Номер 6, страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 34. Смешанные дроби. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 6, страница 209.

6. Как найти разность двух смешанных дробей?

Чтобы найти разность двух смешанных дробей, то есть чисел, состоящих из целой и дробной части, можно воспользоваться одним из двух основных способов.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности

Этот способ удобен, когда дробная часть уменьшаемого (числа, из которого вычитают) больше или равна дробной части вычитаемого (числа, которое вычитают).

1. Убедиться, что дробные части обеих дробей имеют одинаковый знаменатель. Если нет, привести их к общему знаменателю.
2. Сравнить дробные части.
3. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то отдельно вычесть целые части и отдельно — дробные. Затем сложить полученные результаты.
4. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Эту единицу представляют в виде дроби (например, $1 = \frac{n}{n}$) и добавляют к дробной части уменьшаемого. После этого выполняют вычитание целых и дробных частей.

Пример А (дробная часть уменьшаемого больше):

Найдем разность $5\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4}$.

Дробные части имеют общий знаменатель, и $ \frac{3}{4} > \frac{1}{4} $.

Вычитаем целые части: $5 - 2 = 3$.

Вычитаем дробные части: $ \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} $.

Сокращаем дробную часть: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Соединяем результат: $3\frac{1}{2}$.

Пример Б (дробная часть уменьшаемого меньше):

Найдем разность $7\frac{1}{6} - 3\frac{5}{6}$.

Дробные части имеют общий знаменатель, но $ \frac{1}{6} < \frac{5}{6} $. Нужно "занять" единицу у целой части (у 7).

$ 7\frac{1}{6} = 6 + 1 + \frac{1}{6} = 6 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 6\frac{7}{6} $.

Теперь вычитание выглядит так: $6\frac{7}{6} - 3\frac{5}{6}$.

Вычитаем целые части: $6 - 3 = 3$.

Вычитаем дробные части: $ \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} $.

Сокращаем дробь: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Соединяем результат: $3\frac{1}{3}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ универсален и помогает избежать ошибок при "занимании" единицы.

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную по формуле $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$.
2. Привести полученные дроби к общему знаменателю.
3. Вычесть числители, оставив знаменатель без изменений.
4. Если полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя), преобразовать ее обратно в смешанную дробь.

Пример:

Найдем разность $4\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$.

1. Преобразуем обе дроби в неправильные:

$ 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3} $

$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $

2. Приводим дроби к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6):

$ \frac{13}{3} = \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{26}{6} $

$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} $

3. Выполняем вычитание:

$ \frac{26}{6} - \frac{9}{6} = \frac{26 - 9}{6} = \frac{17}{6} $

4. Преобразуем результат в смешанную дробь:

$ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $ (так как $17 \div 6 = 2$ и остаток $5$).

Ответ:

Чтобы найти разность двух смешанных дробей, необходимо сначала привести их дробные части к общему знаменателю. Затем можно выбрать один из двух путей:

1. Вычесть отдельно целые и дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, добавить ее к дробной части и после этого производить вычитание.
2. Преобразовать обе смешанные дроби в неправильные, вычесть их как обыкновенные дроби, а затем, при необходимости, преобразовать результат обратно в смешанную дробь.