Страница 220 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют сокращением дроби?

1. Сокращением дроби называют процесс деления её числителя и знаменателя на их общий положительный делитель, отличный от 1. В результате этого преобразования получается новая дробь, которая равна исходной, но имеет меньшие по модулю числитель и знаменатель, что упрощает дальнейшие вычисления.

Это действие основано на основном свойстве дроби, которое гласит: если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. В виде формулы это выглядит так: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $, где $c$ — общий делитель для $a$ и $b$.

Пример сокращения дроби:

Рассмотрим дробь $ \frac{18}{30} $.

Сначала найдём общие делители числителя (18) и знаменателя (30). Это числа 2, 3, 6. Мы можем сократить дробь на любой из них. Например, на 2:

$ \frac{18}{30} = \frac{18 \div 2}{30 \div 2} = \frac{9}{15} $

Полученную дробь $ \frac{9}{15} $ можно сократить ещё, так как 9 и 15 имеют общий делитель 3:

$ \frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5} $

Чтобы сократить дробь за один шаг, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. НОД(18, 30) = 6. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на 6:

$ \frac{18}{30} = \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5} $

Дробь $ \frac{3}{5} $ называется несократимой, так как у чисел 3 и 5 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий делитель, не равный 1. Это делается для упрощения дроби без изменения её величины.

2. Какую дробь называют несократимой?

Несократимой дробью называют такую обыкновенную дробь $ \frac{a}{b} $, числитель $a$ и знаменатель $b$ которой являются взаимно простыми числами.

Это означает, что у числителя и знаменателя нет никаких общих делителей, кроме 1. Математически это записывается так: наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен единице: НОД($a, b$) = 1. Такую дробь невозможно упростить (сократить) путем деления ее числителя и знаменателя на одно и то же целое число больше единицы.

Например, дробь $ \frac{5}{7} $ является несократимой, потому что числа 5 и 7 — простые, и их единственный общий делитель — это 1. Дробь $ \frac{8}{15} $ также является несократимой, поскольку, хотя 8 и 15 — составные числа, у них нет общих делителей, кроме 1 (НОД(8, 15) = 1).

Для сравнения, дробь $ \frac{12}{18} $ является сократимой. Её числитель и знаменатель имеют общие делители: 2, 3, 6. Наибольший общий делитель равен 6. Если разделить числитель и знаменатель на 6, мы получим несократимую дробь: $ \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $.

Ответ: Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), и которую нельзя сократить.

3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократимая дробь?

Чтобы в результате сокращения дроби получилась несократимая дробь, её числитель и знаменатель необходимо разделить на их наибольший общий делитель (НОД).

Пояснение:

Сократить дробь $ \frac{a}{b} $ — значит разделить её числитель $ a $ и знаменатель $ b $ на одно и то же натуральное число $ c $, которое является их общим делителем.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Пусть у нас есть дробь $ \frac{a}{b} $. Найдём наибольший общий делитель её числителя и знаменателя: $ d = \text{НОД}(a, b) $.

Если мы разделим числитель и знаменатель на их НОД, мы получим новую дробь $ \frac{a \div d}{b \div d} $. По свойству НОД, числитель и знаменатель этой новой дроби уже не будут иметь общих делителей, кроме 1. Следовательно, полученная дробь будет несократимой.

Пример:

Рассмотрим дробь $ \frac{24}{36} $.

Сначала найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 24 и 36.

• Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
• Наибольший общий делитель: $ \text{НОД}(24, 36) = 12 $.

Теперь сократим дробь на найденный НОД, то есть на 12:

$ \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3} $

Полученная дробь $ \frac{2}{3} $ является несократимой, так как $ \text{НОД}(2, 3) = 1 $.

Если бы мы сократили дробь на другой общий делитель (не наибольший), например, на 6, мы бы получили: $ \frac{24 \div 6}{36 \div 6} = \frac{4}{6} $. Эта дробь является сократимой, так как её ещё можно сократить на 2. Чтобы сразу получить несократимую дробь, нужно делить именно на наибольший общий делитель.

Ответ: Дробь надо сократить на наибольший общий делитель (НОД) её числителя и знаменателя.

1. Объясните, почему верно равенство:

1) $ \frac{2}{7} = \frac{6}{21}; $

2) $ \frac{30}{36} = \frac{5}{6}. $

1)

Данное равенство $ \frac{2}{7} = \frac{6}{21} $ является верным в соответствии с основным свойством дроби. Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

В этом примере мы можем привести дробь $ \frac{2}{7} $ к знаменателю 21. Для этого нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель (21) на старый (7):

$ 21 \div 7 = 3 $

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{7} $ на этот дополнительный множитель 3:

$ \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $

Так как, умножив числитель и знаменатель первой дроби на 3, мы получили вторую дробь, равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, так как оно основано на основном свойстве дроби: числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{7} $ были умножены на одно и то же число (3), в результате чего получилась равная ей дробь $ \frac{6}{21} $.

2)

Равенство $ \frac{30}{36} = \frac{5}{6} $ также верно и основано на основном свойстве дроби, в данном случае — на сокращении дроби. Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий положительный делитель.

В данном случае дробь $ \frac{30}{36} $ сокращается. Чтобы найти число, на которое нужно сократить дробь, можно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя 30 и знаменателя 36.

НОД(30, 36) = 6.

Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{30}{36} $ на 6:

$ \frac{30}{36} = \frac{30 \div 6}{36 \div 6} = \frac{5}{6} $

Поскольку в результате сокращения дроби $ \frac{30}{36} $ на 6 получается дробь $ \frac{5}{6} $, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, так как дробь $ \frac{30}{36} $ была сокращена на 6 (ее числитель и знаменатель были разделены на 6), в результате чего получилась равная ей дробь $ \frac{5}{6} $.

2. Сколько двенадцатых частей: 1) в $\frac{1}{4}$; 2) в $\frac{1}{3}$; 3) в $\frac{3}{4}$; 4) в $\frac{5}{6}$; 5) в $\frac{3}{2}$?

Чтобы найти, сколько двенадцатых частей (то есть долей $\frac{1}{12}$) содержится в данной дроби, нужно привести эту дробь к знаменателю 12. Полученный числитель и будет искомым количеством двенадцатых частей.

1) в $\frac{1}{4}$
Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 12. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель (12) на старый (4):
$12 \div 4 = 3$
Теперь умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{4}$ на 3:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
Это значит, что в дроби $\frac{1}{4}$ содержится 3 двенадцатых части.
Ответ: 3.

2) в $\frac{1}{3}$
Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 12. Дополнительный множитель:
$12 \div 3 = 4$
Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
Следовательно, в дроби $\frac{1}{3}$ содержится 4 двенадцатых части.
Ответ: 4.

3) в $\frac{3}{4}$
Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 12. Дополнительный множитель:
$12 \div 4 = 3$
Умножим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
Таким образом, в дроби $\frac{3}{4}$ содержится 9 двенадцатых частей.
Ответ: 9.

4) в $\frac{5}{6}$
Приведем дробь $\frac{5}{6}$ к знаменателю 12. Дополнительный множитель:
$12 \div 6 = 2$
Умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$
Значит, в дроби $\frac{5}{6}$ содержится 10 двенадцатых частей.
Ответ: 10.

5) в $\frac{3}{2}$
Приведем дробь $\frac{3}{2}$ к знаменателю 12. Дополнительный множитель:
$12 \div 2 = 6$
Умножим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 6}{2 \times 6} = \frac{18}{12}$
Следовательно, в дроби $\frac{3}{2}$ содержится 18 двенадцатых частей.
Ответ: 18.

3. Сколько сотых частей:

1) В $\frac{1}{10}$;

2) В $\frac{3}{20}$;

3) В $\frac{7}{25}$;

4) В $\frac{23}{50}$;

5) В $\frac{124}{200}$?

Чтобы определить, сколько сотых частей содержится в дроби, необходимо привести эту дробь к знаменателю 100. Числитель полученной дроби и будет искомым количеством сотых частей. Это то же самое, что умножить исходную дробь на 100.

1) в $\frac{1}{10}$

Приведем дробь к знаменателю 100. Для этого нужно найти число, на которое надо умножить знаменатель 10, чтобы получить 100. Это число 10 ($100 \div 10 = 10$). Умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{10}{100}$

Числитель полученной дроби равен 10. Следовательно, в дроби $\frac{1}{10}$ содержится 10 сотых частей.

Ответ: 10.

2) в $\frac{3}{20}$

Приведем дробь к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5 ($100 \div 20 = 5$):

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$

Числитель равен 15. Следовательно, в дроби $\frac{3}{20}$ содержится 15 сотых частей.

Ответ: 15.

3) в $\frac{7}{25}$

Приведем дробь к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4 ($100 \div 25 = 4$):

$\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100}$

Числитель равен 28. Следовательно, в дроби $\frac{7}{25}$ содержится 28 сотых частей.

Ответ: 28.

4) в $\frac{23}{50}$

Приведем дробь к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2 ($100 \div 50 = 2$):

$\frac{23}{50} = \frac{23 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{46}{100}$

Числитель равен 46. Следовательно, в дроби $\frac{23}{50}$ содержится 46 сотых частей.

Ответ: 46.

5) в $\frac{124}{200}$

Приведем дробь к знаменателю 100. Для этого разделим числитель и знаменатель на 2 ($200 \div 100 = 2$):

$\frac{124}{200} = \frac{124 \div 2}{200 \div 2} = \frac{62}{100}$

Числитель равен 62. Следовательно, в дроби $\frac{124}{200}$ содержится 62 сотых части.

Ответ: 62.

4. Какую часть года составляет:

1) 1 месяц;

2) 2 месяца;

3) 6 месяцев?

Чтобы найти, какую часть года составляет определённое количество месяцев, нужно вспомнить, что в одном году 12 месяцев. Затем нужно составить дробь, где в числителе будет заданное количество месяцев, а в знаменателе — общее количество месяцев в году (12).

1) 1 месяц

Составляем дробь: в числителе 1, в знаменателе 12. Получаем $1/12$. Эта дробь несократима.

Ответ: $1/12$.

2) 2 месяца

Составляем дробь: $2/12$. Эту дробь можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на их общий делитель 2.

$2/12 = (2 \div 2) / (12 \div 2) = 1/6$

Ответ: $1/6$.

3) 6 месяцев

Составляем дробь: $6/12$. Эту дробь можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на их общий делитель 6.

$6/12 = (6 \div 6) / (12 \div 6) = 1/2$

Ответ: $1/2$.

5. Сколько граммов составляет:

1) $\frac{1}{2}$ кг;

2) $\frac{1}{4}$ кг;

3) $\frac{1}{8}$ кг;

4) $\frac{1}{5}$ кг?

Для решения этой задачи необходимо знать основное соотношение между килограммами и граммами: в одном килограмме содержится 1000 граммов.

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Чтобы найти, сколько граммов составляет указанная в задании часть килограмма, нужно 1000 граммов умножить на соответствующую дробь.

1) Найдем, сколько граммов составляет $\frac{1}{2}$ кг.

Для этого умножим 1000 г на $\frac{1}{2}$:

$1000 \times \frac{1}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \text{ г}$

Ответ: 500 г.

2) Найдем, сколько граммов составляет $\frac{1}{4}$ кг.

Для этого умножим 1000 г на $\frac{1}{4}$:

$1000 \times \frac{1}{4} = \frac{1000}{4} = 250 \text{ г}$

Ответ: 250 г.

3) Найдем, сколько граммов составляет $\frac{1}{8}$ кг.

Для этого умножим 1000 г на $\frac{1}{8}$:

$1000 \times \frac{1}{8} = \frac{1000}{8} = 125 \text{ г}$

Ответ: 125 г.

4) Найдем, сколько граммов составляет $\frac{1}{5}$ кг.

Для этого умножим 1000 г на $\frac{1}{5}$:

$1000 \times \frac{1}{5} = \frac{1000}{5} = 200 \text{ г}$

Ответ: 200 г.

957. Сократите дробь:

1) $ \frac{5}{15}; $

2) $ \frac{6}{20}; $

3) $ \frac{14}{35}; $

4) $ \frac{21}{39}; $

5) $ \frac{10}{60}; $

6) $ \frac{28}{84}. $

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{5}{15} $, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) числителя (5) и знаменателя (15). В данном случае, НОД(5, 15) = 5. Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД: $ \frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

2) Чтобы сократить дробь $ \frac{6}{20} $, найдём НОД для 6 и 20. Оба числа являются четными, их наибольший общий делитель равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2: $ \frac{6}{20} = \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10} $.
Ответ: $ \frac{3}{10} $.

3) Чтобы сократить дробь $ \frac{14}{35} $, найдём НОД для 14 и 35. Разложим числа на простые множители: $ 14 = 2 \times 7 $ и $ 35 = 5 \times 7 $. Общий множитель - 7, следовательно, НОД(14, 35) = 7. Разделим числитель и знаменатель на 7: $ \frac{14}{35} = \frac{14 \div 7}{35 \div 7} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{21}{39} $, найдём НОД для 21 и 39. Разложим числа на простые множители: $ 21 = 3 \times 7 $ и $ 39 = 3 \times 13 $. Общий множитель - 3, следовательно, НОД(21, 39) = 3. Разделим числитель и знаменатель на 3: $ \frac{21}{39} = \frac{21 \div 3}{39 \div 3} = \frac{7}{13} $.
Ответ: $ \frac{7}{13} $.

5) Чтобы сократить дробь $ \frac{10}{60} $, найдём НОД для 10 и 60. Так как оба числа заканчиваются на 0, они делятся на 10. НОД(10, 60) = 10. Разделим числитель и знаменатель на 10: $ \frac{10}{60} = \frac{10 \div 10}{60 \div 10} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $.

6) Чтобы сократить дробь $ \frac{28}{84} $, найдём НОД для 28 и 84. Можно заметить, что 84 делится на 28 без остатка: $ 84 \div 28 = 3 $. Это значит, что НОД(28, 84) = 28. Разделим числитель и знаменатель на 28: $ \frac{28}{84} = \frac{28 \div 28}{84 \div 28} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

958. Сократите дробь:

1) $\frac{3}{12}$;

2) $\frac{4}{12}$;

3) $\frac{6}{54}$;

4) $\frac{25}{70}$;

5) $\frac{26}{65}$;

6) $\frac{12}{60}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3}{12}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 3 и знаменателя 12. Число 12 делится на 3 без остатка ($12 \div 3 = 4$). Следовательно, НОД(3, 12) = 3. Разделим числитель и знаменатель дроби на 3:
$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{4}{12}$, необходимо найти НОД для чисел 4 и 12. Число 12 делится на 4 без остатка ($12 \div 4 = 3$). Следовательно, НОД(4, 12) = 4. Разделим числитель и знаменатель дроби на 4:
$\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{6}{54}$, найдем НОД для чисел 6 и 54. Число 54 делится на 6 без остатка ($54 \div 6 = 9$). Следовательно, НОД(6, 54) = 6. Разделим числитель и знаменатель дроби на 6:
$\frac{6}{54} = \frac{6 \div 6}{54 \div 6} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{25}{70}$, найдем НОД для чисел 25 и 70. Разложим оба числа на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5$
$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
Общий множитель - это 5, значит НОД(25, 70) = 5. Разделим числитель и знаменатель дроби на 5:
$\frac{25}{70} = \frac{25 \div 5}{70 \div 5} = \frac{5}{14}$
Ответ: $\frac{5}{14}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{26}{65}$, найдем НОД для чисел 26 и 65. Разложим оба числа на простые множители:
$26 = 2 \cdot 13$
$65 = 5 \cdot 13$
Общий множитель - это 13, значит НОД(26, 65) = 13. Разделим числитель и знаменатель дроби на 13:
$\frac{26}{65} = \frac{26 \div 13}{65 \div 13} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{12}{60}$, найдем НОД для чисел 12 и 60. Число 60 делится на 12 без остатка ($60 \div 12 = 5$). Следовательно, НОД(12, 60) = 12. Разделим числитель и знаменатель дроби на 12:
$\frac{12}{60} = \frac{12 \div 12}{60 \div 12} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$