Страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

872. Найдите все натуральные значения $a$, при которых:

1) обе дроби $ \frac{a}{8} $ и $ \frac{9}{a} $ будут неправильными;

2) обе дроби $ \frac{a}{10} $ и $ \frac{15}{a} $ будут неправильными, а дробь $ \frac{a}{13} $ — правильной.

1) По условию, обе дроби $\frac{a}{8}$ и $\frac{9}{a}$ должны быть неправильными, а значение $a$ должно быть натуральным числом.

Дробь считается неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю.

Для дроби $\frac{a}{8}$ условие неправильности записывается как неравенство $a \ge 8$.

Для дроби $\frac{9}{a}$ условие неправильности записывается как неравенство $9 \ge a$ (или $a \le 9$). Поскольку $a$ — натуральное число, оно не равно нулю, поэтому знаменатель корректен.

Нам необходимо найти все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $a \ge 8$ и $a \le 9$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $8 \le a \le 9$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это 8 и 9.

Ответ: 8, 9.

2) По условию, дроби $\frac{a}{10}$ и $\frac{15}{a}$ должны быть неправильными, а дробь $\frac{a}{13}$ — правильной. Значение $a$ должно быть натуральным числом.

Дробь является неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. Дробь является правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Составим систему условий для натурального числа $a$:

1. Дробь $\frac{a}{10}$ является неправильной, следовательно, $a \ge 10$.

2. Дробь $\frac{15}{a}$ является неправильной, следовательно, $15 \ge a$ (или $a \le 15$).

3. Дробь $\frac{a}{13}$ является правильной, следовательно, $a < 13$.

Теперь нужно найти все натуральные числа $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $a \ge 10$, $a \le 15$ и $a < 13$.

Объединив первое и третье условия ($a \ge 10$ и $a < 13$), получаем двойное неравенство $10 \le a < 13$. Второе условие ($a \le 15$) автоматически выполняется для любого $a$, которое меньше 13.

Таким образом, искомые натуральные значения $a$ — это те, что удовлетворяют неравенству $10 \le a < 13$. Такими числами являются 10, 11 и 12.

Ответ: 10, 11, 12.

873. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $180 \text{ дм}^3$, а два его измерения — $6 \text{ дм}$ и $15 \text{ дм}$. Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина, высота).

По условию нам даны объём $V = 180$ дм³ и два измерения, пусть это будут $a = 6$ дм и $b = 15$ дм. Нам необходимо найти третье измерение $c$.

Подставим известные значения в формулу объёма:

$180 = 6 \cdot 15 \cdot c$

Вычислим произведение известных сторон:

$6 \cdot 15 = 90$

Теперь уравнение выглядит так:

$180 = 90 \cdot c$

Отсюда найдём $c$:

$c = \frac{180}{90} = 2$ дм.

Итак, все три измерения параллелепипеда равны 6 дм, 15 дм и 2 дм.

Теперь найдём сумму длин всех рёбер. Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер: 4 ребра длиной $a$, 4 ребра длиной $b$ и 4 ребра длиной $c$. Сумма длин всех рёбер $L$ вычисляется по формуле:

$L = 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c)$

Подставим найденные значения измерений:

$L = 4(6 + 15 + 2) = 4(23) = 92$ дм.

Ответ: 92 дм.

874. Выполните действия:

1) $(69 \cdot 63 - 10098 \div 54 - 1950) \div 34;$

2) $98 \cdot 38 - 1320 \div 55 - 185.$

1) $(69 \cdot 63 - 10 098 : 54 - 1950) : 34$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (умножение и деление, затем вычитание слева направо), а после этого — деление за скобками.

1. Первое действие в скобках — умножение:
$69 \cdot 63 = 4347$.

2. Второе действие в скобках — деление:
$10 098 : 54 = 187$.

3. Теперь выполним вычитания в скобках слева направо:
$4347 - 187 = 4160$.
$4160 - 1950 = 2210$.

4. Последнее действие — деление результата из скобок на 34:
$2210 : 34 = 65$.

Ответ: 65

2) $98 \cdot 38 - 1320 : 55 - 185$

В этом примере действия выполняются в следующем порядке: сначала умножение и деление (слева направо), а затем вычитание (слева направо).

1. Первое действие — умножение:
$98 \cdot 38 = 3724$.

2. Второе действие — деление:
$1320 : 55 = 24$.

3. Теперь выполним вычитания слева направо:
$3724 - 24 = 3700$.
$3700 - 185 = 3515$.

Ответ: 3515

875. В супермаркете проходит рекламная акция: купив две шоколадки, покупатель получает третью шоколадку в подарок. Шоколадка стоит 46 р. Какое наибольшее количество шоколадок можно получить, имея 200 р.?

1. Сначала определим, сколько шоколадок можно купить на 200 рублей. Для этого разделим имеющуюся сумму на стоимость одной шоколадки:

$200 \div 46 = 4$ (остаток $16$)

Таким образом, на 200 рублей можно купить 4 шоколадки. На покупку будет потрачено $4 \times 46 = 184$ рубля. Оставшихся 16 рублей не хватит для покупки еще одной шоколадки.

2. Теперь воспользуемся условием акции: за каждые две купленные шоколадки покупатель получает третью в подарок. Так как было куплено 4 шоколадки, то акция сработает несколько раз. Найдем, сколько пар шоколадок было куплено:

$4 \div 2 = 2$

За каждую пару купленных шоколадок покупатель получает одну в подарок. Следовательно, он получит 2 подарочные шоколадки.

3. Найдем общее количество шоколадок, сложив количество купленных и количество полученных в подарок:

$4$ (купленные) $+ 2$ (подарочные) $= 6$ (всего)

Ответ: 6.

876. Вася Ленивцев решил задачу 870 и получил такой ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Найдите ошибку в его решении.

Для того чтобы найти ошибку в решении Васи, необходимо сначала решить задачу 870, на которую он давал ответ. Вероятнее всего, это задача из учебника математики для 5 класса, условие которой звучит так: «Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число 45* делилось нацело на 3?».

Решение этой задачи основывается на признаке делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числа 45* равна $4 + 5 + * = 9 + *$.
Чтобы число 45* делилось на 3, сумма его цифр $9 + *$ должна делиться на 3. Так как слагаемое 9 уже делится на 3, то и второе слагаемое, цифра *, также должно делиться на 3.
Цифры, которые делятся на 3, — это 0, 3, 6, 9.
Следовательно, правильный ответ к задаче 870: 0, 3, 6, 9.

Вася Ленивцев получил ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сравнивая его ответ с правильным, можно выявить ошибки:
1. Он включил в ответ неверные цифры: 1, 2, 4, 5, 7. Ни одна из них не подходит, так как соответствующие суммы цифр не делятся на 3. Например, для цифры 1 сумма равна $4+5+1=10$, что не кратно 3.
2. Он пропустил в ответе верные цифры: 0 и 9. Они являются правильными, так как соответствующие суммы цифр $4+5+0=9$ и $4+5+9=18$ делятся на 3.
Из всего ответа Васи правильными являются только цифры 3 и 6.

Таким образом, ошибка Васи состоит в том, что он не применил или неверно применил признак делимости на 3, в результате чего его ответ содержит как неверные цифры, так и не включает все верные.

Ответ: Ошибка Васи в том, что он неверно определил набор цифр, при которых число 45* делится на 3. Он включил в ответ неверные цифры (1, 2, 4, 5, 7) и пропустил верные (0, 9).

877. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?

1. Введем обозначения

Пусть $М$ – количество бананов, которые съела Мартышка, $У$ – Удав, $С$ – Слонёнок, а $П$ – Попугай.

2. Запишем условия задачи в виде уравнений

Исходя из текста задачи, мы можем составить следующие уравнения и неравенства:

• Всего съели 70 бананов: $М + У + С + П = 70$
• Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов: $С + П = 45$
• Каждый съел хотя бы один банан: $М \ge 1, У \ge 1, С \ge 1, П \ge 1$
• Мартышка съела больше, чем кто-либо из них: $М > У$, $М > С$, $М > П$

3. Найдем, сколько бананов съели Мартышка и Удав вместе

Чтобы найти, сколько бананов съели Мартышка и Удав, вычтем из общего количества бананов те, что съели Попугай и Слонёнок.

$М + У = (М + У + С + П) - (С + П)$

$М + У = 70 - 45 = 25$

Итак, Мартышка и Удав вместе съели 25 бананов.

4. Найдем количество бананов, которое съел Удав

По условию, Мартышка съела больше всех. Это значит, что она съела больше, чем Слонёнок и Попугай. Так как Слонёнок и Попугай вместе съели 45 бананов и каждый съел хотя бы один, то кто-то из них должен был съесть как минимум 23 банана (если бы они съели поровну, было бы по 22.5, значит один съел 23 или больше). Следовательно, Мартышка должна была съесть больше 23 бананов, то есть как минимум 24 банана ($М \ge 24$).

Теперь вернемся к уравнению для Мартышки и Удава: $М + У = 25$.

Мы знаем, что $М \ge 24$ и $У \ge 1$. Единственная пара целых чисел, которая удовлетворяет этим условиям, это:

$М = 24$ и $У = 1$.

Если бы Мартышка съела 25 бананов, то Удав съел бы 0, что противоречит условию. Если бы Мартышка съела меньше 24, она не была бы тем, кто съел больше всех.

Таким образом, Удав съел 1 банан.

Ответ: 1