Страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

781. Деревянный брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его ширина равна 20 см, что на 5 см меньше его длины и в 3 раза меньше его высоты. Сколько лака требуется, чтобы в один слой покрыть им всю поверхность этого бруска, если на $1 \text{ дм}^2$ расходуется 4 г лака?

Для решения задачи сначала найдём все размеры деревянного бруска, затем вычислим площадь его полной поверхности и, наконец, рассчитаем необходимое количество лака.

1. Определение размеров бруска

Пусть ширина бруска – $a$, длина – $b$, высота – $c$.

Из условия задачи нам известна ширина: $a = 20$ см.

Сказано, что ширина на 5 см меньше длины. Это означает, что длина на 5 см больше ширины:
$b = a + 5 \text{ см} = 20 + 5 = 25$ см.

Также сказано, что ширина в 3 раза меньше высоты. Это означает, что высота в 3 раза больше ширины:
$c = a \times 3 = 20 \times 3 = 60$ см.

Таким образом, размеры бруска: 20 см, 25 см и 60 см.

2. Расчёт площади поверхности бруска

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) находится по формуле:
$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения размеров бруска в формулу:
$S = 2 \times (20 \times 25 + 20 \times 60 + 25 \times 60)$
$S = 2 \times (500 + 1200 + 1500)$
$S = 2 \times 3200 = 6400$ см$^2$.

3. Расчёт необходимого количества лака

Расход лака дан в граммах на квадратный дециметр (дм$^2$), поэтому необходимо перевести площадь поверхности из см$^2$ в дм$^2$.
Так как $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$, то:
$S = 6400 \text{ см}^2 = \frac{6400}{100} \text{ дм}^2 = 64 \text{ дм}^2$.

На каждый квадратный дециметр требуется 4 г лака. Чтобы найти общее количество лака, умножим площадь поверхности в дм$^2$ на расход лака:
$64 \text{ дм}^2 \times 4 \text{ г/дм}^2 = 256$ г.

Ответ: чтобы покрыть всю поверхность бруска в один слой, потребуется 256 г лака.

782. Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 28 см. Найдите сумму длин трёх его рёбер, имеющих общую вершину.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) обозначены как $a$, $b$ и $c$. Три ребра, имеющие общую вершину, как раз и имеют длины $a$, $b$ и $c$.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер: 4 ребра длиной $a$, 4 ребра длиной $b$ и 4 ребра длиной $c$. Сумма длин всех рёбер ($L$) вычисляется по формуле:
$L = 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c)$

Согласно условию задачи, сумма длин всех рёбер равна 28 см. Подставим это значение в формулу:
$4(a + b + c) = 28$

Нам необходимо найти сумму длин трёх его рёбер, имеющих общую вершину, то есть величину $a + b + c$. Для этого решим полученное уравнение, разделив обе его части на 4:
$a + b + c = \frac{28}{4}$
$a + b + c = 7$

Таким образом, сумма длин трёх рёбер, выходящих из одной вершины, составляет 7 см.
Ответ: 7 см.

783. Сумма длин всех рёбер куба равна 72 см. Найдите длину ребра куба.

Куб представляет собой объемную геометрическую фигуру, у которой 12 ребер, и все они имеют одинаковую длину.

По условию задачи, сумма длин всех 12 рёбер составляет 72 см.

Обозначим длину одного ребра куба переменной $a$.

Сумма длин всех рёбер ($L$) может быть выражена формулой: $L = 12 \cdot a$.

Нам известно, что $L = 72$ см. Подставим это значение в формулу:

$12 \cdot a = 72$

Чтобы найти длину одного ребра $a$, необходимо разделить общую сумму длин на количество рёбер:

$a = \frac{72}{12}$

$a = 6$ см.

Таким образом, длина одного ребра куба составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

784. Площади поверхностей прямоугольного параллелепипеда и куба равны. Ребро куба равно 8 см, а два измерения прямоугольного параллелепипеда — 4 см и 12 см. Найдите третье измерение параллелепипеда.

Для решения задачи сначала найдем площадь поверхности куба. Длина ребра куба, обозначим ее $a$, равна 8 см. Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S_{куба} = 6a^2$.

Подставим известное значение в формулу:

$S_{куба} = 6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = 384$ см².

По условию задачи, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна площади поверхности куба, то есть $S_{парал} = 384$ см².

Формула для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями (длина, ширина, высота) $l, w, h$ имеет вид: $S_{парал} = 2(lw + lh + wh)$.

Нам известны два измерения параллелепипеда: $l = 4$ см и $w = 12$ см. Третье измерение $h$ нужно найти. Подставим известные значения в формулу и приравняем ее к вычисленной площади:

$2(4 \cdot 12 + 4 \cdot h + 12 \cdot h) = 384$

Теперь решим полученное уравнение относительно $h$:

$2(48 + 16h) = 384$

Разделим обе части уравнения на 2:

$48 + 16h = 192$

Вычтем 48 из обеих частей уравнения:

$16h = 192 - 48$

$16h = 144$

Найдем $h$:

$h = \frac{144}{16}$

$h = 9$ см.

Таким образом, третье измерение прямоугольного параллелепипеда равно 9 см.

Ответ: 9 см.

785. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхностей. Длина параллелепипеда равна 18 м, что в 2 раза больше, чем его ширина, и на 8 м больше, чем его высота. Найдите ребро куба.

Для решения задачи сначала найдем размеры прямоугольного параллелепипеда: его длину, ширину и высоту. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$ соответственно.

1. Находим размеры параллелепипеда.

По условию, длина параллелепипеда $a = 18$ м.

Длина в 2 раза больше, чем ширина. Значит, ширина $b$ будет равна:
$b = a / 2 = 18 / 2 = 9$ м.

Длина на 8 м больше, чем высота. Значит, высота $c$ будет равна:
$c = a - 8 = 18 - 8 = 10$ м.

Итак, размеры параллелепипеда: 18 м, 9 м и 10 м.

2. Вычисляем площадь поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_{пар} = 2(ab + ac + bc)$.
Подставим найденные значения:
$S_{пар} = 2(18 \cdot 9 + 18 \cdot 10 + 9 \cdot 10) = 2(162 + 180 + 90) = 2 \cdot 432 = 864$ м².

3. Находим ребро куба.

По условию задачи, площадь поверхности куба ($S_{куба}$) равна площади поверхности параллелепипеда:
$S_{куба} = S_{пар} = 864$ м².

Площадь поверхности куба с ребром $d$ вычисляется по формуле: $S_{куба} = 6d^2$.
Приравняем известную площадь к формуле и найдем $d$:
$6d^2 = 864$
$d^2 = 864 / 6$
$d^2 = 144$
$d = \sqrt{144}$
$d = 12$ м.

Ответ: 12 м.

786. Брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 5 см и 6 см, покрасили со всех сторон и разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых окрашено:

1) три грани;

2) две грани;

3) одна грань?

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями 4 см, 5 см и 6 см, который разрезали на кубики с ребром 1 см.

1) три грани
Кубики, у которых окрашено три грани, могут находиться только в вершинах (углах) параллелепипеда. У любого прямоугольного параллелепипеда 8 вершин. Следовательно, количество кубиков с тремя окрашенными гранями равно 8.
Ответ: 8 кубиков.

2) две грани
Кубики с двумя окрашенными гранями располагаются на ребрах параллелепипеда, за исключением угловых кубиков. У параллелепипеда 12 ребер: 4 ребра длиной 4 см, 4 ребра длиной 5 см и 4 ребра длиной 6 см. На каждом ребре длиной $L$ находится $L$ кубиков. Из них 2 угловых, а остальные $(L-2)$ имеют две окрашенные грани.
- На 4 ребрах длиной 6 см: $4 \times (6-2) = 4 \times 4 = 16$ кубиков.
- На 4 ребрах длиной 5 см: $4 \times (5-2) = 4 \times 3 = 12$ кубиков.
- На 4 ребрах длиной 4 см: $4 \times (4-2) = 4 \times 2 = 8$ кубиков.
Суммируем количество таких кубиков со всех ребер: $16 + 12 + 8 = 36$.
Ответ: 36 кубиков.

3) одна грань
Кубики с одной окрашенной гранью — это те, что находятся на гранях, но не на ребрах. У параллелепипеда 6 граней (по две одинаковые).
На грани с размерами $L \times W$ количество кубиков с одной окрашенной гранью равно $(L-2) \times (W-2)$.
- Две грани размером 5 см x 6 см: $2 \times (5-2) \times (6-2) = 2 \times 3 \times 4 = 24$ кубика.
- Две грани размером 4 см x 6 см: $2 \times (4-2) \times (6-2) = 2 \times 2 \times 4 = 16$ кубиков.
- Две грани размером 4 см x 5 см: $2 \times (4-2) \times (5-2) = 2 \times 2 \times 3 = 12$ кубиков.
Суммируем количество таких кубиков со всех граней: $24 + 16 + 12 = 52$.
Ответ: 52 кубика.

787. Из листа картона можно вырезать шесть одинаковых квадратов. Какое наименьшее количество листов картона необходимо, чтобы вырезать 50 таких квадратов?

Чтобы определить наименьшее количество листов картона, необходимое для вырезания 50 квадратов, нужно разделить общее требуемое количество квадратов на количество квадратов, которое можно получить из одного листа.

Известно, что из одного листа картона можно вырезать 6 квадратов. Нам нужно получить 50 квадратов.

Разделим 50 на 6: $50 \div 6 = 8$ с остатком 2.

Это означает, что если мы возьмем 8 листов картона, мы сможем вырезать: $8 \times 6 = 48$ квадратов.

Этого количества недостаточно, так как нам нужно 50 квадратов. Не хватает еще $50 - 48 = 2$ квадрата.

Чтобы вырезать эти недостающие 2 квадрата, нам придется взять еще один, девятый, лист картона. Таким образом, общее количество листов, которое потребуется, равно 9.

Проверка: из 9 листов можно вырезать $9 \times 6 = 54$ квадрата, что больше 50, значит, 9 листов будет достаточно.

Ответ: 9 листов.

788. Поезд отправился со станции в 16 ч со скоростью 54 км/ч. В 19 ч с этой же станции в противоположном направлении отправился второй поезд. В 24 ч расстояние между ними было равно 642 км. С какой скоростью двигался второй поезд?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий:

1. Вычислим, сколько времени находился в пути первый поезд до момента измерения расстояния (24 ч). Поезд отправился в 16 ч.

$24 - 16 = 8$ (часов) – время в пути первого поезда.

2. Найдем расстояние, которое проехал первый поезд за это время, двигаясь со скоростью 54 км/ч.

$54 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 432$ (км) – расстояние, пройденное первым поездом.

3. Так как поезда двигались в противоположных направлениях, общее расстояние между ними (642 км) равно сумме расстояний, пройденных каждым поездом. Найдем расстояние, которое проехал второй поезд.

$642 \text{ км} - 432 \text{ км} = 210$ (км) – расстояние, пройденное вторым поездом.

4. Вычислим, сколько времени находился в пути второй поезд. Он отправился в 19 ч, а измерение проводилось в 24 ч.

$24 - 19 = 5$ (часов) – время в пути второго поезда.

5. Зная расстояние (210 км) и время (5 ч), которое проехал второй поезд, найдем его скорость.

$v = \frac{S}{t} = \frac{210 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 42$ (км/ч).

Ответ: 42 км/ч.

789. Решите уравнение:

1) $6x + 8x - 7x = 714$

2) $11x - 6x + 17 = 2042$

1) $6x + 8x - 7x = 714$

Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив действия с подобными слагаемыми (членами, содержащими переменную $x$):

$(6 + 8 - 7)x = 714$

$14x - 7x = 714$

$7x = 714$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 7:

$x = 714 / 7$

$x = 102$

Проверка: $6 \cdot 102 + 8 \cdot 102 - 7 \cdot 102 = 612 + 816 - 714 = 1428 - 714 = 714$. Верно.

Ответ: $102$.

2) $11x - 6x + 17 = 2042$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(11 - 6)x + 17 = 2042$

$5x + 17 = 2042$

Теперь перенесем число 17 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный (вычтем 17 из обеих частей):

$5x = 2042 - 17$

$5x = 2025$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = 2025 / 5$

$x = 405$

Проверка: $11 \cdot 405 - 6 \cdot 405 + 17 = 4455 - 2430 + 17 = 2025 + 17 = 2042$. Верно.

Ответ: $405$.

790. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? (Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.)

Для измерения диагонали кирпича, которая находится внутри него и недоступна для прямого измерения линейкой, можно воспользоваться двумя способами.

Этот метод основан на использовании теоремы Пифагора для трехмерного пространства. Кирпич является прямоугольным параллелепипедом, и длина его пространственной диагонали связана с его измерениями (длиной, шириной и высотой).

1. С помощью линейки необходимо измерить три ребра кирпича, выходящие из одной вершины: длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$.
2. Квадрат длины пространственной диагонали $d$ равен сумме квадратов длины, ширины и высоты. Эта зависимость выражается формулой:
   $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
3. Из этой формулы можно найти длину диагонали, извлекая квадратный корень:
   $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
4. После измерения $a, b$ и $c$, достаточно подставить их значения в формулу и произвести вычисления. Наличие нескольких кирпичей в данном способе позволяет убедиться, что они одинаковы, и измерения одного из них репрезентативны.

Ответ: Измерить длину, ширину и высоту кирпича ($a, b, c$) и вычислить длину диагонали по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Этот способ позволяет найти длину диагонали путем прямого измерения, без вычислений. Для этого нужно из нескольких кирпичей собрать конструкцию, в которой расстояние между двумя внешними точками будет равно искомой диагонали.

1. Возьмите три одинаковых кирпича. Положите их на ровную горизонтальную поверхность следующим образом:
   • Положите первый кирпич (Кирпич 1).
   • Второй кирпич (Кирпич 2) приставьте вплотную к первому по его длинной боковой стороне.
   • Третий кирпич (Кирпич 3) положите сверху на второй, выровняв его по нему. В результате получится конструкция, напоминающая ступеньку.
2. В полученной конструкции найдите две точки, расстояние между которыми нужно измерить:
   • Первая точка (P₁) — это один из нижних углов Кирпича 1, а именно тот, который находится на одной прямой с гранью, по которой соприкасаются кирпичи, но на противоположной стороне.
   • Вторая точка (P₂) — это один из верхних углов Кирпича 3, а именно тот, который находится над гранью соприкосновения кирпичей и ближе всего к Кирпичу 1.
3. Эти две точки являются внешними углами конструкции, и расстояние между ними можно измерить линейкой. Это расстояние в точности равно пространственной диагонали одного кирпича.
4. Математическое обоснование: если расположить конструкцию в системе координат так, чтобы Кирпич 1 занимал область $[0, a] \times [0, b] \times [0, c]$, то координаты выбранных точек будут P₁ = $(a, 0, 0)$ и P₂ = $(0, b, c)$. Расстояние между ними вычисляется как:
   $d = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Ответ: Сложить из трех кирпичей конструкцию в виде ступеньки и измерить линейкой расстояние между определенными внешними углами нижнего и верхнего кирпичей, как описано выше.