму. Она не используется для измерения площади.

Таким образом, из всех перечисленных вариантов только гектар (га) является единицей измерения площади.

Ответ: В) 1 га

2. Чему равен корень уравнения $ (x - 28) \cdot 16 = 1632 $?

А) 130

Б) 120

В) 60

Г) 40

Чтобы найти корень уравнения $(x - 28) \cdot 16 = 1632$, необходимо найти значение переменной $x$.

1. Сначала разделим обе части уравнения на 16, чтобы изолировать выражение в скобках. В данном уравнении $(x-28)$ — это неизвестный множитель.

$x - 28 = \frac{1632}{16}$

2. Выполним деление в правой части уравнения:

$1632 \div 16 = 102$

Таким образом, уравнение упрощается до:

$x - 28 = 102$

3. Теперь в уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно к разности (102) прибавить вычитаемое (28).

$x = 102 + 28$

4. Выполним сложение:

$x = 130$

Мы нашли корень уравнения. Он равен 130. Этот ответ соответствует варианту А).

Проверка:

Подставим найденное значение $x=130$ в исходное уравнение:

$(130 - 28) \cdot 16 = 102 \cdot 16 = 1632$

$1632 = 1632$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 130

3. Упростите выражение $52 \cdot m \cdot 3$.

А) $156m$

Б) $52m$

В) $55m$

Г) $126m$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты. В выражении $52 \cdot m \cdot 3$ числовыми коэффициентами являются 52 и 3.

Воспользуемся переместительным свойством умножения, которое гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Сгруппируем числа:

$52 \cdot m \cdot 3 = (52 \cdot 3) \cdot m$

Теперь выполним умножение чисел в скобках:

$52 \cdot 3 = 156$

Подставим результат обратно в выражение:

$156 \cdot m = 156m$

Таким образом, упрощенное выражение - это $156m$, что соответствует варианту А).

Ответ: А) $156m$

4. В какой паре чисел первое число является делителем второго?

А) 4 и 14

Б) 7 и 42

В) 6 и 46

Г) 8 и 94

Чтобы определить, в какой паре первое число является делителем второго, необходимо для каждого варианта проверить, делится ли второе число на первое нацело (без остатка).

А) 4 и 14
Проверим, является ли 4 делителем 14, разделив 14 на 4:
$14 \div 4 = 3.5$
Поскольку результат не является целым числом, 4 не является делителем 14.

Б) 7 и 42
Проверим, является ли 7 делителем 42, разделив 42 на 7:
$42 \div 7 = 6$
Результат является целым числом, следовательно, 7 — делитель 42. Этот вариант подходит.

В) 6 и 46
Проверим, является ли 6 делителем 46, разделив 46 на 6:
$46 \div 6 = 7$ (остаток 4), что примерно равно $7.67$.
Поскольку результат не является целым числом, 6 не является делителем 46.

Г) 8 и 94
Проверим, является ли 8 делителем 94, разделив 94 на 8:
$94 \div 8 = 11$ (остаток 6), или $11.75$.
Поскольку результат не является целым числом, 8 не является делителем 94.

Единственная пара, в которой первое число является делителем второго, — это пара под буквой Б.
Ответ: Б

5. Чему равен корень уравнения $7x + x - 5x = 132$?

А) 66

Б) 44

В) 12

Г) 11

Для решения уравнения $7x + x - 5x = 132$ необходимо сначала упростить его левую часть, сложив и вычтя все члены, содержащие переменную $x$.
Приведем подобные слагаемые:
$7x + x - 5x = (7 + 1 - 5)x = 3x$
Теперь уравнение принимает вид:
$3x = 132$
Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:
$x = \frac{132}{3}$
$x = 44$
Таким образом, корень уравнения равен 44, что соответствует варианту Б).
Ответ: 44

6. Укажите число, которое может быть остатком при делении натурального числа $a$ на 98.

А) 102

Б) 100

В) 98

Г) 96

По определению деления с остатком, при делении натурального числа $a$ на натуральное число $d$ (делитель), остаток $r$ должен быть неотрицательным и строго меньше делителя. Это условие можно записать в виде неравенства: $0 \le r < d$.

В данной задаче делителем является число 98, то есть $d = 98$. Следовательно, остаток от деления на 98 должен быть целым числом, удовлетворяющим неравенству $0 \le r < 98$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

А) 102: Неверно, так как остаток не может быть больше делителя ($102 > 98$).

Б) 100: Неверно, так как остаток не может быть больше делителя ($100 > 98$).

В) 98: Неверно, так как остаток должен быть строго меньше делителя ($r < 98$), а 98 не меньше 98.

Г) 96: Верно, так как это число удовлетворяет условию $0 \le 96 < 98$. Например, при делении 194 на 98, в остатке будет 96 ($194 = 1 \cdot 98 + 96$).

Ответ: Г) 96

7. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 18 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Пешеход шёл впереди со скоростью 3 км/ч, а велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Через сколько часов после начала движения велосипедист догонит пешехода?

А) 1 ч

Б) 2 ч

В) 3 ч

Г) 4 ч

Это задача на движение вдогонку. Чтобы определить время, через которое велосипедист догонит пешехода, необходимо найти их скорость сближения.

Скорость сближения — это скорость, с которой уменьшается расстояние между движущимися объектами. Когда объекты движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей (при условии, что догоняющий объект движется быстрее).

Скорость велосипедиста $v_{в} = 12$ км/ч.
Скорость пешехода $v_{п} = 3$ км/ч.

Вычислим скорость сближения $v_{сбл}$:

$v_{сбл} = v_{в} - v_{п} = 12 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

Таким образом, каждый час расстояние между велосипедистом и пешеходом сокращается на 9 км.

Начальное расстояние между ними по условию задачи составляет $S = 18$ км. Чтобы найти время $t$, за которое велосипедист покроет это расстояние, нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}}$

$t = \frac{18 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Следовательно, велосипедист догонит пешехода через 2 часа. Это соответствует варианту ответа Б).

Ответ: 2 ч.

8. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома расположено по 8 квартир. Найдите номер этажа, на котором находится квартира № 173.

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Для того чтобы найти номер этажа, на котором находится квартира № 173, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определим количество квартир в одном подъезде.

В доме 9 этажей, и на каждом этаже расположено 8 квартир. Следовательно, в одном подъезде находится:

$9 \text{ этажей} \times 8 \text{ квартир/этаж} = 72 \text{ квартиры}$

2. Определим номер подъезда, в котором находится квартира.

Разделим номер искомой квартиры на количество квартир в одном подъезде:

$173 \div 72 = 2$ (остаток 29)

Это означает, что квартира № 173 находится после двух полностью заполненных подъездов, то есть в третьем подъезде. В первых двух подъездах расположены квартиры с 1 по 144 ($2 \times 72 = 144$).

3. Определим порядковый номер квартиры внутри своего подъезда.

Остаток от деления (29) показывает, что квартира № 173 является 29-й по счету в своем (третьем) подъезде.

4. Найдем этаж для этой квартиры.

Чтобы найти этаж, нужно разделить порядковый номер квартиры в подъезде (29) на количество квартир на одном этаже (8):

$29 \div 8 = 3$ (остаток 5)

Результат деления показывает, что 3 этажа в этом подъезде уже полностью заняты (на них находятся 24 квартиры). Искомая квартира находится на следующем этаже.

Таким образом, квартира № 173 расположена на 4-м этаже.

Ответ: 4

9. Укажите пару взаимно простых чисел.

А) 49 и 39

Б) 18 и 14

В) 26 и 65

Г) 22 и 99

Взаимно простыми называются целые числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для того чтобы найти пару взаимно простых чисел, необходимо проверить каждую из предложенных пар.

А) 49 и 39
Для того чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 49 и 39, разложим их на простые множители.
Простые множители для 49: $49 = 7 * 7 = 7^2$.
Простые множители для 39: $39 = 3 * 13$.
У чисел 49 и 39 нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.
$НОД(49, 39) = 1$.
Числа 49 и 39 являются взаимно простыми.

Б) 18 и 14
Разложим числа 18 и 14 на простые множители.
Простые множители для 18: $18 = 2 * 9 = 2 * 3^2$.
Простые множители для 14: $14 = 2 * 7$.
Числа 18 и 14 имеют общий простой множитель 2. Их НОД больше 1.
$НОД(18, 14) = 2$.
Следовательно, числа 18 и 14 не являются взаимно простыми.

В) 26 и 65
Разложим числа 26 и 65 на простые множители.
Простые множители для 26: $26 = 2 * 13$.
Простые множители для 65: $65 = 5 * 13$.
Числа 26 и 65 имеют общий простой множитель 13. Их НОД больше 1.
$НОД(26, 65) = 13$.
Следовательно, числа 26 и 65 не являются взаимно простыми.

Г) 22 и 99
Разложим числа 22 и 99 на простые множители.
Простые множители для 22: $22 = 2 * 11$.
Простые множители для 99: $99 = 9 * 11 = 3^2 * 11$.
Числа 22 и 99 имеют общий простой множитель 11. Их НОД больше 1.
$НОД(22, 99) = 11$.
Следовательно, числа 22 и 99 не являются взаимно простыми.

Таким образом, единственной парой взаимно простых чисел из предложенных вариантов является пара 49 и 39.

Ответ: А)

10. Объем аквариума равен $120\,000 \text{ см}^3$. Найдите высоту аквариума, если его длина равна 60 см, а ширина — 40 см.

А) 5000 см

Б) 500 см

В) 50 см

Г) 5 см

Объём аквариума, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $V$ – объём, $a$ – длина, $b$ – ширина, а $c$ – высота.

Для того чтобы найти высоту аквариума ($c$), необходимо его объём ($V$) разделить на площадь основания, которая равна произведению длины ($a$) на ширину ($b$).

Формула для нахождения высоты будет выглядеть так:

$c = \frac{V}{a \cdot b}$

Подставим известные из условия задачи значения:

• $V = 120\,000 \text{ см}^3$
• $a = 60 \text{ см}$
• $b = 40 \text{ см}$

Выполним вычисления:

$c = \frac{120\,000}{60 \cdot 40} = \frac{120\,000}{2400}$

Для упрощения деления можно убрать по два нуля в числителе и знаменателе:

$c = \frac{1200}{24}$

Теперь выполним деление:

$c = 50 \text{ см}$

Таким образом, высота аквариума составляет 50 см.

Ответ: 50 см.

11. Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со скоростью $56 \text{ км/ч}$, заметил, что товарный поезд, двигавшийся со скоростью $34 \text{ км/ч}$, прошёл мимо него за $15 \text{ с}$. Какова длина товарного поезда?

А) $360 \text{ м}$

Б) $375 \text{ м}$

В) $400 \text{ м}$

Г) $425 \text{ м}$

Для решения этой задачи необходимо найти относительную скорость поездов. Поскольку машинист пассажирского поезда заметил, что товарный поезд "прошел мимо него", это означает, что поезда двигались навстречу друг другу. В таком случае для нахождения их относительной скорости сближения, их скорости необходимо сложить. Длина товарного поезда будет равна расстоянию, пройденному с этой относительной скоростью за указанное время.

1. Вычисление относительной скорости.
Скорость пассажирского поезда $v_1 = 56$ км/ч.
Скорость товарного поезда $v_2 = 34$ км/ч.
Относительная скорость $v_{отн}$ равна сумме скоростей:
$v_{отн} = v_1 + v_2 = 56 \text{ км/ч} + 34 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$.

2. Перевод единиц измерения.
Время дано в секундах, поэтому скорость нужно перевести из км/ч в м/с. Для этого используется коэффициент $\frac{1000}{3600} = \frac{5}{18}$.
$v_{отн} = 90 \times \frac{5}{18} \text{ м/с} = 5 \times 5 \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}$.

3. Расчет длины товарного поезда.
Длина поезда ($L$) вычисляется как произведение относительной скорости на время ($t = 15$ с), за которое он прошел мимо машиниста.
$L = v_{отн} \times t = 25 \text{ м/с} \times 15 \text{ с} = 375 \text{ м}$.

Таким образом, длина товарного поезда составляет 375 метров.

Ответ: 375 м

12. Стену длиной 6 м и высотой 3 м хотят выложить кафелем. Одна кафельная плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см. Плитку продают в контейнерах по 150 штук в каждом. Какое наименьшее количество контейнеров с кафелем надо приобрести для запланированной работы?

А) 4

Б) 5

В) 6

Г) 7

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Приведение всех размеров к единой системе измерения

Размеры стены даны в метрах (м), а размеры плитки — в сантиметрах (см). Для удобства расчетов переведем все размеры в сантиметры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Длина стены: $6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.

Высота стены: $3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.

Сторона квадратной плитки равна $15 \text{ см}$.

2. Расчет необходимого количества плиток

Чтобы найти общее количество плиток, необходимое для покрытия всей стены, сначала определим, сколько плиток поместится по длине и по высоте стены.

Количество плиток по длине стены: $\frac{600 \text{ см}}{15 \text{ см}} = 40$ штук.

Количество плиток по высоте стены: $\frac{300 \text{ см}}{15 \text{ см}} = 20$ штук.

Теперь найдем общее количество плиток, перемножив полученные значения:

Общее количество плиток = $40 \times 20 = 800$ штук.

3. Расчет количества контейнеров

Плитка продается в контейнерах по 150 штук в каждом. Чтобы найти необходимое количество контейнеров, разделим общее количество плиток на количество плиток в одном контейнере.

Количество контейнеров = $\frac{800}{150} = \frac{80}{15} \approx 5,33$.

Поскольку контейнеры можно приобрести только в целом количестве, полученный результат необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого числа. Пяти контейнеров будет недостаточно, так как $5 \times 150 = 750$ плиток, а требуется 800. Следовательно, необходимо приобрести 6 контейнеров.

Проверка: $6 \times 150 = 900$ плиток, что является достаточным количеством.

Таким образом, наименьшее количество контейнеров, которое нужно приобрести, — это 6.

Ответ: 6