Номер 872, страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 31. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 872, страница 199.

Условие.

872. Найдите все натуральные значения $a$, при которых:

1) обе дроби $ \frac{a}{8} $ и $ \frac{9}{a} $ будут неправильными;

2) обе дроби $ \frac{a}{10} $ и $ \frac{15}{a} $ будут неправильными, а дробь $ \frac{a}{13} $ — правильной.

Решение.

Решение 2.

1) По условию, обе дроби $\frac{a}{8}$ и $\frac{9}{a}$ должны быть неправильными, а значение $a$ должно быть натуральным числом.

Дробь считается неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю.

Для дроби $\frac{a}{8}$ условие неправильности записывается как неравенство $a \ge 8$.

Для дроби $\frac{9}{a}$ условие неправильности записывается как неравенство $9 \ge a$ (или $a \le 9$). Поскольку $a$ — натуральное число, оно не равно нулю, поэтому знаменатель корректен.

Нам необходимо найти все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $a \ge 8$ и $a \le 9$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $8 \le a \le 9$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это 8 и 9.

Ответ: 8, 9.

2) По условию, дроби $\frac{a}{10}$ и $\frac{15}{a}$ должны быть неправильными, а дробь $\frac{a}{13}$ — правильной. Значение $a$ должно быть натуральным числом.

Дробь является неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. Дробь является правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Составим систему условий для натурального числа $a$:

1. Дробь $\frac{a}{10}$ является неправильной, следовательно, $a \ge 10$.

2. Дробь $\frac{15}{a}$ является неправильной, следовательно, $15 \ge a$ (или $a \le 15$).

3. Дробь $\frac{a}{13}$ является правильной, следовательно, $a < 13$.

Теперь нужно найти все натуральные числа $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $a \ge 10$, $a \le 15$ и $a < 13$.

Объединив первое и третье условия ($a \ge 10$ и $a < 13$), получаем двойное неравенство $10 \le a < 13$. Второе условие ($a \le 15$) автоматически выполняется для любого $a$, которое меньше 13.

Таким образом, искомые натуральные значения $a$ — это те, что удовлетворяют неравенству $10 \le a < 13$. Такими числами являются 10, 11 и 12.

Ответ: 10, 11, 12.