Страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

923. Решите уравнение:

1) $x + 4\frac{4}{19} = 6\frac{2}{19}$;

2) $25 - x = 8\frac{3}{14}$;

3) $32 - x = 9\frac{18}{35}$.

1) $x + 4\frac{4}{19} = 6\frac{2}{19}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 6\frac{2}{19} - 4\frac{4}{19}$

Для выполнения вычитания смешанных чисел, сравним их дробные части. Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{19}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{19}$), поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого:

$6\frac{2}{19} = 5 + 1 + \frac{2}{19} = 5 + \frac{19}{19} + \frac{2}{19} = 5\frac{21}{19}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение и выполним вычитание целых и дробных частей по отдельности:

$x = 5\frac{21}{19} - 4\frac{4}{19} = (5-4) + (\frac{21}{19} - \frac{4}{19}) = 1 + \frac{17}{19} = 1\frac{17}{19}$

Ответ: $1\frac{17}{19}$

2) $25 - x = 8\frac{3}{14}$

Здесь $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x = 25 - 8\frac{3}{14}$

Чтобы вычесть смешанное число из целого, представим целое число 25 в виде смешанного числа со знаменателем 14. Для этого "займем" единицу у 25:

$25 = 24 + 1 = 24 + \frac{14}{14} = 24\frac{14}{14}$

Теперь выполним вычитание:

$x = 24\frac{14}{14} - 8\frac{3}{14} = (24-8) + (\frac{14}{14} - \frac{3}{14}) = 16 + \frac{11}{14} = 16\frac{11}{14}$

Ответ: $16\frac{11}{14}$

3) $32 - x = 9\frac{18}{35}$

В этом уравнении $x$ также является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x = 32 - 9\frac{18}{35}$

Представим целое число 32 в виде смешанного числа со знаменателем 35. "Займем" единицу у 32:

$32 = 31 + 1 = 31 + \frac{35}{35} = 31\frac{35}{35}$

Теперь можно выполнить вычитание:

$x = 31\frac{35}{35} - 9\frac{18}{35} = (31-9) + (\frac{35}{35} - \frac{18}{35}) = 22 + \frac{17}{35} = 22\frac{17}{35}$

Ответ: $22\frac{17}{35}$

924. Решите уравнение:

1) $4\frac{5}{7} - (x - 6\frac{3}{7}) = 2\frac{6}{7}$

2) $19\frac{28}{34} - (m + 2\frac{29}{34}) = 12\frac{15}{34}$

1) $4\frac{5}{7} - (x - 6\frac{3}{7}) = 2\frac{6}{7}$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 6\frac{3}{7})$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.

$x - 6\frac{3}{7} = 4\frac{5}{7} - 2\frac{6}{7}$

Выполним вычитание в правой части. Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$), нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого:

$4\frac{5}{7} = 3 + 1 + \frac{5}{7} = 3 + \frac{7}{7} + \frac{5}{7} = 3\frac{12}{7}$

Теперь произведем вычитание:

$3\frac{12}{7} - 2\frac{6}{7} = (3-2) + (\frac{12-6}{7}) = 1\frac{6}{7}$

Уравнение принимает вид:

$x - 6\frac{3}{7} = 1\frac{6}{7}$

Теперь $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно сложить вычитаемое и разность.

$x = 1\frac{6}{7} + 6\frac{3}{7}$

$x = (1+6) + (\frac{6}{7} + \frac{3}{7}) = 7 + \frac{9}{7} = 7 + 1\frac{2}{7} = 8\frac{2}{7}$

Ответ: $8\frac{2}{7}$.

2) $19\frac{28}{34} - (m + 2\frac{29}{34}) = 12\frac{15}{34}$

В этом уравнении выражение в скобках $(m + 2\frac{29}{34})$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$m + 2\frac{29}{34} = 19\frac{28}{34} - 12\frac{15}{34}$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$19\frac{28}{34} - 12\frac{15}{34} = (19-12) + (\frac{28-15}{34}) = 7\frac{13}{34}$

Теперь уравнение выглядит так:

$m + 2\frac{29}{34} = 7\frac{13}{34}$

Здесь $m$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$m = 7\frac{13}{34} - 2\frac{29}{34}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{13}{34}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{29}{34}$), поэтому "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$7\frac{13}{34} = 6 + 1 + \frac{13}{34} = 6 + \frac{34}{34} + \frac{13}{34} = 6\frac{47}{34}$

Теперь найдем $m$:

$m = 6\frac{47}{34} - 2\frac{29}{34} = (6-2) + (\frac{47-29}{34}) = 4\frac{18}{34}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{18}{34} = \frac{18 \div 2}{34 \div 2} = \frac{9}{17}$

Таким образом, $m = 4\frac{9}{17}$.

Ответ: $4\frac{9}{17}$.

925. Решите уравнение:

1) $7\frac{7}{30} - (5\frac{11}{30} - y) = 3\frac{19}{30};$

2) $(x - 1\frac{9}{17}) + 2\frac{14}{17} = 5\frac{5}{17}.$

1) $7\frac{7}{30} - (5\frac{11}{30} - y) = 3\frac{19}{30}$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех членов внутри скобки меняются на противоположные:

$7\frac{7}{30} - 5\frac{11}{30} + y = 3\frac{19}{30}$

Теперь выполним вычитание смешанных дробей в левой части уравнения. Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{7}{30}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{11}{30}$), необходимо «занять» единицу у целой части уменьшаемого:

$7\frac{7}{30} - 5\frac{11}{30} = 6\frac{30+7}{30} - 5\frac{11}{30} = 6\frac{37}{30} - 5\frac{11}{30} = (6-5) + (\frac{37-11}{30}) = 1\frac{26}{30}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$1\frac{26}{30} + y = 3\frac{19}{30}$

В получившемся уравнении y является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$y = 3\frac{19}{30} - 1\frac{26}{30}$

Снова «займем» единицу у целой части уменьшаемого, так как $\frac{19}{30} < \frac{26}{30}$:

$y = 2\frac{30+19}{30} - 1\frac{26}{30} = 2\frac{49}{30} - 1\frac{26}{30} = (2-1) + (\frac{49-26}{30}) = 1\frac{23}{30}$

Ответ: $1\frac{23}{30}$

2) $(x - 1\frac{9}{17}) + 2\frac{14}{17} = 5\frac{5}{17}$

В данном уравнении выражение в скобках является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x - 1\frac{9}{17} = 5\frac{5}{17} - 2\frac{14}{17}$

Выполним вычитание в правой части. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{17}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{14}{17}$), «займем» единицу у целой части уменьшаемого:

$5\frac{5}{17} - 2\frac{14}{17} = 4\frac{17+5}{17} - 2\frac{14}{17} = 4\frac{22}{17} - 2\frac{14}{17} = (4-2) + (\frac{22-14}{17}) = 2\frac{8}{17}$

Теперь уравнение имеет вид:

$x - 1\frac{9}{17} = 2\frac{8}{17}$

Здесь x является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = 2\frac{8}{17} + 1\frac{9}{17}$

Сложим целые и дробные части:

$x = (2+1) + (\frac{8+9}{17}) = 3 + \frac{17}{17} = 3 + 1 = 4$

Ответ: $4$

926. Степан, Иван и Андрей съели арбуз. Степан съел $ \frac{2}{9} $ арбуза, Иван — $ \frac{4}{9} $. Какую часть арбуза съел Андрей?

Чтобы найти, какую часть арбуза съел Андрей, нужно из целого арбуза (который мы принимаем за 1) вычесть части, которые съели Степан и Иван.

1. Найдем, какую часть арбуза съели Степан и Иван вместе.
Для этого сложим доли, которые съел каждый из них. Так как знаменатели у дробей одинаковые, складываем только числители:
$\frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2+4}{9} = \frac{6}{9}$
Вместе Степан и Иван съели $\frac{6}{9}$ арбуза.

2. Найдем, какая часть арбуза осталась для Андрея.
Представим весь арбуз как единицу, или как дробь $\frac{9}{9}$. Теперь вычтем из целого арбуза ту часть, которую съели Степан и Иван:
$1 - \frac{6}{9} = \frac{9}{9} - \frac{6}{9} = \frac{9-6}{9} = \frac{3}{9}$
Андрей съел $\frac{3}{9}$ арбуза.

3. Сократим полученный результат.
Дробь $\frac{3}{9}$ можно упростить, разделив и числитель, и знаменатель на 3:
$\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

Ответ: Андрей съел $\frac{1}{3}$ часть арбуза.

927. Мария, Ирина, Елена и Ольга съели торт. Мария съела $\frac{3}{16}$ торта, Ирина $-$ $\frac{5}{16}$, Елена $-$ $\frac{2}{16}$. Какую часть торта съела Ольга?

Для того чтобы найти, какую часть торта съела Ольга, нужно из целого торта (который мы принимаем за 1) вычесть те части, которые съели Мария, Ирина и Елена.

1. Сначала найдем, какую часть торта съели Мария, Ирина и Елена вместе. Для этого сложим их доли, так как знаменатели у всех дробей одинаковые:

$ \frac{3}{16} + \frac{5}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3+5+2}{16} = \frac{10}{16} $

Итак, Мария, Ирина и Елена вместе съели $ \frac{10}{16} $ торта.

2. Теперь найдем, какая часть торта осталась для Ольги. Для этого вычтем из целого торта (1) ту часть, которую съели остальные. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 16:

$ 1 = \frac{16}{16} $

Выполним вычитание:

$ \frac{16}{16} - \frac{10}{16} = \frac{16-10}{16} = \frac{6}{16} $

Таким образом, Ольга съела $ \frac{6}{16} $ торта. Эту дробь можно сократить до $ \frac{3}{8} $, но для ответа оставим знаменатель 16, как в условии задачи.

Ответ: $ \frac{6}{16} $ торта.

928. 1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) $n < \frac{123}{30};$

б) $\frac{198}{15} > n?$

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) $m \geq \frac{13}{5};$

б) $\frac{275}{10} < m?$

1) а)

Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \frac{123}{30}$, сначала преобразуем дробь в правой части в десятичное число.

$\frac{123}{30} = 123 \div 30 = 4.1$

Таким образом, неравенство принимает вид $n < 4.1$.

Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти наибольшее натуральное число, которое строго меньше 4.1. Этому условию удовлетворяют числа 1, 2, 3 и 4. Наибольшее из них — 4.

Ответ: 4

1) б)

Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $\frac{198}{15} > n$, перепишем его в более привычном виде: $n < \frac{198}{15}$.

Теперь преобразуем дробь, выделив из неё целую часть.

$198 \div 15 = 13$ (остаток 3). Следовательно, $\frac{198}{15} = 13\frac{3}{15} = 13\frac{1}{5} = 13.2$.

Неравенство принимает вид $n < 13.2$.

Наибольшее натуральное число, которое меньше 13.2, — это 13.

Ответ: 13

2) а)

Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $m > \frac{13}{5}$, преобразуем дробь в десятичное число.

$\frac{13}{5} = 13 \div 5 = 2.6$.

Неравенство принимает вид $m > 2.6$.

Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое больше 2.6. Первое целое число, которое больше 2.6, — это 3. Оно является натуральным, следовательно, это и есть искомое число.

Ответ: 3

2) б)

Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $\frac{275}{10} < m$, перепишем его как $m > \frac{275}{10}$.

Преобразуем дробь в десятичное число.

$\frac{275}{10} = 27.5$.

Неравенство принимает вид $m > 27.5$.

Наименьшее натуральное число, которое больше 27.5, — это следующее за 27 целое число, то есть 28.

Ответ: 28

929. 1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) $n < \frac{206}{13}$;

б) $\frac{324}{16} > n$;

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) $m > \frac{34}{6}$;

б) $\frac{421}{16} < m?$

1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \frac{206}{13}$, необходимо сначала преобразовать неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком.

$206 \div 13 = 15$ (остаток $11$)

Следовательно, дробь равна $15\frac{11}{13}$.

Неравенство принимает вид: $n < 15\frac{11}{13}$.

Мы ищем наибольшее натуральное число $n$, которое меньше, чем $15\frac{11}{13}$. Таким числом является 15, так как следующее натуральное число, 16, уже больше.

Ответ: 15

б) Неравенство $\frac{324}{16} > n$ можно переписать в виде $n < \frac{324}{16}$. Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, преобразуем дробь в смешанное число.

Сначала можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{324}{16} = \frac{324 \div 4}{16 \div 4} = \frac{81}{4}$

Теперь разделим 81 на 4 с остатком:

$81 \div 4 = 20$ (остаток $1$)

Следовательно, дробь равна $20\frac{1}{4}$.

Неравенство принимает вид: $n < 20\frac{1}{4}$.

Наибольшее натуральное число $n$, которое меньше $20\frac{1}{4}$, это 20.

Ответ: 20

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $m > \frac{34}{6}$, преобразуем дробь в смешанное число.

Разделим 34 на 6 с остатком:

$34 \div 6 = 5$ (остаток $4$)

Следовательно, дробь равна $5\frac{4}{6}$ или, после сокращения, $5\frac{2}{3}$.

Неравенство принимает вид: $m > 5\frac{2}{3}$.

Мы ищем наименьшее натуральное число $m$, которое больше $5\frac{2}{3}$. Таким числом является 6, так как предыдущее натуральное число, 5, меньше.

Ответ: 6

б) Неравенство $\frac{421}{16} < m$ можно переписать в виде $m > \frac{421}{16}$. Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, выделим целую часть дроби.

Разделим 421 на 16 с остатком:

$421 \div 16 = 26$ (остаток $5$)

Следовательно, дробь равна $26\frac{5}{16}$.

Неравенство принимает вид: $m > 26\frac{5}{16}$.

Наименьшее натуральное число $m$, которое больше $26\frac{5}{16}$, это 27.

Ответ: 27

930. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $2\frac{1}{3} < \frac{x}{3} < 3\frac{2}{3}$;

2) $1\frac{5}{12} < \frac{17}{x} < 2\frac{1}{8}$.

1) Дано двойное неравенство $2\frac{1}{3} < \frac{x}{3} < 3\frac{2}{3}$.

Для начала, преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Теперь подставим полученные дроби обратно в неравенство:

$\frac{7}{3} < \frac{x}{3} < \frac{11}{3}$

Так как все дроби в неравенстве имеют одинаковый знаменатель (3), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы числители также удовлетворяли этому неравенству. Таким образом, мы можем сравнить числители:

$7 < x < 11$

По условию задачи, $x$ является натуральным числом. Натуральные числа, которые больше 7 и меньше 11, — это 8, 9 и 10.

Ответ: 8, 9, 10.

2) Дано двойное неравенство $1\frac{5}{12} < \frac{17}{x} < 2\frac{1}{8}$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$

$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$

Подставим полученные значения в неравенство:

$\frac{17}{12} < \frac{17}{x} < \frac{17}{8}$

В этом неравенстве все дроби имеют одинаковый числитель (17). При сравнении дробей с одинаковыми положительными числителями, меньшей является та дробь, у которой знаменатель больше. Следовательно, для знаменателей будет выполняться обратное неравенство:

$12 > x > 8$

Запишем это неравенство в более привычном виде:

$8 < x < 12$

Согласно условию, $x$ — натуральное число. Натуральные числа, которые больше 8 и меньше 12, — это 9, 10 и 11.

Ответ: 9, 10, 11.

931. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $3\frac{11}{15} < \frac{x}{15} < 4$

2) $3\frac{1}{8} < \frac{25}{x} < 8\frac{1}{3}$

Рассмотрим неравенство $3 \frac{11}{15} < \frac{x}{15} < 4$.
Чтобы найти натуральные значения $x$, приведем все части неравенства к дробям с одинаковым знаменателем 15.
Преобразуем смешанное число $3 \frac{11}{15}$ в неправильную дробь:
$3 \frac{11}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 11}{15} = \frac{45 + 11}{15} = \frac{56}{15}$.
Представим целое число 4 в виде дроби со знаменателем 15:
$4 = \frac{4 \cdot 15}{15} = \frac{60}{15}$.
Теперь исходное неравенство можно записать так:
$\frac{56}{15} < \frac{x}{15} < \frac{60}{15}$.
Поскольку знаменатели всех дробей в неравенстве равны, мы можем сравнить их числители. Неравенство будет верным, если выполняется аналогичное неравенство для числителей:
$56 < x < 60$.
Согласно условию, $x$ является натуральным числом. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, — это все целые числа, которые больше 56 и меньше 60.

Ответ: 57, 58, 59.

Рассмотрим неравенство $3 \frac{1}{8} < \frac{25}{x} < 8 \frac{1}{3}$.
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$3 \frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$.
$8 \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$.
Подставим полученные значения в исходное неравенство:
$\frac{25}{8} < \frac{25}{x} < \frac{25}{3}$.
Все дроби в неравенстве имеют одинаковый положительный числитель (25). По условию, $x$ является натуральным числом, следовательно, $x > 0$.
Для положительных дробей с одинаковыми числителями справедливо правило: чем больше знаменатель, тем меньше дробь (и наоборот). Поэтому, чтобы неравенство для дробей было верным, для их знаменателей должно выполняться обратное неравенство:
$8 > x > 3$.
Это двойное неравенство можно записать в более привычном виде: $3 < x < 8$.
Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, — это все целые числа, которые больше 3 и меньше 8.

Ответ: 4, 5, 6, 7.

932. При каких натуральных значениях $a$ является верным неравенство, левая часть которого — неправильная дробь:

1) $\frac{20}{a} < 2;$

2) $\frac{4}{a} > a?$

1)

Согласно условию задачи, переменная $a$ должна быть натуральным числом ($a \in \{1, 2, 3, ...\}$). Также дано, что левая часть неравенства, дробь $\frac{20}{a}$, является неправильной. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Следовательно, должно выполняться условие:

$20 \ge a$ или $a \le 20$.

Теперь рассмотрим основное неравенство:

$\frac{20}{a} < 2$

Поскольку $a$ — натуральное число, оно положительно ($a > 0$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства:

$20 < 2a$

Разделим обе части на 2:

$10 < a$

Итак, мы имеем систему из трех условий для $a$:

1. $a$ — натуральное число.
2. $a \le 20$ (условие неправильной дроби).
3. $a > 10$ (решение неравенства).

Объединяя условия 2 и 3, получаем двойное неравенство: $10 < a \le 20$.

Выберем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству. Это числа: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

2)

Аналогично первому пункту, $a$ — натуральное число, а дробь $\frac{4}{a}$ — неправильная. Это означает, что числитель больше или равен знаменателю:

$4 \ge a$ или $a \le 4$.

Теперь решим основное неравенство:

$\frac{4}{a} > a$

Так как $a$ — натуральное число ($a > 0$), мы можем умножить обе части на $a$ без изменения знака неравенства:

$4 > a \cdot a$

$4 > a^2$ или $a^2 < 4$.

Нам нужно найти натуральные числа, квадрат которых меньше 4. Проверим натуральные числа, начиная с 1, которые также удовлетворяют условию $a \le 4$:

• Если $a=1$: $1^2 = 1$. Неравенство $1 < 4$ верно. Условие $1 \le 4$ также верно. Значит, $a=1$ является решением.
• Если $a=2$: $2^2 = 4$. Неравенство $4 < 4$ неверно. Значит, $a=2$ не является решением.
• Если $a=3$: $3^2 = 9$. Неравенство $9 < 4$ неверно.
• Если $a=4$: $4^2 = 16$. Неравенство $16 < 4$ неверно.

Единственное натуральное значение, удовлетворяющее всем условиям, — это $a=1$.

Ответ: 1.