Страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Сколько сантиметров проволоки необходимо для изготовления проволочного каркаса прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 3 см, 5 см и 6 см?

Проволочный каркас прямоугольного параллелепипеда представляет собой совокупность всех его ребер. У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер. При этом имеется три группы по четыре ребра одинаковой длины. Длины этих ребер соответствуют трем измерениям параллелепипеда: длине, ширине и высоте.

Даны измерения параллелепипеда: 3 см, 5 см и 6 см. Обозначим их как $a, b$ и $c$:
$a = 3$ см
$b = 5$ см
$c = 6$ см

Чтобы найти общую длину проволоки, необходимо сложить длины всех 12 ребер. Формула для расчета общей длины $L$ всех ребер: $L = 4a + 4b + 4c$ Эту формулу можно упростить, вынеся за скобки общий множитель 4: $L = 4(a + b + c)$

Подставим в формулу числовые значения измерений: $L = 4(3 + 5 + 6)$

Выполним расчеты:
1. Сначала найдем сумму длин трех различных ребер: $3 + 5 + 6 = 14$ см.
2. Затем умножим полученную сумму на 4, так как у нас по 4 ребра каждой длины: $L = 4 \times 14 = 56$ см.

Таким образом, для изготовления проволочного каркаса понадобится 56 сантиметров проволоки.

Ответ: 56 см.

4. В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке в два раза больше монет, чем в другом. Возможно ли такое?

На первый взгляд, задача кажется нерешаемой с точки зрения математики. Давайте проверим это с помощью уравнения.

Пусть в одном кошельке (меньшем) лежит $x$ монет. Тогда, по условию задачи, в другом кошельке должно быть в два раза больше, то есть $2x$ монет. Общее количество монет в двух кошельках составляет $x + 2x$. Так как всего у нас две монеты, мы можем составить уравнение:

$x + 2x = 2$

$3x = 2$

$x = 2/3$

Получается, что в меньшем кошельке должно лежать $2/3$ монеты. Поскольку количество монет может быть только целым неотрицательным числом, то при стандартном рассмотрении (когда кошельки — два отдельных независимых объекта) такое невозможно.

Однако эта задача является классической логической загадкой и имеет нестандартное решение. Оно возможно, если один кошелёк находится внутри другого.

Рассмотрим такое расположение:

1. Берём два кошелька: один побольше (назовем его Кошелёк А), другой поменьше (Кошелёк Б).
2. Кладём Кошелёк Б внутрь Кошелька А.
3. Кладём одну монету в маленький Кошелёк Б.
4. Кладём вторую монету в большой Кошелёк А (рядом с лежащим внутри Кошельком Б).

Теперь посчитаем, сколько монет в каждом кошельке:

• В Кошельке Б (маленьком) лежит 1 монета.
• В Кошельке А (большом) лежат 2 монеты: одна собственная и вторая, которая находится внутри Кошелька Б, который, в свою очередь, лежит внутри Кошелька А.

Таким образом, в одном кошельке 2 монеты, а в другом — 1. Число 2 ровно в два раза больше числа 1, что полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, такое возможно, если один кошелёк положить внутрь другого. В маленький кошелёк положить одну монету, а затем этот кошелёк вместе со второй монетой положить в большой кошелёк.

791. 1) Сколько кубических сантиметров содержит 1 $\text{дм}^3$? 1 $\text{м}^3$?

2) Сколько кубических дециметров содержит 1 $\text{м}^3$?

1) Чтобы найти, сколько кубических сантиметров содержится в 1 кубическом дециметре ($1 \text{ дм}^3$) и в 1 кубическом метре ($1 \text{ м}^3$), нужно вспомнить соотношения линейных единиц длины.

Сначала найдем для 1 кубического дециметра. В одном дециметре содержится 10 сантиметров:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Кубический дециметр — это объем куба со стороной 1 дм. Чтобы найти объем в кубических сантиметрах, нужно это соотношение возвести в третью степень (в куб):

$1 \text{ дм}^3 = (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) = (10 \text{ см}) \times (10 \text{ см}) \times (10 \text{ см}) = 1000 \text{ см}^3$

Таким образом, 1 кубический дециметр содержит 1000 кубических сантиметров.

Теперь найдем для 1 кубического метра. В одном метре содержится 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Кубический метр — это объем куба со стороной 1 м. Чтобы найти объем в кубических сантиметрах, нужно это соотношение также возвести в куб:

$1 \text{ м}^3 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$

Таким образом, 1 кубический метр содержит 1 000 000 кубических сантиметров.

Ответ: в $1 \text{ дм}^3$ содержится $1000 \text{ см}^3$; в $1 \text{ м}^3$ содержится $1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.

2) Чтобы найти, сколько кубических дециметров содержится в 1 кубическом метре ($1 \text{ м}^3$), нужно использовать соотношение между метром и дециметром. В одном метре содержится 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Кубический метр — это объем куба со стороной 1 м. Чтобы найти объем в кубических дециметрах, возведем это соотношение в третью степень:

$1 \text{ м}^3 = (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) \times (1 \text{ м}) = (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) = 1000 \text{ дм}^3$

Таким образом, 1 кубический метр содержит 1000 кубических дециметров.

Ответ: в $1 \text{ м}^3$ содержится $1000 \text{ дм}^3$.

792. Какие единицы объёма целесообразно использовать для измерения объёма:

1) классной комнаты;

2) жидкости, потребляемой человеком в течение суток;

3) коробки спичек?

1) классной комнаты

Для измерения объёма большого пространства, такого как классная комната, целесообразно использовать единицы, соразмерные с его линейными размерами. Длину, ширину и высоту комнаты обычно измеряют в метрах. Поскольку объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты, то и единицей объёма будет кубический метр ($м^3$). Использование более мелких единиц, например, кубических сантиметров, привело бы к очень большим и неудобным для использования числам.

Ответ: кубические метры ($м^3$).

2) жидкости, потребляемой человеком в течение суток

Суточная норма потребления жидкости для человека составляет в среднем 1.5–3 литра. Для измерения таких объёмов наиболее удобной и общепринятой единицей является литр (л). Один литр равен одному кубическому дециметру ($1 \text{ л} = 1 \text{ } дм^3$). Также можно использовать миллилитры (мл), особенно для объёмов меньше литра, но для общего суточного объёма литры подходят лучше.

Ответ: литры (л).

3) коробки спичек

Коробок спичек — это маленький предмет. Его линейные размеры (длина, ширина, высота) удобно измерять в сантиметрах. Следовательно, для измерения его объёма наиболее подходящей единицей будет кубический сантиметр ($см^3$). Это позволяет получить в результате вычислений удобное для восприятия число, не слишком большое и не слишком маленькое. Например, стандартный коробок имеет объём около $20 \text{ } см^3$.

Ответ: кубические сантиметры ($см^3$).

793. Фигуры, изображённые на рисунке 198, составлены из кубиков, рёбра которых равны 1 см. Найдите объём каждой фигуры.

Рис. 198

а) Объем фигуры а: $5 \text{ см}^3$

б) Объем фигуры б: $8 \text{ см}^3$

в) Объем фигуры в: $9 \text{ см}^3$

г) Объем фигуры г: $16 \text{ см}^3$

По условию задачи, все фигуры составлены из кубиков с ребром 1 см. Объём одного такого кубика равен $V_{кубика} = 1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^3$. Чтобы найти объём каждой фигуры, необходимо подсчитать общее количество кубиков, из которых она состоит, и умножить это число на объём одного кубика.

аФигура состоит из двух ярусов: нижний ярус содержит 3 кубика, а верхний — 1 кубик.Общее количество кубиков в фигуре: $3 + 1 = 4$.Следовательно, объём фигуры равен: $V_a = 4 \cdot 1 \text{ см}^3 = 4 \text{ см}^3$.
Ответ: $4 \text{ см}^3$.

бФигура состоит из 4 столбцов, расположенных в один ряд. Два крайних столбца состоят из 2 кубиков каждый, а два средних — из 1 кубика каждый.Общее количество кубиков в фигуре: $2 + 1 + 1 + 2 = 6$.Следовательно, объём фигуры равен: $V_б = 6 \cdot 1 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$.
Ответ: $6 \text{ см}^3$.

вФигуру можно представить состоящей из трёх горизонтальных слоёв.Нижний слой имеет размеры $3 \times 2$ кубика, то есть $3 \cdot 2 = 6$ кубиков.Средний слой имеет размеры $2 \times 2$ кубика, то есть $2 \cdot 2 = 4$ кубика.Верхний слой имеет размеры $1 \times 2$ кубика, то есть $1 \cdot 2 = 2$ кубика.Общее количество кубиков в фигуре: $6 + 4 + 2 = 12$.Следовательно, объём фигуры равен: $V_в = 12 \cdot 1 \text{ см}^3 = 12 \text{ см}^3$.
Ответ: $12 \text{ см}^3$.

гЭту фигуру можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали сквозное отверстие.Размеры внешнего параллелепипеда: $4$ кубика в длину, $2$ кубика в высоту и $2$ кубика в глубину. Его объём, если бы он был сплошным, составил бы $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ кубиков.Размеры отверстия: $2$ кубика в длину, $1$ кубик в высоту и $2$ кубика в глубину. Объём вырезанной части составляет $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ кубика.Чтобы найти количество кубиков в фигуре, нужно из объёма сплошного параллелепипеда вычесть объём отверстия: $16 - 4 = 12$ кубиков.Следовательно, объём фигуры равен: $V_г = 12 \cdot 1 \text{ см}^3 = 12 \text{ см}^3$.
Ответ: $12 \text{ см}^3$.

794. Фигуры, изображённые на рисунке 199, сложены из кубиков, рёбра которых равны 1 см. Найдите объём каждой фигуры.

Рис. 199

а

б

По условию, фигуры сложены из кубиков с ребром 1 см. Объём одного такого кубика равен:

$V_{кубика} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$

Объём всей фигуры равен произведению количества кубиков, из которых она состоит, на объём одного кубика. Таким образом, чтобы найти объём каждой фигуры, достаточно посчитать количество составляющих её кубиков.

а

Подсчитаем количество кубиков в первой фигуре. Её можно условно разделить на основание и башню. Основание состоит из двух рядов: задний сплошной ряд из 6 кубиков и передний ряд из 4 кубиков. Всего в основании $6 + 4 = 10$ кубиков. Башня в правом дальнем углу имеет высоту 3 кубика. Её нижний кубик уже учтён в составе основания, поэтому башня добавляет ещё $3 - 1 = 2$ кубика. Общее число кубиков в фигуре "а" составляет: $N_а = 10 + 2 = 12$. Следовательно, объём фигуры "а" равен:
$V_а = 12 \times 1 \text{ см}^3 = 12 \text{ см}^3$.
Ответ: $12 \text{ см}^3$.

б

Подсчитаем количество кубиков во второй фигуре, рассматривая её по слоям. Нижний слой представляет собой сплошной прямоугольник размером $6 \times 4$ кубика. Количество кубиков в этом слое: $6 \times 4 = 24$ кубика. Средний и верхний слои идентичны. Каждый из них представляет собой рамку с внешними размерами $6 \times 4$ и внутренним отверстием размером $4 \times 2$. Количество кубиков в каждом из этих слоёв: $(6 \times 4) - (4 \times 2) = 24 - 8 = 16$ кубиков. Общее число кубиков в фигуре "б" составляет: $N_б = 24 (\text{нижний слой}) + 16 (\text{средний слой}) + 16 (\text{верхний слой}) = 56$. Следовательно, объём фигуры "б" равен:
$V_б = 56 \times 1 \text{ см}^3 = 56 \text{ см}^3$.
Ответ: $56 \text{ см}^3$.