Страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое арифметическое действие обозначает черта дроби?

1. Черта дроби — это один из способов записи арифметического действия деления.

В любой дроби, например, $\frac{a}{b}$, число, стоящее над чертой ($a$), называется числителем, а число, стоящее под чертой ($b$), — знаменателем. Черта дроби указывает на то, что числитель нужно разделить на знаменатель. Таким образом, любая дробь представляет собой частное от деления числителя на знаменатель.

Математически это можно записать так:

$\frac{a}{b} = a \div b$

При этом:

• Числитель ($a$) является делимым.
• Знаменатель ($b$) является делителем.
• Значение дроби является частным.

Например, дробь $\frac{8}{4}$ означает, что число 8 нужно разделить на 4. Выполнив это действие, мы получим результат:

$\frac{8}{4} = 8 \div 4 = 2$

Другой пример: дробь $\frac{1}{2}$ означает деление 1 на 2, что в виде десятичной дроби равно 0,5.

$\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$

Таким образом, черта дроби является полным эквивалентом знака деления ($\div$ или $:$).

Ответ: Деление.

2. Каким числом может быть результат деления двух натуральных чисел?

Результат деления двух натуральных чисел зависит от того, делится ли делимое на делитель нацело.

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$), используемые при счете. Пусть мы делим натуральное число $a$ (делимое) на натуральное число $b$ (делитель). Результат $c = \frac{a}{b}$ будет всегда положительным числом, так как $a > 0$ и $b > 0$.

Рассмотрим возможные варианты результата:

1. Если $a$ делится на $b$ без остатка, то результатом будет натуральное число.
Например: $12 \div 3 = 4$. Число 4 является натуральным.

2. Если $a$ не делится на $b$ без остатка, то результатом будет положительная дробь. Такие дроби относятся к множеству рациональных чисел. Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде отношения $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Результат деления $\frac{a}{b}$ как раз подходит под это определение.
Такая дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби (например, $9 \div 2 = 4.5$) или бесконечной периодической десятичной дроби (например, $2 \div 3 = 0.666\ldots = 0.(6)$).

Таким образом, обобщая все случаи, можно утверждать, что результатом деления двух натуральных чисел всегда является положительное рациональное число. Это понятие объединяет и натуральные числа (которые можно записать в виде дроби со знаменателем 1, например, $4 = \frac{4}{1}$), и все виды положительных дробей.

Ответ: Результатом деления двух натуральных чисел всегда является положительное рациональное число (это может быть как натуральное число, так и положительная дробь).

1. Какое число стоит в конце цепочки вычислений?

$ \frac{19}{63} \xrightarrow{+ \frac{37}{63}} \circ \xrightarrow{- \frac{28}{63}} \circ \xrightarrow{+ \frac{42}{63}} \circ \xrightarrow{- \frac{7}{63}} \Box $

Для того чтобы найти число, стоящее в конце цепочки вычислений, необходимо последовательно выполнить все указанные арифметические действия с дробями.

Все дроби в данной задаче имеют общий знаменатель 63, что упрощает вычисления, так как операции сложения и вычитания в этом случае проводятся только над числителями.

Выполним вычисления по шагам:

1. Первое действие: сложение. К начальной дроби $\frac{19}{63}$ прибавляем $\frac{37}{63}$.
$\frac{19}{63} + \frac{37}{63} = \frac{19 + 37}{63} = \frac{56}{63}$

2. Второе действие: вычитание. Из полученного результата $\frac{56}{63}$ вычитаем $\frac{28}{63}$.
$\frac{56}{63} - \frac{28}{63} = \frac{56 - 28}{63} = \frac{28}{63}$

3. Третье действие: сложение. К новому результату $\frac{28}{63}$ прибавляем $\frac{42}{63}$.
$\frac{28}{63} + \frac{42}{63} = \frac{28 + 42}{63} = \frac{70}{63}$

4. Четвертое действие: вычитание. Из $\frac{70}{63}$ вычитаем $\frac{7}{63}$.
$\frac{70}{63} - \frac{7}{63} = \frac{70 - 7}{63} = \frac{63}{63}$

Полученная в итоге дробь $\frac{63}{63}$ равна единице, так как ее числитель равен знаменателю.
$\frac{63}{63} = 1$

Ответ: 1

2. Все дроби $\frac{3}{7}$, $\frac{6}{4}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{9}{11}$, $\frac{2}{8}$, $\frac{4}{6}$, кроме одной, имеют общее свойство. Какое это свойство? Какая из дробей этим свойством не обладает?

Чтобы найти общее свойство для большинства дробей и определить, какая из них является исключением, проанализируем каждую из представленных дробей:

$ \frac{3}{7}, \frac{6}{4}, \frac{4}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{11}, \frac{2}{8}, \frac{4}{6} $

Основное свойство, по которому можно классифицировать дроби, — это сравнение их числителя (верхнего числа) и знаменателя (нижнего числа). Если числитель меньше знаменателя, дробь называется правильной. Если числитель больше или равен знаменателю, дробь называется неправильной.

Рассмотрим каждую дробь:

• $ \frac{3}{7} $: числитель $3$ меньше знаменателя $7$, значит, это правильная дробь.
• $ \frac{6}{4} $: числитель $6$ больше знаменателя $4$, значит, это неправильная дробь.
• $ \frac{4}{5} $: числитель $4$ меньше знаменателя $5$, значит, это правильная дробь.
• $ \frac{3}{8} $: числитель $3$ меньше знаменателя $8$, значит, это правильная дробь.
• $ \frac{9}{11} $: числитель $9$ меньше знаменателя $11$, значит, это правильная дробь.
• $ \frac{2}{8} $: числитель $2$ меньше знаменателя $8$, значит, это правильная дробь.
• $ \frac{4}{6} $: числитель $4$ меньше знаменателя $6$, значит, это правильная дробь.

Как видно из анализа, шесть из семи дробей являются правильными, то есть у них числитель меньше знаменателя. Это и есть их общее свойство.

Ответ: Общее свойство — быть правильной дробью (числитель меньше знаменателя).

Единственная дробь, которая не соответствует этому свойству, — это $ \frac{6}{4} $. Она является неправильной, так как ее числитель ($6$) больше знаменателя ($4$).

Ответ: Дробь $ \frac{6}{4} $ не обладает этим свойством.

893. Запишите в виде дроби частное:

1) $ \frac{4}{12} $

2) $ \frac{6}{25} $

3) $ \frac{16}{8} $

4) $ \frac{14}{23} $

5) $ \frac{17}{11} $

1) Чтобы записать частное $4 : 12$ в виде дроби, нужно делимое ($4$) сделать числителем, а делитель ($12$) — знаменателем. Получаем дробь $\frac{4}{12}$. Эту дробь можно и нужно сократить. Наибольший общий делитель для $4$ и $12$ — это $4$. Делим числитель и знаменатель на $4$:
$4 : 12 = \frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Частное $6 : 25$ записывается в виде дроби $\frac{6}{25}$. Чтобы проверить, можно ли ее сократить, нужно найти общие делители для $6$ и $25$. Делители $6$: $1, 2, 3, 6$. Делители $25$: $1, 5, 25$. Единственный общий делитель — $1$, значит дробь несократимая.
$6 : 25 = \frac{6}{25}$.
Ответ: $\frac{6}{25}$.

3) Частное $16 : 8$ записывается в виде дроби $\frac{16}{8}$. Так как числитель ($16$) делится на знаменатель ($8$) без остатка, результатом будет целое число.
$16 : 8 = \frac{16}{8} = 2$.
Ответ: $2$.

4) Частное $14 : 23$ записывается в виде дроби $\frac{14}{23}$. Число $23$ — простое, оно делится только на $1$ и на себя. Число $14$ на $23$ не делится. Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме $1$, и дробь является несократимой.
$14 : 23 = \frac{14}{23}$.
Ответ: $\frac{14}{23}$.

5) Частное $17 : 11$ записывается в виде дроби $\frac{17}{11}$. Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Числа $17$ и $11$ являются простыми, поэтому у них нет общих делителей, кроме $1$, и дробь несократимая.
$17 : 11 = \frac{17}{11}$.
При желании, можно выделить целую часть: $17 \div 11 = 1$ и $6$ в остатке, то есть $\frac{17}{11} = 1\frac{6}{11}$.
Ответ: $\frac{17}{11}$.