Номер 932, страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 34. Смешанные дроби. Упражнения - номер 932, страница 211.

Условие.

932. При каких натуральных значениях $a$ является верным неравенство, левая часть которого — неправильная дробь:

1) $\frac{20}{a} < 2;$

2) $\frac{4}{a} > a?$

Решение.

Решение 2.

1)

Согласно условию задачи, переменная $a$ должна быть натуральным числом ($a \in \{1, 2, 3, ...\}$). Также дано, что левая часть неравенства, дробь $\frac{20}{a}$, является неправильной. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Следовательно, должно выполняться условие:

$20 \ge a$ или $a \le 20$.

Теперь рассмотрим основное неравенство:

$\frac{20}{a} < 2$

Поскольку $a$ — натуральное число, оно положительно ($a > 0$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства:

$20 < 2a$

Разделим обе части на 2:

$10 < a$

Итак, мы имеем систему из трех условий для $a$:

1. $a$ — натуральное число.
2. $a \le 20$ (условие неправильной дроби).
3. $a > 10$ (решение неравенства).

Объединяя условия 2 и 3, получаем двойное неравенство: $10 < a \le 20$.

Выберем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству. Это числа: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

2)

Аналогично первому пункту, $a$ — натуральное число, а дробь $\frac{4}{a}$ — неправильная. Это означает, что числитель больше или равен знаменателю:

$4 \ge a$ или $a \le 4$.

Теперь решим основное неравенство:

$\frac{4}{a} > a$

Так как $a$ — натуральное число ($a > 0$), мы можем умножить обе части на $a$ без изменения знака неравенства:

$4 > a \cdot a$

$4 > a^2$ или $a^2 < 4$.

Нам нужно найти натуральные числа, квадрат которых меньше 4. Проверим натуральные числа, начиная с 1, которые также удовлетворяют условию $a \le 4$:

• Если $a=1$: $1^2 = 1$. Неравенство $1 < 4$ верно. Условие $1 \le 4$ также верно. Значит, $a=1$ является решением.
• Если $a=2$: $2^2 = 4$. Неравенство $4 < 4$ неверно. Значит, $a=2$ не является решением.
• Если $a=3$: $3^2 = 9$. Неравенство $9 < 4$ неверно.
• Если $a=4$: $4^2 = 16$. Неравенство $16 < 4$ неверно.

Единственное натуральное значение, удовлетворяющее всем условиям, — это $a=1$.

Ответ: 1.