Номер 3, страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. § 34. Смешанные дроби. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 3, страница 209.

3. Назовите все пары правильных дробей со знаменателем 9, сумма которых равна $\frac{7}{9}$.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Мы ищем две правильные дроби со знаменателем 9. Пусть эти дроби будут $\frac{a}{9}$ и $\frac{b}{9}$.

Поскольку дроби правильные, их числители $a$ и $b$ должны быть натуральными числами (целыми и положительными), меньшими 9. То есть, $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Сумма этих дробей по условию равна $\frac{7}{9}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{a}{9} + \frac{b}{9} = \frac{7}{9}$

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:

$\frac{a + b}{9} = \frac{7}{9}$

Из этого уравнения следует, что сумма числителей $a$ и $b$ должна быть равна 7:

$a + b = 7$

Теперь найдем все пары натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Порядок чисел в паре не имеет значения, так как пара дробей $(\frac{a}{9}, \frac{b}{9})$ и $(\frac{b}{9}, \frac{a}{9})$ — это одна и та же пара.

• Если $a = 1$, то $b = 7 - 1 = 6$. Оба числителя (1 и 6) являются натуральными числами, меньшими 9. Получаем первую пару дробей: $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$.
• Если $a = 2$, то $b = 7 - 2 = 5$. Оба числителя (2 и 5) подходят. Получаем вторую пару дробей: $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$.
• Если $a = 3$, то $b = 7 - 3 = 4$. Оба числителя (3 и 4) подходят. Получаем третью пару дробей: $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$.

Если мы продолжим перебор (например, возьмем $a=4$), то получим $b=3$, что даст нам ту же пару дробей. Таким образом, мы нашли все уникальные пары.

Ответ: $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$; $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$; $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$.