Страница 190 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

839. В книге напечатаны два рассказа. Один рассказ занимает 14 страниц, а второй — 19 страниц. Какую часть книги занимает каждый рассказ?

Для того чтобы определить, какую часть книги занимает каждый рассказ, необходимо сначала найти общее количество страниц в книге. Поскольку по условию книга состоит из двух рассказов, общее количество страниц будет равно сумме страниц этих двух рассказов.

1. Найдём общее количество страниц в книге, сложив количество страниц первого и второго рассказов:
$14 + 19 = 33$ (страницы).

Теперь, зная, что вся книга составляет 33 страницы (это целое), мы можем найти, какую часть от этого целого составляет каждый рассказ. Эта часть будет выражена в виде дроби, где числитель — это количество страниц рассказа, а знаменатель — общее количество страниц в книге.

2. Определим, какую часть книги занимает первый рассказ.
Он занимает 14 страниц из 33. Таким образом, его часть составляет $ \frac{14}{33} $.

3. Определим, какую часть книги занимает второй рассказ.
Он занимает 19 страниц из 33. Таким образом, его часть составляет $ \frac{19}{33} $.

Обе дроби ($ \frac{14}{33} $ и $ \frac{19}{33} $) являются несократимыми, так как у числителей и знаменателей нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: первый рассказ занимает $ \frac{14}{33} $ часть книги, а второй — $ \frac{19}{33} $ часть книги.

840. Маша испекла 24 пирожка с капустой и 28 пирожков с повидлом. Какую часть всех пирожков составляли пирожки с капустой и какую часть — пирожки с повидлом?

Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала необходимо найти общее количество пирожков, которые испекла Маша. Для этого сложим количество пирожков с капустой и количество пирожков с повидлом.

1) $24 + 28 = 52$ (пирожка) — всего испекла Маша.

Теперь, зная общее количество пирожков, мы можем определить, какую часть от этого количества составляют пирожки каждого вида.

Какую часть всех пирожков составляли пирожки с капустой

Чтобы найти, какую часть от общего числа пирожков составляют пирожки с капустой, нужно количество пирожков с капустой (24) разделить на общее количество пирожков (52). Полученную дробь нужно сократить.

$\frac{24}{52}$

Числитель и знаменатель этой дроби делятся на 4. Выполним сокращение:

$\frac{24 \div 4}{52 \div 4} = \frac{6}{13}$

Следовательно, пирожки с капустой составляют $\frac{6}{13}$ от всех пирожков.

Ответ: $\frac{6}{13}$

какую часть — пирожки с повидлом

Аналогично найдем, какую часть от общего числа пирожков составляют пирожки с повидлом. Для этого разделим количество пирожков с повидлом (28) на общее количество пирожков (52) и сократим полученную дробь.

$\frac{28}{52}$

Числитель и знаменатель этой дроби также делятся на 4:

$\frac{28 \div 4}{52 \div 4} = \frac{7}{13}$

Следовательно, пирожки с повидлом составляют $\frac{7}{13}$ от всех пирожков.

Для проверки можно сложить полученные части: $\frac{6}{13} + \frac{7}{13} = \frac{13}{13} = 1$, что соответствует всем испеченным пирожкам.

Ответ: $\frac{7}{13}$

841. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 9 см. Отметьте на нём точки, соответствующие дробям: $ \frac{1}{9} $, $ \frac{2}{9} $, $ \frac{4}{9} $, $ \frac{5}{9} $, $ \frac{8}{9} $.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить координатный луч. Для этого проводим прямую линию, на ней отмечаем начальную точку (начало отсчёта) и обозначаем её цифрой 0. Указываем направление луча стрелкой.

2. Определить положение единицы. По условию, единичный отрезок равен 9 см. Это значит, что расстояние от точки 0 до точки 1 на луче должно составлять 9 см. С помощью линейки откладываем от точки 0 отрезок длиной 9 см и отмечаем его конец как точку 1.

3. Найти длину одной доли единичного отрезка. Все дроби, которые нужно отметить ($\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{8}{9}$), имеют знаменатель 9. Это означает, что единичный отрезок (длиной 9 см) нужно мысленно или физически разделить на 9 равных частей. Длина каждой такой части будет равна:
$9 \text{ см} \div 9 = 1 \text{ см}$.
Таким образом, одна девятая ($\frac{1}{9}$) единичного отрезка равна 1 см.

4. Отметить на луче точки, соответствующие заданным дробям. Числитель дроби показывает, сколько таких частей (по 1 см) нужно отложить от начала отсчёта (точки 0).

• Точка, соответствующая дроби $\frac{1}{9}$, находится на расстоянии $1 \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}$ от точки 0.

• Точка, соответствующая дроби $\frac{2}{9}$, находится на расстоянии $2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$ от точки 0.

• Точка, соответствующая дроби $\frac{4}{9}$, находится на расстоянии $4 \times 1 \text{ см} = 4 \text{ см}$ от точки 0.

• Точка, соответствующая дроби $\frac{5}{9}$, находится на расстоянии $5 \times 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$ от точки 0.

• Точка, соответствующая дроби $\frac{8}{9}$, находится на расстоянии $8 \times 1 \text{ см} = 8 \text{ см}$ от точки 0.

Ответ: Необходимо начертить координатный луч, где точка 1 отстоит от точки 0 на 9 см. Затем отметить на этом луче точки: $\frac{1}{9}$ на расстоянии 1 см от 0, $\frac{2}{9}$ на расстоянии 2 см от 0, $\frac{4}{9}$ на расстоянии 4 см от 0, $\frac{5}{9}$ на расстоянии 5 см от 0 и $\frac{8}{9}$ на расстоянии 8 см от 0.

842. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 12 см. Отметьте на нём точки, соответствующие дробям: $ \frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{8}{12}, \frac{11}{12} $.

Для того чтобы начертить координатный луч и отметить на нем точки, соответствующие заданным дробям, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертите горизонтальный луч, который начинается в точке O. Эта точка будет началом отсчета и будет соответствовать координате 0.

2. Согласно условию, единичный отрезок равен 12 см. Это значит, что расстояние от точки 0 до точки 1 на луче составляет 12 см. С помощью линейки отмерьте 12 см от точки O и отметьте точку 1.

3. Все дроби, которые нужно отметить, имеют знаменатель 12. Это означает, что единичный отрезок (от 0 до 1) следует разделить на 12 равных частей. Поскольку длина всего единичного отрезка составляет 12 см, то длина каждой из этих 12 частей будет равна:

$12 \text{ см} \div 12 = 1 \text{ см}$

4. Теперь можно найти положение каждой точки. Чтобы найти точку, соответствующую дроби $ \frac{n}{12} $, нужно отложить от начала отсчета (точки 0) расстояние, равное $ n \times 1 \text{ см} $.

• Точка для дроби $ \frac{1}{12} $ находится на расстоянии $ 1 \times 1 = 1 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка для дроби $ \frac{2}{12} $ находится на расстоянии $ 2 \times 1 = 2 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка для дроби $ \frac{5}{12} $ находится на расстоянии $ 5 \times 1 = 5 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка для дроби $ \frac{6}{12} $ находится на расстоянии $ 6 \times 1 = 6 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка для дроби $ \frac{8}{12} $ находится на расстоянии $ 8 \times 1 = 8 \text{ см} $ от точки 0.
• Точка для дроби $ \frac{11}{12} $ находится на расстоянии $ 11 \times 1 = 11 \text{ см} $ от точки 0.

5. Начертив луч и отметив на нем точки 0 и 1, возьмите линейку и отложите от точки 0 вычисленные расстояния, чтобы отметить каждую точку и подписать ее соответствующей дробью.

Ответ: На координатном луче с началом в точке 0 и единичным отрезком длиной 12 см (точка 1 находится на расстоянии 12 см от 0), заданные точки будут расположены на следующих расстояниях от начала отсчета: точка $ \frac{1}{12} $ на расстоянии 1 см, точка $ \frac{2}{12} $ — 2 см, точка $ \frac{5}{12} $ — 5 см, точка $ \frac{6}{12} $ — 6 см, точка $ \frac{8}{12} $ — 8 см и точка $ \frac{11}{12} $ — 11 см.

843. Какую часть площадь закрашенного треугольника (рис. 208) составляет от площади:

1) треугольника $ABD$;

2) четырёхугольника $ABCD$;

3) четырёхvгольника $ABCE$?

Рис. 208

Для решения задачи удобно принять площадь закрашенного треугольника за условную единицу площади $S$. Из рисунка видно, что все фигуры составлены из одинаковых маленьких треугольников, равных по площади закрашенному. Решение сводится к подсчету количества таких треугольников в каждой из указанных фигур.

1) треугольника ABD;

Треугольник $ABD$ состоит из четырех маленьких треугольников, один из которых закрашен. Таким образом, площадь треугольника $ABD$ в четыре раза больше площади закрашенного треугольника.
Обозначим площадь закрашенного треугольника как $S_{закр} = S$.
Тогда площадь треугольника $ABD$ равна $S_{ABD} = 4S$.
Искомая часть площади составляет:
$\frac{S_{закр}}{S_{ABD}} = \frac{S}{4S} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) четырёхугольника ABCD;

Четырёхугольник $ABCD$ состоит из двух треугольников: $ABD$ и $BCD$.
Площадь треугольника $ABD$ нам уже известна: $S_{ABD} = 4S$.
Из рисунка видно, что треугольник $BCD$ состоит из двух маленьких треугольников, равных закрашенному. Следовательно, его площадь $S_{BCD} = 2S$.
Площадь четырёхугольника $ABCD$ равна сумме площадей этих двух треугольников:
$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = 4S + 2S = 6S$.
Искомая часть площади составляет:
$\frac{S_{закр}}{S_{ABCD}} = \frac{S}{6S} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

3) четырёхугольника ABCE?

Четырёхугольник $ABCE$ (трапеция) состоит из трех треугольников: $ABD$, $BCD$ и $CDE$.
Площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны $S_{ABD} = 4S$ и $S_{BCD} = 2S$.
Из рисунка видно, что треугольник $CDE$ по строению аналогичен треугольнику $ABD$ и состоит из четырех маленьких треугольников. Его площадь $S_{CDE} = 4S$.
Общая площадь четырёхугольника $ABCE$ равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S_{ABCE} = S_{ABD} + S_{BCD} + S_{CDE} = 4S + 2S + 4S = 10S$.
Искомая часть площади составляет:
$\frac{S_{закр}}{S_{ABCE}} = \frac{S}{10S} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

844. На рисунке 209 изображён квадрат $ABCD$. Какая часть квадрата закрашена?

Рис. 209

а

Чтобы определить, какая часть квадрата закрашена, разобьем его на равные части. Видно, что весь квадрат ABCD разделен на 8 одинаковых по площади прямоугольных треугольников. Из этих 8 треугольников закрашено 2. Таким образом, закрашенная часть составляет $ \frac{2}{8} $ от площади всего квадрата.

Сократим полученную дробь:

$ \frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4} $

Ответ: закрашена $ \frac{1}{4} $ часть квадрата.

б

В этом случае квадрат ABCD разделен на 16 одинаковых по площади маленьких прямоугольных треугольников. Из этих 16 треугольников закрашено 4. Следовательно, закрашенная часть составляет $ \frac{4}{16} $ от площади всего квадрата.

Сократим полученную дробь:

$ \frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4} $

Ответ: закрашена $ \frac{1}{4} $ часть квадрата.