Страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какими свойствами обладает объём фигуры?

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом. Он обладает рядом фундаментальных свойств, которые обычно принимаются как аксиомы.

1. Неотрицательность

Объём любой фигуры является неотрицательным числом. Для любой фигуры $F$ её объём $V(F) \ge 0$. Объём равен нулю только для "плоских" или вырожденных фигур (например, точки, отрезка или многоугольника в трёхмерном пространстве).

2. Аддитивность

Если тело составлено из нескольких тел, которые не имеют общих внутренних точек (то есть не перекрываются), то его объём равен сумме объёмов этих тел. Например, если тело $F$ состоит из тел $F_1$ и $F_2$, то $V(F) = V(F_1) + V(F_2)$. Это свойство позволяет вычислять объёмы сложных фигур, разбивая их на более простые (например, на кубы, параллелепипеды, пирамиды и т.д.).

3. Инвариантность при движении

Равные (конгруэнтные) тела имеют равные объёмы. Если тело $F_1$ можно переместить в пространстве так, чтобы оно полностью совпало с телом $F_2$, то их объёмы равны: $V(F_1) = V(F_2)$. Это значит, что объём не зависит от положения тела в пространстве и от выбора системы координат.

4. Нормированность (наличие единицы измерения)

Объём куба, ребро которого равно единице длины, принимается за единицу измерения объёма. Такой куб называется единичным, и его объём равен 1 кубической единице (например, 1 см³, 1 м³). Это свойство задаёт эталон для измерения объёмов всех остальных фигур.

Ответ: Основные свойства объёма фигуры: неотрицательность (объём всегда больше или равен нулю), аддитивность (объём составного тела равен сумме объёмов его частей), инвариантность (равные тела имеют равные объёмы) и нормированность (объём единичного куба равен единице).

2. Приведите примеры единиц измерения объёма.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом, веществом или вмещаемого сосудом. Существует множество единиц измерения объёма, которые можно сгруппировать по системам мер.

Метрическая система (СИ)

В Международной системе единиц (СИ) основной единицей объёма является кубический метр, который является производной единицей от метра (единицы длины).

• Кубический метр ($м^3$): объём куба с ребром 1 метр. Это основная единица в СИ.
• Кубический дециметр ($дм^3$): объём куба с ребром 1 дециметр (10 см). $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
• Кубический сантиметр ($см^3$): объём куба с ребром 1 сантиметр. $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
• Кубический миллиметр ($мм^3$): объём куба с ребром 1 миллиметр. $1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.

Внесистемные метрические единицы

Эти единицы широко используются для измерения объёма жидкостей и сыпучих тел в быту и науке. Они напрямую связаны с единицами СИ.

• Литр (л): наиболее распространённая единица. Один литр равен одному кубическому дециметру: $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$.
• Миллилитр (мл): одна тысячная доля литра. Один миллилитр равен одному кубическому сантиметру: $1 \text{ мл} = 1 \text{ см}^3$.

Английская (имперская) и американская системы мер

Эти единицы в основном используются в США, Великобритании и ряде других стран.

• Галлон (gallon): различают американский (≈ 3,785 л) и имперский (≈ 4,546 л) галлоны.
• Баррель (barrel): в основном используется для измерения объёма нефти. Нефтяной баррель равен 42 американским галлонам, или примерно 159 литрам.
• Пинта (pint): 1/8 галлона.
• Кварта (quart): 1/4 галлона.
• Жидкая унция (fluid ounce).
• Кубический дюйм ($inch^3$) и кубический фут ($foot^3$).

Старорусские единицы измерения объёма

Использовались на Руси до введения метрической системы.

• Ведро: около 12,3 литра.
• Бочка: 40 вёдер, около 492 литров.
• Штоф (кружка): 1/10 ведра, около 1,23 литра.

Ответ: Примерами единиц измерения объёма являются: кубический метр ($м^3$), кубический сантиметр ($см^3$), литр (л), миллилитр (мл), галлон, баррель, пинта.

3. Что означает измерить объём фигуры?

Измерить объём фигуры — это значит найти число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения объёма (и её части) укладывается в этой фигуре. Процесс измерения объёма сводится к сравнению данного объёма с эталонным, принятым за единицу.

Единица измерения объёма

За единицу измерения объёма принимается объём единичного куба, то есть куба, длина ребра которого равна одной единице длины. Например:

• Кубический сантиметр ($см^3$) — это объём куба с ребром 1 см.
• Кубический метр ($м^3$) — это объём куба с ребром 1 м.

Процесс измерения

Таким образом, измерить объём фигуры означает выяснить, сколько таких единичных кубов можно поместить внутри этой фигуры, чтобы полностью её заполнить без пробелов и без выхода за её границы. Полученное число и является объёмом фигуры, выраженным в данных единицах.

Например, если объём коробки равен $30 \ м^3$, это означает, что в неё можно поместить ровно 30 кубов с ребром 1 метр.

Для простых геометрических тел объём вычисляется по специальным формулам. Например, для прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$ объём $V$ находится по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

Эта формула является, по сути, быстрым способом подсчёта количества единичных кубов, которые помещаются в данном теле.

Ответ: Измерить объём фигуры — это определить, какое количество единичных кубов (например, кубических сантиметров или метров) она в себе вмещает.

4. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$?

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура, все шесть граней которой являются прямоугольниками. Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. В данном вопросе они обозначены буквами $a$, $b$ и $c$. Эти измерения соответствуют длине, ширине и высоте фигуры.

Объём ($V$) любой призмы, в том числе и прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади её основания на высоту. В случае прямоугольного параллелепипеда, площадь основания (которое является прямоугольником) равна произведению двух его сторон, например, $a$ и $b$. Высотой будет третье измерение, $c$.

Следовательно, чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нужно перемножить все три его измерения. Формула для расчёта объёма выглядит так:

$V = a \cdot b \cdot c$

Ответ: $V = a \cdot b \cdot c$

5. По какой формуле вычисляют объём куба?

Объём куба вычисляется по формуле, которая связывает объём с длиной его ребра. Куб — это трёхмерная фигура, у которой все рёбра (длина, ширина и высота) равны.

Для нахождения объёма любого прямоугольного параллелепипеда необходимо перемножить его длину, ширину и высоту. Так как куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, где все эти три измерения равны, эта же логика применима и к нему.

Если обозначить длину ребра куба буквой $a$, то его объём $V$ будет равен произведению длины, ширины и высоты:
$V = a \cdot a \cdot a$

Это произведение можно записать в более компактном виде, используя третью степень. Таким образом, формула для вычисления объёма куба выглядит следующим образом:
$V = a^3$

Это означает, что объём куба равен длине его ребра, возведённой в куб (в третью степень).

Ответ: $V = a^3$, где $V$ — это объём куба, а $a$ — длина его ребра.

6. Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, зная его площадь основания и высоту?

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) по определению равен произведению его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($h$). Формула для вычисления объёма выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot h$

Площадь основания ($S_{осн}$) прямоугольного параллелепипеда представляет собой площадь прямоугольника, лежащего в основании. Она вычисляется как произведение длины и ширины:

$S_{осн} = a \cdot b$

Если мы посмотрим на формулу объёма, то увидим, что произведение $a \cdot b$ является площадью основания. Следовательно, мы можем заменить эту часть формулы на $S_{осн}$:

$V = (a \cdot b) \cdot h = S_{осн} \cdot h$

Таким образом, чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, зная его площадь основания и высоту, нужно умножить значение площади основания на значение высоты.

Ответ: Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, нужно площадь его основания умножить на высоту.

1. Участок дороги длиной $3 \text{ км}$, на котором скорость автомобиля не должна превышать $60 \text{ км/ч}$, водитель проехал за $3 \text{ мин}$. Нарушил ли при этом водитель правила дорожного движения?

Чтобы определить, нарушил ли водитель правила, необходимо вычислить его среднюю скорость на данном участке и сравнить ее с разрешенной скоростью. Сделаем это двумя способами.

Способ 1: Вычисление фактической скорости

1. Переведем время в пути из минут в часы.

В одном часе содержится 60 минут. Следовательно, 3 минуты составляют:

$t = \frac{3 \text{ мин}}{60 \text{ мин/ч}} = \frac{1}{20} \text{ ч} = 0.05 \text{ ч}$

2. Рассчитаем среднюю скорость автомобиля.

Средняя скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — расстояние, а $t$ — время.

Подставим известные значения:

$s = 3 \text{ км}$

$t = 0.05 \text{ ч}$

$v = \frac{3 \text{ км}}{0.05 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$

3. Сравним фактическую скорость с ограничением.

Ограничение скорости на данном участке — не более 60 км/ч. Фактическая средняя скорость водителя составила ровно 60 км/ч. Так как $60 \text{ км/ч} \le 60 \text{ км/ч}$, скорость не была превышена. Следовательно, водитель не нарушил правила дорожного движения.

Способ 2: Вычисление минимально допустимого времени

1. Рассчитаем минимальное время для проезда участка без нарушений.

Для этого используем максимально разрешенную скорость $v_{max} = 60 \text{ км/ч}$ и расстояние $s = 3 \text{ км}$.

Минимальное время ($t_{min}$) находится по формуле $t = \frac{s}{v}$.

$t_{min} = \frac{3 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{1}{20} \text{ ч}$

2. Переведем расчетное время в минуты.

Чтобы сравнить с фактическим временем, переведем полученное значение в минуты, умножив на 60:

$t_{min} = \frac{1}{20} \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 3 \text{ мин}$

3. Сравним фактическое время с минимально допустимым.

Минимальное время, за которое можно проехать этот участок, не нарушая правил, составляет 3 минуты. Водитель проехал участок ровно за 3 минуты. Поскольку фактическое время движения не меньше минимально допустимого ($3 \text{ мин} = 3 \text{ мин}$), водитель не нарушил правила.

Ответ: Нет, водитель не нарушил правила дорожного движения, так как его средняя скорость на данном участке была равна максимально разрешенной — 60 км/ч.

2. Сколько необходимо использовать кубиков с ребром 1 см, чтобы сложить кубик с ребром 2 см?

Чтобы определить, сколько маленьких кубиков с ребром 1 см потребуется для построения большого кубика с ребром 2 см, нужно сравнить их объемы. Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра.

1. Вычислим объем маленького кубика ($V_{мал}$) с ребром $a_{мал} = 1$ см:

$V_{мал} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$

2. Вычислим объем большого кубика ($V_{бол}$), который нужно построить, с ребром $a_{бол} = 2$ см:

$V_{бол} = (2 \text{ см})^3 = 8 \text{ см}^3$

3. Чтобы найти необходимое количество маленьких кубиков ($N$), нужно разделить объем большого куба на объем одного маленького кубика:

$N = \frac{V_{бол}}{V_{мал}} = \frac{8 \text{ см}^3}{1 \text{ см}^3} = 8$

Также можно представить это наглядно: чтобы получить куб с ребром 2 см, нужно выложить 2 ряда по 2 кубика в основании (всего $2 \times 2 = 4$ кубика), и сделать 2 таких слоя в высоту. Итого $4 \times 2 = 8$ кубиков.

Ответ: 8