Номер 790, страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 28. Прямоугольный параллелепипед. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 790, страница 176.

790. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? (Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.)

Для измерения диагонали кирпича, которая находится внутри него и недоступна для прямого измерения линейкой, можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Расчетный

Этот метод основан на использовании теоремы Пифагора для трехмерного пространства. Кирпич является прямоугольным параллелепипедом, и длина его пространственной диагонали связана с его измерениями (длиной, шириной и высотой).

1. С помощью линейки необходимо измерить три ребра кирпича, выходящие из одной вершины: длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$.
2. Квадрат длины пространственной диагонали $d$ равен сумме квадратов длины, ширины и высоты. Эта зависимость выражается формулой:
   $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
3. Из этой формулы можно найти длину диагонали, извлекая квадратный корень:
   $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
4. После измерения $a, b$ и $c$, достаточно подставить их значения в формулу и произвести вычисления. Наличие нескольких кирпичей в данном способе позволяет убедиться, что они одинаковы, и измерения одного из них репрезентативны.

Ответ: Измерить длину, ширину и высоту кирпича ($a, b, c$) и вычислить длину диагонали по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Способ 2: Геометрический (конструктивный)

Этот способ позволяет найти длину диагонали путем прямого измерения, без вычислений. Для этого нужно из нескольких кирпичей собрать конструкцию, в которой расстояние между двумя внешними точками будет равно искомой диагонали.

1. Возьмите три одинаковых кирпича. Положите их на ровную горизонтальную поверхность следующим образом:
   • Положите первый кирпич (Кирпич 1).
   • Второй кирпич (Кирпич 2) приставьте вплотную к первому по его длинной боковой стороне.
   • Третий кирпич (Кирпич 3) положите сверху на второй, выровняв его по нему. В результате получится конструкция, напоминающая ступеньку.
2. В полученной конструкции найдите две точки, расстояние между которыми нужно измерить:
   • Первая точка (P₁) — это один из нижних углов Кирпича 1, а именно тот, который находится на одной прямой с гранью, по которой соприкасаются кирпичи, но на противоположной стороне.
   • Вторая точка (P₂) — это один из верхних углов Кирпича 3, а именно тот, который находится над гранью соприкосновения кирпичей и ближе всего к Кирпичу 1.
3. Эти две точки являются внешними углами конструкции, и расстояние между ними можно измерить линейкой. Это расстояние в точности равно пространственной диагонали одного кирпича.
4. Математическое обоснование: если расположить конструкцию в системе координат так, чтобы Кирпич 1 занимал область $[0, a] \times [0, b] \times [0, c]$, то координаты выбранных точек будут P₁ = $(a, 0, 0)$ и P₂ = $(0, b, c)$. Расстояние между ними вычисляется как:
   $d = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Ответ: Сложить из трех кирпичей конструкцию в виде ступеньки и измерить линейкой расстояние между определенными внешними углами нижнего и верхнего кирпичей, как описано выше.