Страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какому числу равна дробь, у которой числитель равен знаменателю?

1.

Дробь представляет собой деление одного числа (числителя) на другое (знаменатель). Обозначим дробь в общем виде как $ \frac{a}{b} $, где $a$ — это числитель, а $b$ — знаменатель.

По условию задачи, числитель равен знаменателю, то есть $a = b$. При этом, по определению дроби, её знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $b \neq 0$, а значит и $a \neq 0$.

Если мы подставим в нашу дробь $ \frac{a}{b} $ значение $b$ вместо $a$ (поскольку они равны), то получим $ \frac{b}{b} $.

Любое число, отличное от нуля, при делении на само себя дает в результате единицу. Например:

• $ \frac{5}{5} = 1 $
• $ \frac{27}{27} = 1 $
• $ \frac{-10}{-10} = 1 $

Таким образом, любая дробь, у которой числитель равен знаменателю (и они не равны нулю), всегда будет равна 1.

Ответ: 1.

2. Какую дробь называют правильной?

Правильной дробью называют обыкновенную дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой дроби) меньше знаменателя (числа, стоящего под чертой дроби).

Если дробь записана в виде $ \frac{a}{b} $, где $a$ и $b$ — натуральные числа, то она считается правильной, если выполняется неравенство $a < b$.

Важной характеристикой правильной дроби является то, что её значение всегда меньше единицы ($1$).

Например, дроби $ \frac{2}{5} $, $ \frac{7}{10} $, $ \frac{1}{100} $ являются правильными, так как в каждом случае числитель меньше знаменателя:

• в дроби $ \frac{2}{5} $ числитель $2$ меньше знаменателя $5$;
• в дроби $ \frac{7}{10} $ числитель $7$ меньше знаменателя $10$;
• в дроби $ \frac{1}{100} $ числитель $1$ меньше знаменателя $100$.

Дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю (например, $ \frac{5}{3} $ или $ \frac{8}{8} $), называются неправильными дробями.

Ответ: Правильной называют дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

3. Какую дробь называют неправильной?

А. Если $a/b \ge 1$

Неправильной дробью в математике называют обыкновенную дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой дроби) больше или равен знаменателю (числу, стоящему под чертой дроби).

Если представить дробь в общем виде как $ \frac{a}{b} $, где $ a $ – это числитель, а $ b $ – знаменатель, то дробь будет считаться неправильной, если выполняется условие $ a \ge b $.

Значение любой неправильной дроби всегда больше или равно единице ($ 1 $).

Можно выделить два случая неправильных дробей:

1. Числитель больше знаменателя. Например: $ \frac{5}{3} $, $ \frac{9}{4} $, $ \frac{12}{5} $. Значение таких дробей всегда больше $ 1 $. Дробь $ \frac{5}{3} $ означает, что мы взяли 5 частей, каждая из которых равна одной трети целого. Так как 3 части составляют целое, то 5 частей — это больше чем одно целое.

2. Числитель равен знаменателю. Например: $ \frac{7}{7} $, $ \frac{10}{10} $, $ \frac{2}{2} $. Значение таких дробей всегда равно $ 1 $, так как мы берем все части, на которые было разделено целое.

Для сравнения, дроби, у которых числитель меньше знаменателя (например, $ \frac{2}{5} $), называются правильными, и их значение всегда меньше $ 1 $.

Ответ: Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

4. Какая из двух дробей с равными знаменателями больше? меньше?

Чтобы сравнить две дроби с равными (одинаковыми) знаменателями, нужно сравнить их числители. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделена единица (целое), а числитель — сколько таких частей взято. Если размер частей одинаков (знаменатели равны), то чем больше частей мы берем (чем больше числитель), тем больше и сама дробь.

Рассмотрим две дроби в общем виде: $\frac{a}{d}$ и $\frac{b}{d}$. У них общий знаменатель $d$.

больше?

Из двух дробей с равными знаменателями большей будет та, у которой числитель больше. Если $a > b$, то $\frac{a}{d} > \frac{b}{d}$.

Например, сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$. Знаменатели равны 8. Сравниваем числители: $5 > 3$. Значит, дробь $\frac{5}{8}$ больше, чем дробь $\frac{3}{8}$.

Ответ: из двух дробей с равными знаменателями больше та, у которой числитель больше.

меньше?

Из двух дробей с равными знаменателями меньшей будет та, у которой числитель меньше. Если $a < b$, то $\frac{a}{d} < \frac{b}{d}$.

Например, снова возьмем дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$. Сравниваем числители: $3 < 5$. Значит, дробь $\frac{3}{8}$ меньше, чем дробь $\frac{5}{8}$.

Ответ: из двух дробей с равными знаменателями меньше та, у которой числитель меньше.

5. Сравните с единицей любую правильную дробь; любую неправильную дробь.

любую правильную дробь

Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель (верхнее число) меньше знаменателя (нижнее число). Обозначим любую правильную дробь как $ \frac{a}{b} $, где $ a < b $ (при условии, что $ a $ и $ b $ — положительные числа).

Чтобы сравнить дробь с единицей, представим единицу в виде дроби с тем же знаменателем $ b $. Единица — это любое число, деленное на само себя, поэтому $ 1 = \frac{b}{b} $.

Теперь сравним две дроби: $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{b}{b} $. Поскольку у них одинаковые знаменатели, мы можем просто сравнить их числители.

Так как по определению правильной дроби $ a < b $, то отсюда следует, что $ \frac{a}{b} < \frac{b}{b} $.

Значит, $ \frac{a}{b} < 1 $.

Ответ: любая правильная дробь меньше единицы.

любую неправильную дробь

Неправильная дробь — это такая дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Обозначим любую неправильную дробь как $ \frac{c}{d} $, где $ c \ge d $ (при условии, что $ c $ и $ d $ — положительные числа).

Как и в предыдущем случае, представим единицу в виде дроби со знаменателем $ d $: $ 1 = \frac{d}{d} $.

Сравним дроби $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{d}{d} $. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители.

По определению неправильной дроби $ c \ge d $, следовательно $ \frac{c}{d} \ge \frac{d}{d} $.

Значит, $ \frac{c}{d} \ge 1 $.

Это означает, что неправильная дробь может быть либо больше единицы (если $ c > d $, например, $ \frac{5}{3} > 1 $), либо равна единице (если $ c = d $, например, $ \frac{3}{3} = 1 $).

Ответ: любая неправильная дробь больше или равна единице.

6. Сравните любую неправильную дробь с любой правильной дробью.

6.

Чтобы сравнить любую неправильную дробь с любой правильной дробью, необходимо рассмотреть их определения и свойства относительно числа 1.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению, $a < b$. Результат деления меньшего положительного числа на большее всегда меньше 1. Следовательно, любая правильная дробь всегда меньше 1.

Например: $\frac{3}{5} < 1$, $\frac{12}{17} < 1$.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть дана неправильная дробь $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению, $c \ge d$. Результат деления числа на меньшее или равное ему положительное число всегда больше или равен 1. Следовательно, любая неправильная дробь всегда больше или равна 1.

Например: $\frac{8}{5} > 1$, $\frac{19}{10} > 1$, $\frac{7}{7} = 1$.

Теперь, основываясь на этих свойствах, можно провести сравнение. Мы имеем два факта:

1. Значение любой правильной дроби меньше 1.

2. Значение любой неправильной дроби больше или равно 1.

Так как любое число, которое меньше 1, очевидно, меньше любого числа, которое равно 1 или больше 1, мы можем сделать однозначный вывод. Любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной дроби.

Это можно записать в виде общего неравенства. Для любой правильной дроби $\frac{a}{b}$ и любой неправильной дроби $\frac{c}{d}$ выполняется следующее соотношение:

$\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$

Из этого следует, что $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Ответ: Любая неправильная дробь всегда больше любой правильной дроби.

7. Какая из двух дробей с одинаковыми числителями больше? меньше?

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, необходимо сравнить их знаменатели. Правило сравнения основано на том, что знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято.

Рассмотрим две дроби с одинаковым числителем $a$ и разными знаменателями $b$ и $c$: $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{c} $. В обеих дробях мы берем одинаковое количество частей ($a$), но размер этих частей будет разным, так как в первом случае целое разделили на $b$ частей, а во втором — на $c$ частей.

больше?

Чем на меньшее количество частей мы делим целое, тем крупнее (больше) получается каждая часть. Следовательно, если знаменатель одной дроби меньше знаменателя другой, то ее части крупнее. При одинаковом количестве взятых частей (одинаковых числителях), больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Например, сравним дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{5}{12} $.
Числители у дробей одинаковы и равны 5. Сравним знаменатели: $ 8 < 12 $.
Так как мы делим целое на меньшее количество частей в первой дроби (на 8, а не на 12), то каждая восьмая часть будет больше, чем каждая двенадцатая. Соответственно, 5 таких больших частей будут больше, чем 5 маленьких.
Следовательно, $ \frac{5}{8} > \frac{5}{12} $.

Ответ: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

меньше?

Используя ту же логику, можно сказать, что чем на большее количество частей мы делим целое, тем мельче (меньше) получается каждая часть. Следовательно, при одинаковых числителях меньше будет та дробь, у которой знаменатель больше.

Снова рассмотрим дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{5}{12} $.
Числители равны. Сравним знаменатели: $ 12 > 8 $.
Так как во второй дроби мы делим целое на большее количество частей (на 12, а не на 8), то каждая двенадцатая часть будет меньше, чем каждая восьмая. Поэтому 5 таких маленьких частей будут меньше, чем 5 больших.
Следовательно, $ \frac{5}{12} < \frac{5}{8} $.

Ответ: Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

1. Какую часть составляет:

1) длина стороны квадрата от его периметра;

2) секунда от часа;

3) сантиметр от километра?

1) длина стороны квадрата от его периметра;

Пусть длина стороны квадрата равна $a$. Периметр квадрата $P$ — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны, его периметр вычисляется по формуле:
$P = a + a + a + a = 4a$.
Чтобы найти, какую часть длина стороны составляет от периметра, необходимо разделить длину стороны на периметр:
$\frac{a}{P} = \frac{a}{4a}$.
Сократив $a$ в числителе и знаменателе, мы получаем дробь $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) секунда от часа;

Чтобы определить, какую часть секунда составляет от часа, нужно сначала узнать, сколько секунд в одном часе.
В одной минуте 60 секунд.
В одном часе 60 минут.
Следовательно, в одном часе $60 \times 60 = 3600$ секунд.
Таким образом, одна секунда составляет $\frac{1}{3600}$ часть часа.
Ответ: $\frac{1}{3600}$.

3) сантиметр от километра?

Чтобы определить, какую часть сантиметр составляет от километра, нужно узнать, сколько сантиметров в одном километре.
В одном метре 100 сантиметров.
В одном километре 1000 метров.
Следовательно, в одном километре $1000 \times 100 = 100000$ сантиметров.
Таким образом, один сантиметр составляет $\frac{1}{100000}$ часть километра.
Ответ: $\frac{1}{100000}$.

2. Дима находится в школе с 8 ч 30 мин до 14 ч 30 мин. Какую часть суток Дима проводит в школе?

Чтобы определить, какую часть суток Дима проводит в школе, необходимо сначала вычислить общее время его пребывания в школе, а затем найти отношение этого времени к общему количеству часов в сутках.

1. Вычислим, сколько времени Дима находится в школе. Для этого вычтем время начала из времени окончания:
$14$ ч $30$ мин - $8$ ч $30$ мин = $6$ часов.
Таким образом, Дима проводит в школе 6 часов.

2. Теперь найдем, какую часть суток составляют эти 6 часов. В одних сутках 24 часа. Чтобы найти искомую часть, нужно разделить время, проведенное в школе, на общее количество часов в сутках.
$ \frac{6}{24} $

3. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 6 и 24 равен 6. Разделим числитель и знаменатель дроби на 6:
$ \frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4} $
Следовательно, Дима проводит в школе $ \frac{1}{4} $ часть суток.

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

3. Ширина прямоугольника равна 8 см, что составляет половину его длины. Вычислите периметр прямоугольника.

Для того чтобы вычислить периметр прямоугольника, сначала необходимо найти его длину.

1. Находим длину прямоугольника.
Из условия задачи известно, что ширина прямоугольника равна 8 см, и это составляет половину его длины. Следовательно, чтобы найти длину, нужно умножить ширину на 2.
Пусть $a$ – длина, а $b$ – ширина. Тогда:
$b = 8 \text{ см}$
$b = \frac{1}{2}a$
$a = 2 \times b = 2 \times 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.
Таким образом, длина прямоугольника составляет 16 см.

2. Вычисляем периметр прямоугольника.
Периметр прямоугольника ($P$) – это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле:
$P = 2 \times (a + b)$
Подставим значения длины и ширины в формулу:
$P = 2 \times (16 \text{ см} + 8 \text{ см})$
$P = 2 \times 24 \text{ см}$
$P = 48 \text{ см}$
Ответ: 48 см.

4. Знак какого арифметического действия надо поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное равенство:

1) $83 * 1 = 83;$

2) $2 * 2 = 4;$

3) $58 * 0 = 58;$

4) $34 * 0 = 0?$

Для того чтобы предложенные равенства стали верными, необходимо проанализировать каждое из них и подобрать подходящий знак арифметического действия.

1) Равенство: $83 * 1 = 83$.
Чтобы в результате получилось то же самое число (83), можно использовать умножение или деление на 1.
Проверим: $83 × 1 = 83$. Верно.
Проверим: $83 ÷ 1 = 83$. Верно.
Сложение ($83 + 1 = 84$) и вычитание ($83 - 1 = 82$) не подходят.
Ответ: умножение ($×$) или деление ($÷$).

2) Равенство: $2 * 2 = 4$.
В этом случае подходят два действия: сложение и умножение.
Проверим: $2 + 2 = 4$. Верно.
Проверим: $2 × 2 = 4$. Верно.
Вычитание ($2 - 2 = 0$) и деление ($2 ÷ 2 = 1$) не подходят.
Ответ: сложение ($+$) или умножение ($×$).

3) Равенство: $58 * 0 = 58$.
Чтобы в результате получилось то же самое число (58), можно прибавить или отнять 0.
Проверим: $58 + 0 = 58$. Верно.
Проверим: $58 - 0 = 58$. Верно.
Умножение ($58 × 0 = 0$) не подходит. Деление на ноль невозможно.
Ответ: сложение ($+$) или вычитание ($-$).

4) Равенство: $34 * 0 = 0$.
При умножении любого числа на ноль в результате всегда получается ноль.
Проверим: $34 × 0 = 0$. Верно.
Сложение ($34 + 0 = 34$) и вычитание ($34 - 0 = 34$) не подходят. Деление на ноль невозможно.
Ответ: умножение ($×$).