Номер 5, страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 34. Смешанные дроби. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 5, страница 209.

5. Сформулируйте правило сложения двух смешанных дробей.

Существует два основных способа сложения смешанных дробей (чисел).

Способ 1. Сложение целых и дробных частей по отдельности

Этот способ предполагает раздельное сложение целых и дробных частей. Алгоритм действий следующий:

1. Сложить целые части смешанных дробей.
2. Сложить дробные части смешанных дробей. Если знаменатели у дробных частей разные, их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.
3. Соединить полученную целую часть и дробную часть.
4. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь (у которой числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к уже имеющейся целой части.

Пример: Найдем сумму $5\frac{1}{4}$ и $2\frac{2}{3}$.

1. Складываем целые части: $5 + 2 = 7$.
2. Складываем дробные части: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$. Общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. Приводим дроби к этому знаменателю: $\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$.
3. Соединяем результаты: $7 + \frac{11}{12} = 7\frac{11}{12}$.

Пример, когда сумма дробных частей — неправильная дробь: Найдем сумму $3\frac{5}{6}$ и $1\frac{1}{2}$.

1. Складываем целые части: $3 + 1 = 4$.
2. Складываем дробные части: $\frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6}$.
3. Дробь $\frac{8}{6}$ — неправильная и сократимая. Сначала выделим целую часть: $\frac{8}{6} = 1\frac{2}{6}$.
4. Прибавим эту целую часть к результату сложения целых частей: $4 + 1\frac{2}{6} = 5\frac{2}{6}$.
5. Сократим дробную часть: $5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}$.

Способ 2. Преобразование в неправильные дроби

Этот способ заключается в том, что смешанные дроби сначала переводятся в неправильные, а затем складываются. Алгоритм действий следующий:

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель, результат записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним.
2. Сложить полученные неправильные дроби (приведя к общему знаменателю, если необходимо).
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанную дробь.

Пример: Найдем сумму $5\frac{1}{4}$ и $2\frac{2}{3}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби:
   $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
   $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
2. Складываем полученные дроби:
   $\frac{21}{4} + \frac{8}{3} = \frac{21 \cdot 3}{12} + \frac{8 \cdot 4}{12} = \frac{63}{12} + \frac{32}{12} = \frac{95}{12}$
3. Преобразуем результат в смешанную дробь. Делим 95 на 12 с остатком: $95 \div 12 = 7$ (остаток $11$). Получаем $7\frac{11}{12}$.

Ответ:

Правило сложения двух смешанных дробей можно сформулировать следующим образом:

Чтобы сложить две смешанные дроби, нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части. Дробные части при этом следует привести к общему знаменателю. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь, из нее нужно выделить целую часть и добавить к полученной сумме целых частей.

Альтернативное правило:

Чтобы сложить две смешанные дроби, можно каждую из них представить в виде неправильной дроби, затем сложить эти дроби по правилам сложения обыкновенных дробей, и полученный результат, если он является неправильной дробью, снова представить в виде смешанной дроби.