Страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Бревно распилили на две части длиной 3 м и 4 м. Какую часть данного бревна составляет меньшее из полученных брёвен?

А) $ \frac{3}{7} $

Б) $ \frac{3}{4} $

В) $ \frac{1}{3} $

Г) $ \frac{1}{7} $

1. Для того чтобы найти, какую часть от всего бревна составляет меньший кусок, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем общую длину исходного бревна.
Поскольку бревно распилили на две части длиной 3 м и 4 м, его первоначальная длина была равна сумме длин этих частей.
Общая длина = $3 \text{ м} + 4 \text{ м} = 7 \text{ м}$.

Шаг 2: Определим длину меньшей части.
Сравнивая две части, 3 м и 4 м, мы видим, что меньшая часть имеет длину 3 м.

Шаг 3: Рассчитаем, какую часть от всего бревна составляет меньшая часть.
Для этого нужно разделить длину меньшей части на общую длину бревна.
Искомая часть = $\frac{\text{длина меньшей части}}{\text{общая длина бревна}} = \frac{3}{7}$.

Таким образом, меньшее из полученных брёвен составляет $\frac{3}{7}$ от всего бревна.
Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $\frac{3}{7}$

2. На рисунке 220 изображена часть координатного луча.

Какую координату имеет точка A?

Рис. 220

А) $3$

Б) $2\frac{1}{4}$

В) $2\frac{3}{4}$

Г) $3\frac{1}{3}$

Чтобы определить координату точки А на координатном луче, необходимо сначала найти цену одного деления шкалы. На луче отмечены точки с координатами 1 и 4.

1. Найдем длину отрезка между этими точками. Она равна разности их координат: $4 - 1 = 3$.

2. Посчитаем количество маленьких отрезков (делений) между точками 1 и 4. На рисунке их 12.

3. Теперь вычислим цену одного деления, разделив общую длину отрезка на количество делений: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

4. Определим положение точки А. Она находится на 7-м делении справа от точки с координатой 1.

5. Чтобы найти координату точки А, нужно к начальной координате (1) прибавить произведение количества делений (7) на цену одного деления ($\frac{1}{4}$):

Координата А = $1 + 7 \times \frac{1}{4} = 1 + \frac{7}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{4}$ в смешанное число: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Сложим целые части: $1 + 1\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Таким образом, точка А имеет координату $2\frac{3}{4}$. Этот вариант соответствует ответу под буквой В.

Ответ: В) $2\frac{3}{4}$

3. Укажите верное неравенство.

А) $\frac{7}{6} < \frac{6}{7}$

Б) $\frac{1}{5} > \frac{1}{4}$

В) $\frac{7}{13} < \frac{9}{13}$

Г) $\frac{15}{19} > \frac{17}{19}$

Чтобы найти верное неравенство, проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $\frac{7}{6} < \frac{6}{7}$

Дробь $\frac{7}{6}$ — неправильная, так как числитель больше знаменателя ($7 > 6$), поэтому ее значение больше 1. Дробь $\frac{6}{7}$ — правильная, так как числитель меньше знаменателя ($6 < 7$), поэтому ее значение меньше 1. Число, которое больше 1, не может быть меньше числа, которое меньше 1. Следовательно, неравенство $\frac{7}{6} < \frac{6}{7}$ неверно.

Ответ: неверно.

Б) $\frac{1}{5} > \frac{1}{4}$

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) нужно помнить правило: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $5 > 4$, то $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$. Также можно привести дроби к общему знаменателю 20: $\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$ и $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$. Поскольку $4 < 5$, то $\frac{4}{20} < \frac{5}{20}$. Следовательно, неравенство $\frac{1}{5} > \frac{1}{4}$ неверно.

Ответ: неверно.

В) $\frac{7}{13} < \frac{9}{13}$

Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями (в данном случае 13) нужно сравнить их числители. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $7 < 9$. Следовательно, неравенство $\frac{7}{13} < \frac{9}{13}$ верно.

Ответ: верно.

Г) $\frac{15}{19} > \frac{17}{19}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель 19. Сравниваем их числители: $15 < 17$. Значит, $\frac{15}{19} < \frac{17}{19}$. Следовательно, неравенство $\frac{15}{19} > \frac{17}{19}$ неверно.

Ответ: неверно.

4. В магазин завезли 250 кг сахара. За первый день было продано

${1 \over 5}$ завезенного сахара. Сколько килограммов сахара было продано за первый день?

А) 100 кг

Б) 200 кг

В) 20 кг

Г) 50 кг

По условию задачи, в магазин завезли 250 кг сахара. В первый день продали $\frac{1}{5}$ от всего завезенного сахара. Чтобы найти, сколько килограммов сахара было продано, необходимо общее количество умножить на соответствующую ему часть (дробь).

Найдем $\frac{1}{5}$ от 250 кг. Для этого разделим 250 на 5:

$250 \div 5 = 50$ (кг)

Также это можно записать как умножение числа на дробь:

$250 \times \frac{1}{5} = \frac{250 \times 1}{5} = \frac{250}{5} = 50$ (кг)

Таким образом, в первый день было продано 50 кг сахара. Этот вариант соответствует ответу Г).

Ответ: 50 кг.

5. Чему равен корень уравнения $\frac{7}{11} - x = \frac{3}{11}$?

А) $\frac{4}{11}$

Б) $\frac{10}{11}$

В) $\frac{5}{11}$

Г) $1$

Чтобы найти корень уравнения, необходимо выразить неизвестную переменную $x$.

Исходное уравнение:

$\frac{7}{11} - x = \frac{3}{11}$

В данном уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($\frac{7}{11}$) вычесть разность ($\frac{3}{11}$).

$x = \frac{7}{11} - \frac{3}{11}$

Так как у дробей одинаковый знаменатель, выполняем вычитание числителей:

$x = \frac{7 - 3}{11}$

$x = \frac{4}{11}$

Для проверки подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\frac{7}{11} - \frac{4}{11} = \frac{3}{11}$

$\frac{3}{11} = \frac{3}{11}$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: $\frac{4}{11}$

6. Преобразуйте в смешанную дробь число $ \frac{49}{11} $.

А) $ 5\frac{6}{11} $

Б) $ 4\frac{5}{11} $

В) $ 4\frac{4}{11} $

Г) $ 5\frac{4}{11} $

Чтобы преобразовать неправильную дробь $ \frac{49}{11} $ в смешанное число, необходимо разделить ее числитель (49) на знаменатель (11) с остатком.

1. Выполним деление числителя на знаменатель, чтобы найти целую часть смешанного числа:

$ 49 \div 11 = 4 $ (неполное частное)

Таким образом, целая часть смешанного числа равна 4.

2. Теперь найдем остаток от деления, который станет числителем дробной части. Для этого умножим полученную целую часть на знаменатель и вычтем результат из исходного числителя:

$ 49 - (4 \times 11) = 49 - 44 = 5 $

Остаток равен 5.

3. Составим смешанное число. Целая часть равна 4, числитель дробной части равен 5, а знаменатель остается прежним — 11.

В результате получаем: $ 4\frac{5}{11} $.

Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $ 4\frac{5}{11} $

7. Представьте в виде неправильной дроби число $4\frac{5}{12}$.

А) $\frac{64}{12}$

Б) $\frac{53}{12}$

В) $\frac{9}{12}$

Г) $\frac{21}{12}$

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат этого действия будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Общая формула преобразования выглядит так: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

Применим эту формулу к числу $4 \frac{5}{12}$:
Здесь целая часть $A = 4$, числитель $b = 5$ и знаменатель $c = 12$.

Выполним вычисления пошагово:
1. Умножим целую часть на знаменатель: $4 \cdot 12 = 48$.
2. К полученному результату прибавим числитель: $48 + 5 = 53$.
3. Запишем полученное число в числитель, а знаменатель оставим без изменений: $\frac{53}{12}$.

Таким образом, смешанное число $4 \frac{5}{12}$ в виде неправильной дроби равно $\frac{53}{12}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{53}{12}$

8. Чему равна разность $9 - 5\frac{2}{7}$?

А) $4\frac{5}{7}$

Б) $3\frac{2}{7}$

В) $4\frac{2}{7}$

Г) $3\frac{5}{7}$

Для того чтобы найти разность между целым числом и смешанной дробью, представим целое число 9 в виде смешанной дроби со знаменателем 7. Для этого мы "занимаем" единицу у числа 9.

1. Представим 9 как $8 + 1$.

2. Единицу представим в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.

3. Таким образом, число 9 можно записать в виде смешанной дроби: $9 = 8 + \frac{7}{7} = 8\frac{7}{7}$.

4. Теперь выполним вычитание. Вычитаем отдельно целые части и отдельно дробные части:

$9 - 5\frac{2}{7} = 8\frac{7}{7} - 5\frac{2}{7} = (8 - 5) + (\frac{7}{7} - \frac{2}{7})$

5. Вычитаем целые части: $8 - 5 = 3$.

6. Вычитаем дробные части: $\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{7-2}{7} = \frac{5}{7}$.

7. Складываем полученные результаты:

$3 + \frac{5}{7} = 3\frac{5}{7}$.

Полученное значение $3\frac{5}{7}$ соответствует варианту ответа Г.

Ответ: $3\frac{5}{7}$