Номер 931, страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 34. Смешанные дроби. Упражнения - номер 931, страница 211.

Условие.

931. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $3\frac{11}{15} < \frac{x}{15} < 4$

2) $3\frac{1}{8} < \frac{25}{x} < 8\frac{1}{3}$

Решение.

Решение 2.

1)

Рассмотрим неравенство $3 \frac{11}{15} < \frac{x}{15} < 4$.
Чтобы найти натуральные значения $x$, приведем все части неравенства к дробям с одинаковым знаменателем 15.
Преобразуем смешанное число $3 \frac{11}{15}$ в неправильную дробь:
$3 \frac{11}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 11}{15} = \frac{45 + 11}{15} = \frac{56}{15}$.
Представим целое число 4 в виде дроби со знаменателем 15:
$4 = \frac{4 \cdot 15}{15} = \frac{60}{15}$.
Теперь исходное неравенство можно записать так:
$\frac{56}{15} < \frac{x}{15} < \frac{60}{15}$.
Поскольку знаменатели всех дробей в неравенстве равны, мы можем сравнить их числители. Неравенство будет верным, если выполняется аналогичное неравенство для числителей:
$56 < x < 60$.
Согласно условию, $x$ является натуральным числом. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, — это все целые числа, которые больше 56 и меньше 60.

Ответ: 57, 58, 59.

2)

Рассмотрим неравенство $3 \frac{1}{8} < \frac{25}{x} < 8 \frac{1}{3}$.
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$3 \frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$.
$8 \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$.
Подставим полученные значения в исходное неравенство:
$\frac{25}{8} < \frac{25}{x} < \frac{25}{3}$.
Все дроби в неравенстве имеют одинаковый положительный числитель (25). По условию, $x$ является натуральным числом, следовательно, $x > 0$.
Для положительных дробей с одинаковыми числителями справедливо правило: чем больше знаменатель, тем меньше дробь (и наоборот). Поэтому, чтобы неравенство для дробей было верным, для их знаменателей должно выполняться обратное неравенство:
$8 > x > 3$.
Это двойное неравенство можно записать в более привычном виде: $3 < x < 8$.
Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, — это все целые числа, которые больше 3 и меньше 8.

Ответ: 4, 5, 6, 7.