Страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

894. Запишите в виде дроби частное:

Чтобы записать частное в виде дроби, нужно делимое сделать числителем (числом над чертой), а делитель — знаменателем (числом под чертой).

1) Для частного $5:7$ делимое равно 5, а делитель равен 7. Запишем это в виде дроби:

$5:7 = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

2) Для частного $19:4$ делимое равно 19, а делитель равен 4. Запишем это в виде дроби:

$19:4 = \frac{19}{4}$

Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Её можно оставить в таком виде или преобразовать в смешанное число $4\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{19}{4}$

3) Для частного $1:6$ делимое равно 1, а делитель равен 6. Запишем это в виде дроби:

$1:6 = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4) Для частного $30:4$ делимое равно 30, а делитель равен 4. Получаем дробь $\frac{30}{4}$. Эту дробь можно сократить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 2.

$\frac{30}{4} = \frac{30 \div 2}{4 \div 2} = \frac{15}{2}$

Ответ: $\frac{15}{2}$

5) Для частного $6:1$ делимое равно 6, а делитель равен 1. Запишем это в виде дроби:

$6:1 = \frac{6}{1}$

Любая дробь со знаменателем 1 равна своему числителю, то есть $\frac{6}{1} = 6$.

Ответ: $\frac{6}{1}$

895. Какому натуральному числу равна дробь:

1) $\frac{5}{1}$;

2) $\frac{16}{4}$;

3) $\frac{28}{7}$;

4) $\frac{99}{11}$?

1) Дробная черта означает действие деления. Чтобы найти натуральное число, которому равна дробь $ \frac{5}{1} $, необходимо её числитель, число 5, разделить на её знаменатель, число 1.
$ \frac{5}{1} = 5 \div 1 = 5 $
Результатом является натуральное число 5.
Ответ: 5

2) Чтобы найти натуральное число, которому равна дробь $ \frac{16}{4} $, необходимо разделить числитель 16 на знаменатель 4.
$ \frac{16}{4} = 16 \div 4 = 4 $
Результатом является натуральное число 4.
Ответ: 4

3) Чтобы найти натуральное число, которому равна дробь $ \frac{28}{7} $, необходимо разделить числитель 28 на знаменатель 7.
$ \frac{28}{7} = 28 \div 7 = 4 $
Результатом является натуральное число 4.
Ответ: 4

4) Чтобы найти натуральное число, которому равна дробь $ \frac{99}{11} $, необходимо разделить числитель 99 на знаменатель 11.
$ \frac{99}{11} = 99 \div 11 = 9 $
Результатом является натуральное число 9.
Ответ: 9

896. Запишите дробь в виде частного:

1) $\frac{7}{12}$

2) $\frac{17}{584}$

3) $\frac{11}{7}$

Чтобы записать дробь в виде частного, необходимо числитель (число над чертой) разделить на знаменатель (число под чертой). Черта дроби является знаком деления.

1) Дана дробь $\frac{7}{12}$.

Числитель этой дроби равен 7, а знаменатель равен 12.

Запишем в виде частного: $7 : 12$.

Ответ: $7 : 12$.

2) Дана дробь $\frac{17}{584}$.

Числитель этой дроби равен 17, а знаменатель равен 584.

Запишем в виде частного: $17 : 584$.

Ответ: $17 : 584$.

3) Дана дробь $\frac{11}{7}$.

Числитель этой дроби равен 11, а знаменатель равен 7.

Запишем в виде частного: $11 : 7$.

Ответ: $11 : 7$.

897. Запишите дробь в виде частного:

1) $ \frac{5}{7} $

2) $ \frac{3}{10} $

3) $ \frac{29}{5} $

Чтобы записать дробь в виде частного, необходимо помнить, что черта дроби означает операцию деления. Числитель дроби (число над чертой) является делимым, а знаменатель (число под чертой) — делителем.

1) Для дроби $ \frac{5}{7} $, числитель равен 5, а знаменатель — 7. Запишем эту дробь в виде частного, где 5 — делимое, а 7 — делитель.
$ \frac{5}{7} = 5 : 7 $
Ответ: 5 : 7

2) Для дроби $ \frac{3}{10} $, числитель равен 3, а знаменатель — 10. Представим эту дробь как частное от деления числителя на знаменатель.
$ \frac{3}{10} = 3 : 10 $
Ответ: 3 : 10

3) Для дроби $ \frac{29}{5} $, числитель равен 29, а знаменатель — 5. Запишем соответствующее частное.
$ \frac{29}{5} = 29 : 5 $
Ответ: 29 : 5

898. За 4 ч техник печатает на 3D-принтере 23 одинаковые детали.

Сколько часов занимает печать одной детали?

Чтобы найти время, необходимое для печати одной детали, нужно общее время, затраченное на печать, разделить на количество напечатанных деталей.

Известно, что:

Общее время = 4 часа.

Количество деталей = 23.

Произведем расчет:

Время на одну деталь = $\frac{4 \text{ часа}}{23 \text{ детали}} = \frac{4}{23}$ часа.

Ответ: $\frac{4}{23}$ часа.

899. Провод длиной 12 м разрезали на 19 равных частей. Какова длина одной части?

Для того чтобы определить длину одной части, необходимо общую длину провода разделить на количество равных частей.

Исходные данные:
Общая длина провода = 12 м.
Количество равных частей = 19.

Выполним деление общей длины на количество частей:
$12 \div 19 = \frac{12}{19}$

Таким образом, длина каждой из 19 равных частей провода составляет $\frac{12}{19}$ метра.

Ответ: $\frac{12}{19}$ м.

900. Запишите число 6 в виде дроби со знаменателем:

1) 1;

2) 4;

3) 19.

Чтобы записать целое число в виде дроби с заданным знаменателем, нужно умножить это число на заданный знаменатель, а результат записать в числитель. Знаменатель при этом остается без изменений.

1) Запишем число 6 в виде дроби со знаменателем 1.

Для этого найдем числитель, умножив 6 на 1:

$6 \times 1 = 6$

Таким образом, получим дробь, у которой числитель равен 6, а знаменатель равен 1.

$6 = \frac{6}{1}$

Ответ: $\frac{6}{1}$

2) Запишем число 6 в виде дроби со знаменателем 4.

Найдем числитель, умножив 6 на 4:

$6 \times 4 = 24$

Таким образом, получим дробь, у которой числитель равен 24, а знаменатель равен 4.

$6 = \frac{24}{4}$

Ответ: $\frac{24}{4}$

3) Запишем число 6 в виде дроби со знаменателем 19.

Найдем числитель, умножив 6 на 19:

$6 \times 19 = 114$

Таким образом, получим дробь, у которой числитель равен 114, а знаменатель равен 19.

$6 = \frac{114}{19}$

Ответ: $\frac{114}{19}$

901. Запишите число 12 в виде дроби со знаменателем:

1) $12 = \frac{12}{1}$

2) $12 = \frac{60}{5}$

3) $12 = \frac{276}{23}$

Чтобы представить целое число в виде дроби с заданным знаменателем, необходимо это число умножить на заданный знаменатель, а результат записать в числитель. Заданный знаменатель остается в знаменателе.

1)

Чтобы представить число 12 в виде дроби со знаменателем 1, нужно найти числитель этой дроби. Пусть числитель равен $x$. Тогда:

$\frac{x}{1} = 12$

Чтобы найти $x$, умножим 12 на 1:

$x = 12 \cdot 1 = 12$

Таким образом, число 12 в виде дроби со знаменателем 1 будет $\frac{12}{1}$.

Ответ: $\frac{12}{1}$.

2)

Чтобы представить число 12 в виде дроби со знаменателем 5, найдем числитель $x$:

$\frac{x}{5} = 12$

Умножим 12 на 5:

$x = 12 \cdot 5 = 60$

Следовательно, искомая дробь – $\frac{60}{5}$.

Ответ: $\frac{60}{5}$.

3)

Чтобы представить число 12 в виде дроби со знаменателем 23, найдем числитель $x$:

$\frac{x}{23} = 12$

Умножим 12 на 23:

$x = 12 \cdot 23 = 276$

Таким образом, искомая дробь – $\frac{276}{23}$.

Ответ: $\frac{276}{23}$.

902. Запишите число 5 в виде дроби с числителем:

1) 10;

2) 45;

3) 120.

Чтобы представить целое число в виде дроби, нужно найти такой знаменатель, при делении числителя на который получится это число. Другими словами, если нам нужно представить число 5 в виде дроби $\frac{a}{b}$, то должно выполняться равенство $\frac{a}{b} = 5$. Отсюда, зная числитель $a$, мы можем найти знаменатель $b$ по формуле $b = a \div 5$.

1)

Необходимо представить число 5 в виде дроби с числителем 10. Обозначим искомый знаменатель как $x$. Тогда мы получим уравнение:

$\frac{10}{x} = 5$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое 10 разделить на частное 5:

$x = 10 \div 5 = 2$

Таким образом, искомая дробь — $\frac{10}{2}$.

Ответ: $\frac{10}{2}$

2)

Представим число 5 в виде дроби с числителем 45. Пусть знаменатель равен $x$. Составим уравнение:

$\frac{45}{x} = 5$

Найдем знаменатель $x$:

$x = 45 \div 5 = 9$

Следовательно, искомая дробь — $\frac{45}{9}$.

Ответ: $\frac{45}{9}$

3)

Представим число 5 в виде дроби с числителем 120. Пусть знаменатель равен $x$. Составим уравнение:

$\frac{120}{x} = 5$

Найдем знаменатель $x$:

$x = 120 \div 5 = 24$

Таким образом, искомая дробь — $\frac{120}{24}$.

Ответ: $\frac{120}{24}$

903. Запишите число 7 в виде дроби с числителем:

1) 21;

2) 56;

3) 749.

1) 21
Чтобы записать число 7 в виде дроби с числителем 21, необходимо найти такой знаменатель (обозначим его как $x$), чтобы выполнялось равенство $\frac{21}{x} = 7$.
Для нахождения неизвестного знаменателя $x$, который в данном уравнении является делителем, нужно делимое (числитель 21) разделить на частное (число 7).
$x = 21 \div 7$
$x = 3$
Таким образом, искомая дробь равна $\frac{21}{3}$.
Ответ: $\frac{21}{3}$

2) 56
Чтобы записать число 7 в виде дроби с числителем 56, необходимо найти такой знаменатель $x$, чтобы выполнялось равенство $\frac{56}{x} = 7$.
Найдем знаменатель $x$, разделив числитель 56 на значение дроби 7.
$x = 56 \div 7$
$x = 8$
Таким образом, искомая дробь равна $\frac{56}{8}$.
Ответ: $\frac{56}{8}$

3) 749
Чтобы записать число 7 в виде дроби с числителем 749, необходимо найти такой знаменатель $x$, чтобы выполнялось равенство $\frac{749}{x} = 7$.
Найдем знаменатель $x$, разделив числитель 749 на значение дроби 7.
$x = 749 \div 7$
$x = 107$
Таким образом, искомая дробь равна $\frac{749}{107}$.
Ответ: $\frac{749}{107}$

904. Решите уравнение:

1) $\frac{b}{7} = 12$;

2) $\frac{169}{m} = 13$;

3) $\frac{126}{8 - y} = 21$;

4) $\frac{x + 6}{6} = 6$.

1) В уравнении $\frac{b}{7} = 12$ переменная $b$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$b = 12 \cdot 7$
$b = 84$
Ответ: 84

2) В уравнении $\frac{169}{m} = 13$ переменная $m$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$m = 169 : 13$
$m = 13$
Ответ: 13

3) В уравнении $\frac{126}{8 - y} = 21$ выражение $(8 - y)$ является неизвестным делителем. Найдем его, разделив делимое на частное.
$8 - y = 126 : 21$
$8 - y = 6$
Теперь в уравнении $8 - y = 6$ переменная $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 8 - 6$
$y = 2$
Ответ: 2

4) В уравнении $\frac{x + 6}{6} = 6$ выражение $(x + 6)$ является неизвестным делимым. Найдем его, умножив частное на делитель.
$x + 6 = 6 \cdot 6$
$x + 6 = 36$
Теперь в уравнении $x + 6 = 36$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 36 - 6$
$x = 30$
Ответ: 30

905. Решите уравнение:

1) $ \frac{x}{4}=5; $

2) $ \frac{105}{y}=7; $

3) $ \frac{x+12}{6}=14; $

4) $ \frac{9}{y-4}=3. $

1)
Дано уравнение $ \frac{x}{4} = 5 $.
В этом уравнении $x$ является делимым, 4 — делителем, а 5 — частным.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$ x = 5 \times 4 $
$ x = 20 $
Ответ: 20

2)
Дано уравнение $ \frac{105}{y} = 7 $.
Здесь 105 — делимое, $y$ — неизвестный делитель, а 7 — частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$ y = \frac{105}{7} $
$ y = 15 $
Ответ: 15

3)
Дано уравнение $ \frac{x + 12}{6} = 14 $.
В этом уравнении выражение $(x + 12)$ является делимым, 6 — делителем, а 14 — частным.
Сначала найдем значение выражения $(x + 12)$, умножив частное на делитель.
$ x + 12 = 14 \times 6 $
$ x + 12 = 84 $
Теперь у нас есть простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы (84) вычесть известное слагаемое (12).
$ x = 84 - 12 $
$ x = 72 $
Ответ: 72

4)
Дано уравнение $ \frac{9}{y - 4} = 3 $.
Здесь 9 — делимое, выражение $(y - 4)$ — делитель, а 3 — частное.
Сначала найдем значение выражения $(y - 4)$, разделив делимое на частное.
$ y - 4 = \frac{9}{3} $
$ y - 4 = 3 $
Теперь у нас есть простое уравнение, где $y$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно к разности (3) прибавить вычитаемое (4).
$ y = 3 + 4 $
$ y = 7 $
Ответ: 7

906. Как изменится — увеличится или уменьшится — и на сколько девятизначное число, последняя цифра которого 0, а предпоследняя — 5, если эти две цифры поменять местами?

Пусть исходное девятизначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Обозначим часть числа, состоящую из первых семи цифр, как $A$. Так как эта часть относится к разрядам от сотен и выше, её значение в общем числе будет $A \cdot 100$.

По условию, предпоследняя цифра (разряд десятков) равна 5, а последняя (разряд единиц) — 0. Тогда исходное число, назовём его $N_1$, можно записать так:
$N_1 = A \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 0 \cdot 1 = 100A + 50$

Теперь поменяем местами две последние цифры. Новая предпоследняя цифра станет 0, а последняя — 5. Новое число, назовём его $N_2$, будет равно:
$N_2 = A \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 100A + 5$

Чтобы определить, как изменилось число, сравним $N_1$ и $N_2$.
Поскольку $100A + 50 > 100A + 5$, то $N_1 > N_2$. Это значит, что число уменьшилось.

Чтобы найти, на сколько оно уменьшилось, найдём разность между исходным и новым числом:
$N_1 - N_2 = (100A + 50) - (100A + 5) = 100A + 50 - 100A - 5 = 45$

Ответ: Число уменьшится на 45.

907. Река Иртыш на 598 км длиннее реки Оби. Найдите длину каждой из этих рек, если их общая длина равна 7898 км.

Пусть длина реки Обь составляет $x$ км. Поскольку река Иртыш на 598 км длиннее, ее длина будет равна $(x + 598)$ км.

Согласно условию, их общая длина равна 7898 км. Мы можем составить и решить уравнение, чтобы найти $x$:
$x + (x + 598) = 7898$
Сложим иксы:
$2x + 598 = 7898$
Перенесем 598 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 7898 - 598$
$2x = 7300$
Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = 7300 / 2$
$x = 3650$

Таким образом, мы нашли длину реки Обь — она составляет 3650 км.

Теперь найдем длину реки Иртыш, которая на 598 км больше:
$3650 + 598 = 4248$ км.

Проведем проверку, чтобы убедиться в правильности решения. Сложим длины обеих рек:
$3650 \text{ км} + 4248 \text{ км} = 7898 \text{ км}$.
Полученная сумма совпадает с общей длиной, указанной в условии задачи.

Ответ: длина реки Обь — 3650 км, длина реки Иртыш — 4248 км.

908. По маршруту Орёл — Тула — Москва выехал автомобиль. Какое расстояние между Орлом и Тулой, если оно на 5 км больше расстояния между Тулой и Москвой, а длина всего маршрута составляет 345 км?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть расстояние между Тулой и Москвой равно $x$ км.

По условию задачи, расстояние между Орлом и Тулой на 5 км больше, чем расстояние между Тулой и Москвой. Следовательно, расстояние между Орлом и Тулой можно выразить как $(x + 5)$ км.

Общая длина маршрута Орёл — Тула — Москва равна сумме расстояний между Орлом и Тулой и между Тулой и Москвой. Известно, что общая длина маршрута составляет 345 км. Составим уравнение:

$(x + 5) + x = 345$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 5 = 345$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$2x = 345 - 5$

$2x = 340$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{340}{2}$

$x = 170$

Таким образом, мы нашли, что расстояние между Тулой и Москвой составляет 170 км.

В задаче требуется найти расстояние между Орлом и Тулой, которое равно $(x + 5)$ км.

$170 + 5 = 175$ км.

Ответ: 175 км.

909. В 5 классе учатся 35 учеников. Сможет ли каждый ученик этого класса обменяться открытками с пятью своими одноклассниками?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим общее количество "участий" в обмене открытками.

В классе 35 учеников. По условию, каждый из них должен обменяться открытками с пятью одноклассниками. Если мы посчитаем, сколько всего "отправленных" или "полученных" открыток будет у каждого, и сложим эти числа, мы получим общее количество "концов" обмена.

Каждый из 35 учеников участвует в 5 обменах. Общее количество таких участий будет:
$35 \times 5 = 175$

Каждый обмен открытками происходит между двумя учениками. Это означает, что один акт обмена имеет два "конца" (один у одного ученика, второй — у другого). Следовательно, общее количество таких "участий" или "концов" во всем классе должно быть четным числом, так как его можно разделить на пары (по числу обменов).

Однако, мы получили результат 175, который является нечетным числом. Нечетное число невозможно разделить на 2 без остатка. Это означает, что учеников невозможно разбить на пары для такого количества обменов.

Этот результат можно также объяснить с помощью леммы о рукопожатиях из теории графов, которая гласит, что в любом графе количество вершин с нечетной степенью всегда четно. В нашей задаче все 35 вершин (учеников) должны иметь нечетную степень 5. Количество таких вершин (35) нечетно, что противоречит лемме.

Ответ: Нет, не сможет.