Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

817. Объёмы прямоугольного параллелепипеда и куба равны. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если два его измерения равны 8 см и 25 см, а ребро куба — 10 см.

По условию задачи, объемы прямоугольного параллелепипеда и куба равны. Обозначим объем куба как $V_{куба}$, а объем параллелепипеда как $V_{пар}$.

Сначала найдем объем куба. Ребро куба, по условию, равно 10 см. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра.

$V_{куба} = 10^3 = 1000 \text{ см}^3$.

Так как $V_{пар} = V_{куба}$, то объем прямоугольного параллелепипеда также равен $1000 \text{ см}^3$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трех его измерений (длины $l$, ширины $w$ и высоты $h$): $V_{пар} = l \cdot w \cdot h$. Нам известны два измерения: $l = 8$ см и $w = 25$ см. Найдем третье измерение $h$.

$1000 = 8 \cdot 25 \cdot h$

$1000 = 200 \cdot h$

$h = \frac{1000}{200} = 5 \text{ см}$.

Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: 8 см, 25 см и 5 см.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) находится по формуле $S = 2(lw + lh + wh)$. Подставим значения измерений:

$S = 2 \cdot (8 \cdot 25 + 8 \cdot 5 + 25 \cdot 5)$

$S = 2 \cdot (200 + 40 + 125)$

$S = 2 \cdot 365$

$S = 730 \text{ см}^2$.

Ответ: $730 \text{ см}^2$.

818. Ребро одного куба в 4 раза больше ребра второго. Во сколько раз:

Пусть ребро второго (меньшего) куба равно $a_2$.
Тогда, согласно условию задачи, ребро первого (большего) куба $a_1$ в 4 раза больше, то есть $a_1 = 4 \cdot a_2$.

1) площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго
Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — длина ребра куба.
Площадь поверхности второго куба: $S_2 = 6a_2^2$.
Площадь поверхности первого куба: $S_1 = 6a_1^2 = 6(4a_2)^2 = 6 \cdot (16a_2^2) = 96a_2^2$.
Чтобы найти, во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго, найдем их отношение:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{96a_2^2}{6a_2^2} = 16$.
Ответ: в 16 раз.

2) объём первого куба больше объёма второго
Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.
Объём второго куба: $V_2 = a_2^3$.
Объём первого куба: $V_1 = a_1^3 = (4a_2)^3 = 4^3 \cdot a_2^3 = 64a_2^3$.
Чтобы найти, во сколько раз объём первого куба больше объёма второго, найдем их отношение:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{64a_2^3}{a_2^3} = 64$.
Ответ: в 64 раза.

819. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1) длину увеличить в 4 раза, ширину — в 2 раза, высоту — в 5 раз;

2) ширину уменьшить в 4 раза, высоту — в 2 раза, а длину увеличить в 16 раз?

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ - длина, $b$ - ширина, а $c$ - высота. Обозначим исходные размеры параллелепипеда как $a_1, b_1, c_1$, а его исходный объём как $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$.

1) длину увеличить в 4 раза, ширину — в 2 раза, высоту — в 5 раз;
Новые размеры параллелепипеда ($a_2, b_2, c_2$) будут следующими: $a_2 = 4a_1$, $b_2 = 2b_1$, $c_2 = 5c_1$.
Новый объём $V_2$ будет равен произведению новых размеров:
$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = (4a_1) \cdot (2b_1) \cdot (5c_1)$
Сгруппируем числовые множители и переменные:
$V_2 = (4 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$
$V_2 = 40 \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$
Так как $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$, то $V_2 = 40V_1$.
Это означает, что объём увеличится в 40 раз.
Ответ: объём увеличится в 40 раз.

2) ширину уменьшить в 4 раза, высоту — в 2 раза, а длину увеличить в 16 раз?
Новые размеры параллелепипеда ($a_2, b_2, c_2$) в этом случае будут: $a_2 = 16a_1$, $b_2 = \frac{b_1}{4}$, $c_2 = \frac{c_1}{2}$.
Вычислим новый объём $V_2$:
$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = (16a_1) \cdot \left(\frac{b_1}{4}\right) \cdot \left(\frac{c_1}{2}\right)$
Сгруппируем множители:
$V_2 = \frac{16}{4 \cdot 2} \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$
$V_2 = \frac{16}{8} \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$
$V_2 = 2 \cdot (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1)$
Поскольку $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$, то $V_2 = 2V_1$.
Таким образом, объём увеличится в 2 раза.
Ответ: объём увеличится в 2 раза.

820. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1) каждое измерение увеличить в 2 раза;

2) длину уменьшить в 3 раза, высоту — в 5 раз, а ширину увеличить в 15 раз?

1) Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$. Его первоначальный объём $V_1$ равен произведению этих измерений:

$V_1 = a \cdot b \cdot c$

Если каждое измерение увеличить в 2 раза, то новые измерения будут равны $2a$, $2b$ и $2c$. Новый объём $V_2$ будет равен:

$V_2 = (2a) \cdot (2b) \cdot (2c) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 8 \cdot (a \cdot b \cdot c)$

Так как $V_1 = a \cdot b \cdot c$, то $V_2 = 8V_1$.

Следовательно, объём прямоугольного параллелепипеда увеличится в 8 раз.

Ответ: увеличится в 8 раз.

2) Пусть первоначальные длина, ширина и высота параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Его объём $V_1$ равен:

$V_1 = a \cdot b \cdot c$

Изменим измерения согласно условию:

• длину уменьшим в 3 раза: $a_{new} = \frac{a}{3}$
• высоту уменьшим в 5 раз: $c_{new} = \frac{c}{5}$
• ширину увеличим в 15 раз: $b_{new} = 15b$

Теперь вычислим новый объём $V_2$ с новыми измерениями:

$V_2 = a_{new} \cdot b_{new} \cdot c_{new} = (\frac{a}{3}) \cdot (15b) \cdot (\frac{c}{5})$

Сгруппируем множители:

$V_2 = (\frac{1}{3} \cdot 15 \cdot \frac{1}{5}) \cdot (a \cdot b \cdot c) = \frac{15}{3 \cdot 5} \cdot (a \cdot b \cdot c) = \frac{15}{15} \cdot (a \cdot b \cdot c) = 1 \cdot (a \cdot b \cdot c) = V_1$

Так как $V_2 = V_1$, объём параллелепипеда не изменится.

Ответ: не изменится.

821. В бассейн, площадь дна которого равна 1 га, налили 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне провести соревнования по плаванию?

Для того чтобы определить, можно ли провести в бассейне соревнования по плаванию, необходимо рассчитать глубину воды. Глубина ($h$) вычисляется как отношение объема воды ($V$) к площади дна бассейна ($S$).

Для начала приведем все величины к стандартным единицам системы СИ (метры, квадратные метры, кубические метры).

1. Площадь дна бассейна составляет 1 гектар (га). Переведем гектары в квадратные метры. Известно, что 1 га равен площади квадрата со стороной 100 м.

$S = 1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10 000 \text{ } м^2$.

2. Объем воды составляет 1 000 000 литров (л). Переведем литры в кубические метры. Известно, что 1 кубический метр ($м^3$) вмещает 1000 литров.

$V = 1 000 000 \text{ л} = \frac{1 000 000}{1000} \text{ } м^3 = 1000 \text{ } м^3$.

3. Расчет глубины. Теперь мы можем найти глубину воды в бассейне по формуле $h = V / S$.

$h = \frac{1000 \text{ } м^3}{10 000 \text{ } м^2} = 0.1 \text{ м}$.

Полученная глубина составляет 0.1 метра, что эквивалентно 10 сантиметрам. Для проведения соревнований по плаванию требуется минимальная глубина, которая, согласно стандартам, обычно составляет не менее 1.2–1.8 метра. Глубина в 10 см является абсолютно недостаточной для плавания.

Ответ: нет, в данном бассейне нельзя провести соревнования по плаванию, так как глубина воды будет всего 10 см.

822. В аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 60 см и шириной 30 см, налили 8 вёдер воды, в каждом из которых было 9 л. Какова глубина воды в аквариуме?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем общий объем воды, налитой в аквариум.

В аквариум налили 8 ведер воды, по 9 литров в каждом. Чтобы найти общий объем, умножим количество ведер на объем одного ведра:

$V_{общ} = 8 \times 9 = 72$ литра.

2. Переведем объем воды в кубические сантиметры.

Размеры аквариума даны в сантиметрах, поэтому для удобства вычислений переведем литры в кубические сантиметры (см³). Известно, что 1 литр равен 1000 кубическим сантиметрам:

$1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$

Следовательно, общий объем воды в см³ равен:

$V_{общ} = 72 \text{ л} \times 1000 \frac{\text{см}^3}{\text{л}} = 72000 \text{ см}^3$.

3. Найдем площадь основания аквариума.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому его основание — прямоугольник. Площадь основания ($S_{осн}$) равна произведению длины на ширину:

$S_{осн} = \text{длина} \times \text{ширина} = 60 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 1800 \text{ см}^2$.

4. Вычислим глубину воды в аквариуме.

Объем воды в аквариуме можно представить как произведение площади основания на высоту (глубину) воды ($h$). Формула выглядит так: $V = S_{осн} \times h$. Чтобы найти глубину, нужно разделить объем воды на площадь основания:

$h = \frac{V_{общ}}{S_{осн}}$

Подставим наши значения:

$h = \frac{72000 \text{ см}^3}{1800 \text{ см}^2} = \frac{720}{18} \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Ответ: глубина воды в аквариуме составляет 40 см.

823. В кубе с ребром 3 см проделали три сквозных квадратных отверстия со стороной 1 см (рис. 201). Найдите объём оставшейся части.

Рис. 201

Для решения задачи необходимо найти первоначальный объем куба, затем определить объем вырезанной части и вычесть второй из первого.

1. Нахождение объема исходного куба

Объем куба ($V_{куба}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$. В данном случае ребро куба $a = 3$ см.

$V_{куба} = 3^3 = 27$ см³.

2. Нахождение объема вырезанной части

В кубе сделано три сквозных отверстия. Каждое отверстие представляет собой призму с квадратным основанием $1 \times 1$ см и длиной $3$ см. Если бы эти призмы не пересекались, объем вырезанной части был бы равен $3 \times (1 \times 1 \times 3) = 9$ см³. Однако отверстия пересекаются в центре куба, и объем их общей части учитывается несколько раз. Чтобы правильно рассчитать объем удаленной части, можно использовать метод декомпозиции на единичные кубики.

Представим, что большой куб состоит из $3 \times 3 \times 3 = 27$ маленьких кубиков с ребром 1 см. Объем каждого маленького кубика равен $1$ см³.

Теперь посчитаем, сколько маленьких кубиков было удалено:

• Первое отверстие (например, просверленное сверху вниз) удаляет центральный столбец, состоящий из 3-х маленьких кубиков.
• Второе отверстие (спереди назад) удаляет центральный ряд из 3-х кубиков. Но один кубик из этого ряда — центральный — уже был удален первым отверстием. Следовательно, второе отверстие удаляет еще 2 новых кубика.
• Третье отверстие (слева направо) также удаляет центральный ряд из 3-х кубиков. Центральный кубик уже удален. Два других кубика в этом ряду также являются новыми, так как они не лежали на пути первых двух отверстий (за исключением центрального). Таким образом, третье отверстие удаляет еще 2 новых кубика.

Общее количество удаленных кубиков составляет $3 + 2 + 2 = 7$.

Следовательно, объем вырезанной части ($V_{удал}$) равен:

$V_{удал} = 7 \times 1 \text{ см³} = 7$ см³.

3. Нахождение объема оставшейся части

Объем оставшейся части ($V_{ост}$) равен разности объема исходного куба и объема вырезанной части:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{удал}$

$V_{ост} = 27 \text{ см³} - 7 \text{ см³} = 20$ см³.

Ответ: 20 см³.

824. Размеры куска мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равны 8 см, 6 см и 4 см. Каждый день используют одинаковую массу мыла. Через 14 дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. На сколько дней хватит оставшегося куска мыла?

Поскольку каждый день используется одинаковая масса мыла, а его плотность предполагается постоянной, это означает, что ежедневно используется и одинаковый объем мыла. Решим задачу по шагам.

1. Вычисление начального объема мыла.
Кусок мыла имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого находится по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения.
Начальные размеры: 8 см, 6 см и 4 см.
Начальный объем: $V_1 = 8 \cdot 6 \cdot 4 = 192$ см³.

2. Вычисление объема мыла через 14 дней.
По условию, через 14 дней все размеры уменьшились в 2 раза. Новые размеры:
$a_2 = 8 / 2 = 4$ см, $b_2 = 6 / 2 = 3$ см, $c_2 = 4 / 2 = 2$ см.
Объем оставшегося куска мыла: $V_2 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ см³.

3. Определение объема израсходованного мыла.
За 14 дней был израсходован объем, равный разности начального и конечного объемов:
$V_{израсх} = V_1 - V_2 = 192 - 24 = 168$ см³.

4. Расчет ежедневного расхода мыла.
Израсходованный объем (168 см³) был использован за 14 дней. Следовательно, ежедневный расход составляет:
$168 \text{ см}^3 / 14 \text{ дней} = 12$ см³/день.

5. Расчет оставшегося количества дней.
Объем оставшегося мыла равен 24 см³. Чтобы найти, на сколько дней его хватит, нужно разделить оставшийся объем на ежедневный расход:
$24 \text{ см}^3 / (12 \text{ см}^3/\text{день}) = 2$ дня.

Ответ: 2.

825. В школьном коридоре, длина которого равна 30 м, ширина — 35 дм, надо заменить линолеум. Какое наименьшее количество рулонов линолеума для этого нужно, если длина рулона линолеума равна 12 м, а ширина — 150 см?

Для решения задачи сначала необходимо привести все размеры к единой единице измерения. Удобнее всего будет использовать метры.

1. Приведение размеров к метрам

Размеры коридора:
Длина = 30 м.
Ширина = 35 дм. Так как 1 м = 10 дм, то ширина равна $35 \div 10 = 3,5$ м.

Размеры рулона линолеума:
Длина = 12 м.
Ширина = 150 см. Так как 1 м = 100 см, то ширина равна $150 \div 100 = 1,5$ м.

2. Рассмотрение вариантов укладки

Чтобы найти наименьшее количество рулонов, нужно рассмотреть два возможных способа укладки линолеума: вдоль и поперек коридора, и выбрать тот, для которого потребуется меньше материала.

Вариант А: Укладка линолеума вдоль коридора

При этом способе полосы линолеума укладываются параллельно длинной стене (30 м). Чтобы покрыть всю ширину коридора (3,5 м) полосами шириной 1,5 м, нужно рассчитать их количество:

$3,5 \text{ м} \div 1,5 \text{ м} \approx 2,33$

Так как количество полос должно быть целым, округляем в большую сторону. Понадобится 3 полосы.

Длина каждой из трех полос равна длине коридора — 30 м. Общая требуемая длина линолеума составит:

$3 \times 30 \text{ м} = 90 \text{ м}$

Теперь рассчитаем, сколько рулонов длиной 12 м для этого понадобится:

$90 \text{ м} \div 12 \text{ м/рулон} = 7,5 \text{ рулонов}$

Округляем до ближайшего целого в большую сторону, получаем 8 рулонов.

Вариант Б: Укладка линолеума поперек коридора

В этом случае полосы укладываются перпендикулярно длинной стене. Чтобы покрыть всю длину коридора (30 м) полосами шириной 1,5 м, понадобится:

$30 \text{ м} \div 1,5 \text{ м} = 20 \text{ полос}$

Длина каждой из этих 20 полос равна ширине коридора, то есть 3,5 м. Найдем общую длину линолеума, которую нужно отрезать от рулонов:

$20 \times 3,5 \text{ м} = 70 \text{ м}$

Рассчитаем необходимое количество рулонов:

$70 \text{ м} \div 12 \text{ м/рулон} \approx 5,83 \text{ рулонов}$

Округляем до ближайшего целого в большую сторону, получаем 6 рулонов.

3. Вывод

Сравнивая два варианта (8 рулонов и 6 рулонов), выбираем наименьший. Наименьшее количество рулонов, которое нужно для замены линолеума, — 6.

Ответ: 6 рулонов.