Страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как в записи смешанной дроби называют натуральное число? правильную дробь?

Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, которое состоит из натурального числа и правильной дроби. Рассмотрим на примере дроби $5\frac{2}{7}$.

натуральное число

Натуральное число в записи смешанной дроби называют целой частью. В нашем примере, $5\frac{2}{7}$, число 5 является целой частью. Оно показывает количество целых единиц, содержащихся в смешанном числе.

Ответ: целая часть.

правильную дробь

Правильную дробь в записи смешанной дроби называют дробной частью. В нашем примере, $5\frac{2}{7}$, дробь $\frac{2}{7}$ является дробной частью. Она представляет собой оставшуюся часть числа, которая меньше единицы.

Ответ: дробная часть.

2. Какой дробью является дробная часть смешанной дроби?

Смешанная дробь (также называемая смешанным числом) представляет собой сумму натурального числа (целой части) и правильной дроби (дробной части). Например, рассмотрим смешанную дробь $5\frac{2}{7}$. В этой записи $5$ — это целая часть, а $\frac{2}{7}$ — это дробная часть.

По определению, дробная часть смешанной дроби всегда является правильной дробью. Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель (число над чертой) меньше знаменателя (число под чертой). В нашем примере $2 < 7$, поэтому $\frac{2}{7}$ — правильная дробь.

Если бы дробная часть была неправильной (числитель больше или равен знаменателю), то из нее можно было бы выделить одну или несколько целых единиц. Эти единицы были бы добавлены к целой части, а оставшаяся дробь стала бы правильной. Например, запись $3\frac{4}{3}$ не является стандартной формой смешанной дроби. Дробь $\frac{4}{3}$ — неправильная. Мы можем преобразовать ее: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Тогда исходное число будет равно $3 + 1\frac{1}{3} = 4\frac{1}{3}$. В канонической записи $4\frac{1}{3}$ дробная часть $\frac{1}{3}$ является правильной дробью.

Ответ: Дробная часть смешанной дроби является правильной дробью.

3. Как неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанную дробь?

Чтобы преобразовать неправильную дробь, у которой числитель не делится нацело на знаменатель, в смешанную дробь (или смешанное число), необходимо выполнить следующие действия:

1. Разделить числитель неправильной дроби на её знаменатель с остатком.
2. Полученное неполное частное (целый результат деления) записать как целую часть смешанной дроби.
3. Остаток от деления записать в числитель дробной части смешанной дроби.
4. Знаменатель дробной части оставить таким же, как и у исходной неправильной дроби.

Пример:

Допустим, нам нужно преобразовать неправильную дробь $ \frac{17}{5} $ в смешанную.

1. Делим числитель 17 на знаменатель 5:
   $ 17 \div 5 = 3 $ (остаток 2).
2. Неполное частное равно 3. Это будет целая часть нашей смешанной дроби.
3. Остаток от деления равен 2. Это будет числитель дробной части.
4. Знаменатель 5 остается без изменений.

Собираем все части вместе и получаем смешанную дробь: $ 3\frac{2}{5} $.

Таким образом, $ \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} $.

Ответ: Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное станет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

4. Как смешанную дробь преобразовать в неправильную дробь?

Чтобы преобразовать смешанную дробь, которая состоит из целой части и дробной части, в неправильную дробь (у которой числитель больше или равен знаменателю), необходимо выполнить несколько шагов.

Правило

1. Умножить целую часть дроби на её знаменатель.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Полученную сумму записать в числитель новой дроби.
4. Знаменатель дробной части оставить без изменений.

Формула

Это правило можно выразить следующей формулой. Пусть у нас есть смешанная дробь $A \frac{b}{c}$, где $A$ — целая часть, $b$ — числитель, а $c$ — знаменатель. Тогда преобразование в неправильную дробь будет выглядеть так:
$A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$

Пример

Преобразуем смешанную дробь $4 \frac{2}{5}$ в неправильную дробь.
1. Умножаем целую часть (4) на знаменатель (5): $4 \cdot 5 = 20$.
2. К результату (20) прибавляем числитель (2): $20 + 2 = 22$.
3. Число 22 будет числителем новой дроби.
4. Знаменатель (5) остается прежним.
Таким образом, мы получаем: $4 \frac{2}{5} = \frac{22}{5}$.

Ответ: Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, нужно целую часть умножить на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель, и эту сумму записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений.

5. Сформулируйте правило сложения двух смешанных дробей.

Существует два основных способа сложения смешанных дробей (чисел).

Способ 1. Сложение целых и дробных частей по отдельности

Этот способ предполагает раздельное сложение целых и дробных частей. Алгоритм действий следующий:

1. Сложить целые части смешанных дробей.
2. Сложить дробные части смешанных дробей. Если знаменатели у дробных частей разные, их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.
3. Соединить полученную целую часть и дробную часть.
4. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь (у которой числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к уже имеющейся целой части.

Пример: Найдем сумму $5\frac{1}{4}$ и $2\frac{2}{3}$.

1. Складываем целые части: $5 + 2 = 7$.
2. Складываем дробные части: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$. Общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. Приводим дроби к этому знаменателю: $\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$.
3. Соединяем результаты: $7 + \frac{11}{12} = 7\frac{11}{12}$.

Пример, когда сумма дробных частей — неправильная дробь: Найдем сумму $3\frac{5}{6}$ и $1\frac{1}{2}$.

1. Складываем целые части: $3 + 1 = 4$.
2. Складываем дробные части: $\frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6}$.
3. Дробь $\frac{8}{6}$ — неправильная и сократимая. Сначала выделим целую часть: $\frac{8}{6} = 1\frac{2}{6}$.
4. Прибавим эту целую часть к результату сложения целых частей: $4 + 1\frac{2}{6} = 5\frac{2}{6}$.
5. Сократим дробную часть: $5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}$.

Способ 2. Преобразование в неправильные дроби

Этот способ заключается в том, что смешанные дроби сначала переводятся в неправильные, а затем складываются. Алгоритм действий следующий:

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель, результат записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним.
2. Сложить полученные неправильные дроби (приведя к общему знаменателю, если необходимо).
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанную дробь.

Пример: Найдем сумму $5\frac{1}{4}$ и $2\frac{2}{3}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби:
   $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
   $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
2. Складываем полученные дроби:
   $\frac{21}{4} + \frac{8}{3} = \frac{21 \cdot 3}{12} + \frac{8 \cdot 4}{12} = \frac{63}{12} + \frac{32}{12} = \frac{95}{12}$
3. Преобразуем результат в смешанную дробь. Делим 95 на 12 с остатком: $95 \div 12 = 7$ (остаток $11$). Получаем $7\frac{11}{12}$.

Ответ:

Правило сложения двух смешанных дробей можно сформулировать следующим образом:

Чтобы сложить две смешанные дроби, нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части. Дробные части при этом следует привести к общему знаменателю. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь, из нее нужно выделить целую часть и добавить к полученной сумме целых частей.

Альтернативное правило:

Чтобы сложить две смешанные дроби, можно каждую из них представить в виде неправильной дроби, затем сложить эти дроби по правилам сложения обыкновенных дробей, и полученный результат, если он является неправильной дробью, снова представить в виде смешанной дроби.

6. Как найти разность двух смешанных дробей?

Чтобы найти разность двух смешанных дробей, то есть чисел, состоящих из целой и дробной части, можно воспользоваться одним из двух основных способов.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности

Этот способ удобен, когда дробная часть уменьшаемого (числа, из которого вычитают) больше или равна дробной части вычитаемого (числа, которое вычитают).

1. Убедиться, что дробные части обеих дробей имеют одинаковый знаменатель. Если нет, привести их к общему знаменателю.
2. Сравнить дробные части.
3. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то отдельно вычесть целые части и отдельно — дробные. Затем сложить полученные результаты.
4. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Эту единицу представляют в виде дроби (например, $1 = \frac{n}{n}$) и добавляют к дробной части уменьшаемого. После этого выполняют вычитание целых и дробных частей.

Пример А (дробная часть уменьшаемого больше):

Найдем разность $5\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4}$.

Дробные части имеют общий знаменатель, и $ \frac{3}{4} > \frac{1}{4} $.

Вычитаем целые части: $5 - 2 = 3$.

Вычитаем дробные части: $ \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} $.

Сокращаем дробную часть: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Соединяем результат: $3\frac{1}{2}$.

Пример Б (дробная часть уменьшаемого меньше):

Найдем разность $7\frac{1}{6} - 3\frac{5}{6}$.

Дробные части имеют общий знаменатель, но $ \frac{1}{6} < \frac{5}{6} $. Нужно "занять" единицу у целой части (у 7).

$ 7\frac{1}{6} = 6 + 1 + \frac{1}{6} = 6 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 6\frac{7}{6} $.

Теперь вычитание выглядит так: $6\frac{7}{6} - 3\frac{5}{6}$.

Вычитаем целые части: $6 - 3 = 3$.

Вычитаем дробные части: $ \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} $.

Сокращаем дробь: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Соединяем результат: $3\frac{1}{3}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ универсален и помогает избежать ошибок при "занимании" единицы.

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную по формуле $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$.
2. Привести полученные дроби к общему знаменателю.
3. Вычесть числители, оставив знаменатель без изменений.
4. Если полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя), преобразовать ее обратно в смешанную дробь.

Пример:

Найдем разность $4\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$.

1. Преобразуем обе дроби в неправильные:

$ 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3} $

$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $

2. Приводим дроби к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6):

$ \frac{13}{3} = \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{26}{6} $

$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} $

3. Выполняем вычитание:

$ \frac{26}{6} - \frac{9}{6} = \frac{26 - 9}{6} = \frac{17}{6} $

4. Преобразуем результат в смешанную дробь:

$ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $ (так как $17 \div 6 = 2$ и остаток $5$).

Ответ:

Чтобы найти разность двух смешанных дробей, необходимо сначала привести их дробные части к общему знаменателю. Затем можно выбрать один из двух путей:

1. Вычесть отдельно целые и дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, добавить ее к дробной части и после этого производить вычитание.
2. Преобразовать обе смешанные дроби в неправильные, вычесть их как обыкновенные дроби, а затем, при необходимости, преобразовать результат обратно в смешанную дробь.

1. Ответом к каким из следующих задач является число $\frac{5}{6}$?

1) Сколько килограммов конфет получил каждый из шести отрядов, между которыми поделили поровну 5 кг конфет?

2) С какой скоростью шёл пешеход, если за 6 ч он прошёл 5 км?

3) Из 6 м ткани сшили пять фартуков. Сколько метров ткани пошло на один фартук?

4) Решите уравнение $6x = 5$.

Чтобы определить, ответом к каким из предложенных задач является число $\frac{5}{6}$, решим каждую из них и сравним результат.

1) В этой задаче нужно разделить общее количество конфет (5 кг) на количество отрядов (6), чтобы узнать, сколько конфет получит каждый отряд.
Решение: $5 \text{ кг} \div 6 = \frac{5}{6}$ кг.
Результат решения задачи равен $\frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

2) В этой задаче нужно найти скорость пешехода. Скорость вычисляется как отношение расстояния ко времени. Расстояние равно 5 км, а время — 6 часов.
Решение: $v = \frac{S}{t} = \frac{5 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = \frac{5}{6}$ км/ч.
Результат решения задачи равен $\frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

3) В этой задаче нужно найти расход ткани на один фартук. Для этого общую длину ткани (6 м) делим на количество сшитых фартуков (5).
Решение: $6 \text{ м} \div 5 = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ м.
Результат решения задачи ($1\frac{1}{5}$) не равен $\frac{5}{6}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$.

4) В этой задаче нужно решить уравнение $6x = 5$. Чтобы найти $x$, нужно разделить правую часть уравнения на коэффициент при $x$.
Решение:
$6x = 5$
$x = 5 \div 6$
$x = \frac{5}{6}$
Результат решения уравнения равен $\frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

Проанализировав решения, можно сделать вывод, что число $\frac{5}{6}$ является ответом к задачам 1, 2 и 4.

2. Решите уравнение:

1) $ \frac{y}{6} = 3; $

2) $ \frac{6}{y} = 3; $

3) $ 3y = 6; $

4) $ 6y = 3. $

1) Дано уравнение $\frac{y}{6} = 3$.
В этом уравнении $y$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, необходимо умножить частное (3) на делитель (6).
$y = 3 \times 6$
$y = 18$

Ответ: 18

2) Дано уравнение $\frac{6}{y} = 3$.
Здесь $y$ — это неизвестный делитель. Чтобы найти делитель, нужно делимое (6) разделить на частное (3).
$y = \frac{6}{3}$
$y = 2$

Ответ: 2

3) Дано уравнение $3y = 6$.
Здесь $y$ — это неизвестный множитель. Чтобы найти множитель, нужно произведение (6) разделить на известный множитель (3).
$y = \frac{6}{3}$
$y = 2$

Ответ: 2

4) Дано уравнение $6y = 3$.
Здесь $y$ — это неизвестный множитель. Чтобы найти множитель, нужно произведение (3) разделить на известный множитель (6).
$y = \frac{3}{6}$
Дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.
$y = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3. Назовите все пары правильных дробей со знаменателем 9, сумма которых равна $\frac{7}{9}$.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Мы ищем две правильные дроби со знаменателем 9. Пусть эти дроби будут $\frac{a}{9}$ и $\frac{b}{9}$.

Поскольку дроби правильные, их числители $a$ и $b$ должны быть натуральными числами (целыми и положительными), меньшими 9. То есть, $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Сумма этих дробей по условию равна $\frac{7}{9}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{a}{9} + \frac{b}{9} = \frac{7}{9}$

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:

$\frac{a + b}{9} = \frac{7}{9}$

Из этого уравнения следует, что сумма числителей $a$ и $b$ должна быть равна 7:

$a + b = 7$

Теперь найдем все пары натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Порядок чисел в паре не имеет значения, так как пара дробей $(\frac{a}{9}, \frac{b}{9})$ и $(\frac{b}{9}, \frac{a}{9})$ — это одна и та же пара.

• Если $a = 1$, то $b = 7 - 1 = 6$. Оба числителя (1 и 6) являются натуральными числами, меньшими 9. Получаем первую пару дробей: $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$.
• Если $a = 2$, то $b = 7 - 2 = 5$. Оба числителя (2 и 5) подходят. Получаем вторую пару дробей: $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$.
• Если $a = 3$, то $b = 7 - 3 = 4$. Оба числителя (3 и 4) подходят. Получаем третью пару дробей: $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$.

Если мы продолжим перебор (например, возьмем $a=4$), то получим $b=3$, что даст нам ту же пару дробей. Таким образом, мы нашли все уникальные пары.

Ответ: $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$; $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$; $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$.

910. Прочитайте смешанные дроби: $2\frac{1}{3}$, $4\frac{7}{15}$, $9\frac{2}{17}$, $45\frac{3}{8}$, $8\frac{51}{100}$. Назовите целую и дробную части каждой смешанной дроби.

Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, состоящее из целой части (натурального числа) и дробной части (правильной дроби). В задании требуется прочитать каждую смешанную дробь и указать её целую и дробную части.

$2\frac{1}{3}$

Эта дробь читается как "две целых одна третья".

Целая часть — это число, стоящее слева от дроби. В данном случае это 2.

Дробная часть — это правильная дробь, стоящая справа от целой части. В данном случае это $\frac{1}{3}$.

Ответ: Целая часть: 2, дробная часть: $\frac{1}{3}$.

$4\frac{7}{15}$

Эта дробь читается как "четыре целых семь пятнадцатых".

Целая часть дроби — 4.

Дробная часть дроби — $\frac{7}{15}$.

Ответ: Целая часть: 4, дробная часть: $\frac{7}{15}$.

$9\frac{2}{17}$

Эта дробь читается как "девять целых две семнадцатых".

Целая часть дроби — 9.

Дробная часть дроби — $\frac{2}{17}$.

Ответ: Целая часть: 9, дробная часть: $\frac{2}{17}$.

$45\frac{3}{8}$

Эта дробь читается как "сорок пять целых три восьмых".

Целая часть дроби — 45.

Дробная часть дроби — $\frac{3}{8}$.

Ответ: Целая часть: 45, дробная часть: $\frac{3}{8}$.

$8\frac{51}{100}$

Эта дробь читается как "восемь целых пятьдесят одна сотая".

Целая часть дроби — 8.

Дробная часть дроби — $\frac{51}{100}$.

Ответ: Целая часть: 8, дробная часть: $\frac{51}{100}$.

911. Преобразуйте неправильную дробь в смешанную дробь:

1) $\frac{9}{4}$;

2) $\frac{16}{7}$;

3) $\frac{29}{8}$;

4) $\frac{55}{9}$;

5) $\frac{83}{24}$;

6) $\frac{96}{19}$.

1) Чтобы преобразовать неправильную дробь $ \frac{9}{4} $ в смешанную дробь, нужно разделить числитель 9 на знаменатель 4 с остатком.
$ 9 \div 4 = 2 $ (остаток 1).
Неполное частное 2 является целой частью смешанной дроби.
Остаток 1 является числителем дробной части.
Знаменатель 4 остается без изменений.
Получаем: $ \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} $.
Ответ: $ 2\frac{1}{4} $.

2) Преобразуем неправильную дробь $ \frac{16}{7} $ в смешанную. Для этого разделим числитель 16 на знаменатель 7 с остатком.
$ 16 \div 7 = 2 $ (остаток 2).
Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 2, а знаменатель остается 7.
Получаем: $ \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} $.
Ответ: $ 2\frac{2}{7} $.

3) Преобразуем неправильную дробь $ \frac{29}{8} $ в смешанную. Разделим числитель 29 на знаменатель 8 с остатком.
$ 29 \div 8 = 3 $ (остаток 5).
Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 5, знаменатель остается 8.
Получаем: $ \frac{29}{8} = 3\frac{5}{8} $.
Ответ: $ 3\frac{5}{8} $.

4) Преобразуем неправильную дробь $ \frac{55}{9} $ в смешанную. Разделим числитель 55 на знаменатель 9 с остатком.
$ 55 \div 9 = 6 $ (остаток 1).
Целая часть равна 6, числитель дробной части равен 1, знаменатель остается 9.
Получаем: $ \frac{55}{9} = 6\frac{1}{9} $.
Ответ: $ 6\frac{1}{9} $.

5) Преобразуем неправильную дробь $ \frac{83}{24} $ в смешанную. Разделим числитель 83 на знаменатель 24 с остатком.
$ 83 \div 24 = 3 $ (так как $ 3 \times 24 = 72 $), остаток $ 83 - 72 = 11 $.
Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 11, знаменатель остается 24.
Получаем: $ \frac{83}{24} = 3\frac{11}{24} $.
Ответ: $ 3\frac{11}{24} $.

6) Преобразуем неправильную дробь $ \frac{96}{19} $ в смешанную. Разделим числитель 96 на знаменатель 19 с остатком.
$ 96 \div 19 = 5 $ (так как $ 5 \times 19 = 95 $), остаток $ 96 - 95 = 1 $.
Целая часть равна 5, числитель дробной части равен 1, знаменатель остается 19.
Получаем: $ \frac{96}{19} = 5\frac{1}{19} $.
Ответ: $ 5\frac{1}{19} $.

912. Преобразуйте неправильную дробь в смешанную дробь:

1) $\frac{13}{5}$;

2) $\frac{18}{11}$;

3) $\frac{37}{12}$;

4) $\frac{68}{23}$;

5) $\frac{79}{12}$;

6) $\frac{83}{18}$.

1) Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{13}{5}$ в смешанную, необходимо разделить её числитель на знаменатель с остатком. Целая часть от деления станет целой частью смешанной дроби, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.
Делим 13 на 5: $13 \div 5 = 2$ (остаток $3$).
Таким образом, целая часть равна 2, числитель дробной части равен 3, а знаменатель равен 5.
$\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$.
Ответ: $2\frac{3}{5}$.

2) Преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{11}$ в смешанную. Разделим числитель 18 на знаменатель 11.
$18 \div 11 = 1$ (остаток $7$).
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 7, знаменатель — 11.
$\frac{18}{11} = 1\frac{7}{11}$.
Ответ: $1\frac{7}{11}$.

3) Преобразуем неправильную дробь $\frac{37}{12}$ в смешанную. Разделим 37 на 12.
$37 \div 12 = 3$ (остаток $1$), так как $3 \times 12 = 36$ и $37 - 36 = 1$.
Целая часть равна 3, числитель дробной части — 1, знаменатель — 12.
$\frac{37}{12} = 3\frac{1}{12}$.
Ответ: $3\frac{1}{12}$.

4) Преобразуем неправильную дробь $\frac{68}{23}$ в смешанную. Разделим 68 на 23.
$68 \div 23 = 2$ (остаток $22$), так как $2 \times 23 = 46$ и $68 - 46 = 22$.
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 22, знаменатель — 23.
$\frac{68}{23} = 2\frac{22}{23}$.
Ответ: $2\frac{22}{23}$.

5) Преобразуем неправильную дробь $\frac{79}{12}$ в смешанную. Разделим 79 на 12.
$79 \div 12 = 6$ (остаток $7$), так как $6 \times 12 = 72$ и $79 - 72 = 7$.
Целая часть равна 6, числитель дробной части — 7, знаменатель — 12.
$\frac{79}{12} = 6\frac{7}{12}$.
Ответ: $6\frac{7}{12}$.

6) Преобразуем неправильную дробь $\frac{83}{18}$ в смешанную. Разделим 83 на 18.
$83 \div 18 = 4$ (остаток $11$), так как $4 \times 18 = 72$ и $83 - 72 = 11$.
Целая часть равна 4, числитель дробной части — 11, знаменатель — 18.
$\frac{83}{18} = 4\frac{11}{18}$.
Ответ: $4\frac{11}{18}$.

913. Запишите частное в виде дроби и выделите из полученной дроби целую и дробную части:

1) $\frac{10}{6}$

2) $\frac{18}{5}$

3) $\frac{23}{11}$

4) $\frac{19}{6}$

5) $\frac{55}{6}$

Чтобы записать частное в виде дроби, нужно делимое сделать числителем, а делитель – знаменателем. Чтобы выделить целую и дробную части из неправильной дроби (у которой числитель больше знаменателя или равен ему), нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

1) 10 : 6

Запишем частное в виде дроби: $10 : 6 = \frac{10}{6}$.

Чтобы выделить целую часть, разделим 10 на 6 с остатком:

$10 \div 6 = 1$ (остаток $4$).

Таким образом, целая часть равна 1, а дробная часть – $\frac{4}{6}$. Получаем смешанное число $1\frac{4}{6}$.

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Итоговый результат: $1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

2) 18 : 5

Запишем частное в виде дроби: $18 : 5 = \frac{18}{5}$.

Выделим целую часть, разделив 18 на 5 с остатком:

$18 \div 5 = 3$ (остаток $3$).

Целая часть равна 3, числитель дробной части – 3, знаменатель – 5. Получаем смешанное число $3\frac{3}{5}$.

Ответ: $3\frac{3}{5}$.

3) 23 : 11

Запишем частное в виде дроби: $23 : 11 = \frac{23}{11}$.

Выделим целую часть, разделив 23 на 11 с остатком:

$23 \div 11 = 2$ (остаток $1$).

Целая часть равна 2, числитель дробной части – 1, знаменатель – 11. Получаем смешанное число $2\frac{1}{11}$.

Ответ: $2\frac{1}{11}$.

4) 19 : 6

Запишем частное в виде дроби: $19 : 6 = \frac{19}{6}$.

Выделим целую часть, разделив 19 на 6 с остатком:

$19 \div 6 = 3$ (остаток $1$).

Целая часть равна 3, числитель дробной части – 1, знаменатель – 6. Получаем смешанное число $3\frac{1}{6}$.

Ответ: $3\frac{1}{6}$.

5) 55 : 6

Запишем частное в виде дроби: $55 : 6 = \frac{55}{6}$.

Выделим целую часть, разделив 55 на 6 с остатком:

$55 \div 6 = 9$ (остаток $1$).

Целая часть равна 9, числитель дробной части – 1, знаменатель – 6. Получаем смешанное число $9\frac{1}{6}$.

Ответ: $9\frac{1}{6}$.