Страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

959. Какие из дробей $\frac{11}{12}$, $\frac{7}{42}$, $\frac{9}{111}$, $\frac{5}{42}$, $\frac{12}{68}$, $\frac{13}{36}$ несократимы?

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим каждую дробь, чтобы определить, можно ли ее сократить.

$\frac{11}{12}$
Числитель 11 является простым числом, его делители — это 1 и 11. Знаменатель 12 не делится на 11. Следовательно, у чисел 11 и 12 нет общих делителей, кроме 1. Эта дробь является несократимой.

$\frac{7}{42}$
Числитель 7 является простым числом. Проверим, делится ли знаменатель 42 на 7. Поскольку $42 = 7 \cdot 6$, и числитель, и знаменатель делятся на 7. Дробь можно сократить: $\frac{7}{42} = \frac{1}{6}$. Эта дробь является сократимой.

$\frac{9}{111}$
Проверим, есть ли у числителя 9 и знаменателя 111 общие делители. Делители числа 9 — это 1, 3, 9. Проверим, делится ли 111 на 3. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, что делится на 3. Значит, и само число 111 делится на 3. Поскольку оба числа делятся на 3, дробь является сократимой: $\frac{9}{111} = \frac{3}{37}$.

$\frac{5}{42}$
Числитель 5 является простым числом. Знаменатель 42 не делится на 5, так как его последняя цифра не 0 и не 5. Общих делителей, кроме 1, у чисел 5 и 42 нет. Эта дробь является несократимой.

$\frac{12}{68}$
И числитель 12, и знаменатель 68 являются четными числами, значит, они оба делятся на 2. Следовательно, дробь является сократимой. Можно найти их НОД: $12 = 2^2 \cdot 3$, $68 = 2^2 \cdot 17$. НОД(12, 68) = 4. $\frac{12}{68} = \frac{3}{17}$.

$\frac{13}{36}$
Числитель 13 является простым числом. Проверим, делится ли знаменатель 36 на 13. $13 \cdot 2 = 26$, $13 \cdot 3 = 39$. 36 на 13 не делится. Общих делителей, кроме 1, у чисел 13 и 36 нет. Эта дробь является несократимой.

Итак, несократимыми являются дроби, у которых числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.
Ответ: $\frac{11}{12}$, $\frac{5}{42}$, $\frac{13}{36}$.

960. Найдите среди дробей $\frac{15}{25}$, $\frac{24}{99}$, $\frac{28}{45}$, $\frac{26}{51}$, $\frac{16}{42}$, $\frac{22}{69}$ несократимые.

Чтобы найти несократимые дроби, нужно определить, у каких из них числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Дробь несократима, если наибольший общий делитель (НОД) её числителя и знаменателя равен 1. Проверим каждую дробь.

$\frac{15}{25}$

Найдем НОД для чисел 15 и 25. Для этого разложим их на простые множители:$15 = 3 \cdot 5$$25 = 5 \cdot 5$Общим множителем является 5, следовательно, НОД(15, 25) = 5. Так как НОД не равен 1, эта дробь является сократимой.

$\frac{24}{99}$

Найдем НОД для чисел 24 и 99, разложив их на простые множители:$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$$99 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$Общим множителем является 3, следовательно, НОД(24, 99) = 3. Так как НОД не равен 1, эта дробь является сократимой.

$\frac{28}{45}$

Найдем НОД для чисел 28 и 45, разложив их на простые множители:$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$У чисел 28 и 45 нет общих простых множителей. Следовательно, НОД(28, 45) = 1. Так как НОД равен 1, эта дробь является несократимой.

$\frac{26}{51}$

Найдем НОД для чисел 26 и 51, разложив их на простые множители:$26 = 2 \cdot 13$$51 = 3 \cdot 17$У чисел 26 и 51 нет общих простых множителей. Следовательно, НОД(26, 51) = 1. Так как НОД равен 1, эта дробь является несократимой.

$\frac{16}{42}$

Найдем НОД для чисел 16 и 42, разложив их на простые множители:$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$Общим множителем является 2, следовательно, НОД(16, 42) = 2. Так как НОД не равен 1, эта дробь является сократимой.

$\frac{22}{69}$

Найдем НОД для чисел 22 и 69, разложив их на простые множители:$22 = 2 \cdot 11$$69 = 3 \cdot 23$У чисел 22 и 69 нет общих простых множителей. Следовательно, НОД(22, 69) = 1. Так как НОД равен 1, эта дробь является несократимой.

Таким образом, из предложенного списка дробей несократимыми являются те, у которых НОД числителя и знаменателя равен 1.

Ответ: $\frac{28}{45}$, $\frac{26}{51}$, $\frac{22}{69}$.

961. Дробь сначала сократили на 2, затем на 5, потом на 11. На какое число можно было сократить эту дробь сразу?

Сокращение дроби на некоторое число означает деление и числителя, и знаменателя этой дроби на это число. Если дробь сокращают последовательно на несколько чисел, то это равносильно однократному сокращению дроби на их произведение.

По условию задачи, дробь сначала сократили на 2, затем на 5, и потом на 11. Чтобы найти число, на которое можно было сократить эту дробь за один раз, нужно перемножить эти числа.

Вычислим произведение этих чисел:$2 \cdot 5 \cdot 11 = 10 \cdot 11 = 110$.

Таким образом, исходную дробь можно было сразу сократить на 110.

Ответ: 110

962. Найдите среди данных дробей равные между собой и запишите соответствующие равенства.

1) $ \frac{44}{56} $, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{5}{10} $, $ \frac{11}{14} $, $ \frac{16}{32} $

2) $ \frac{5}{4} $, $ \frac{81}{99} $, $ \frac{27}{33} $, $ \frac{20}{16} $, $ \frac{35}{28} $

1) Чтобы найти равные дроби, нужно привести каждую из них к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Выполним сокращение для каждой дроби:

$ \frac{44}{56} = \frac{44 \div 4}{56 \div 4} = \frac{11}{14} $

$ \frac{1}{2} $ - эта дробь уже является несократимой.

$ \frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $

$ \frac{11}{14} $ - эта дробь уже является несократимой.

$ \frac{16}{32} = \frac{16 \div 16}{32 \div 16} = \frac{1}{2} $

Сравнив полученные несократимые дроби, видим, что есть две группы равных дробей. Запишем соответствующие равенства:

$ \frac{44}{56} = \frac{11}{14} $

$ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{16}{32} $

Ответ: $ \frac{44}{56} = \frac{11}{14} $; $ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{16}{32} $.

2) Аналогично поступим со вторым набором дробей.

Выполним сокращение для каждой дроби:

$ \frac{5}{4} $ - эта дробь уже является несократимой.

$ \frac{81}{99} = \frac{81 \div 9}{99 \div 9} = \frac{9}{11} $

$ \frac{27}{33} = \frac{27 \div 3}{33 \div 3} = \frac{9}{11} $

$ \frac{20}{16} = \frac{20 \div 4}{16 \div 4} = \frac{5}{4} $

$ \frac{35}{28} = \frac{35 \div 7}{28 \div 7} = \frac{5}{4} $

Сгруппируем равные дроби и запишем равенства:

$ \frac{81}{99} = \frac{27}{33} $

$ \frac{5}{4} = \frac{20}{16} = \frac{35}{28} $

Ответ: $ \frac{81}{99} = \frac{27}{33} $; $ \frac{5}{4} = \frac{20}{16} = \frac{35}{28} $.

963. Найдите среди дробей $ \frac{24}{27} $, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{6}{60} $, $ \frac{8}{9} $, $ \frac{40}{45} $ равные между собой и запишите соответствующие равенства.

Для того чтобы найти равные дроби среди предложенных ($\frac{24}{27}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{6}{60}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{40}{45}$), необходимо привести их к несократимому виду. Это делается путем деления числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель (НОД).

Выполним сокращение для каждой дроби:

• $\frac{24}{27}$. Наибольший общий делитель для 24 и 27 это 3. Сокращаем дробь: $\frac{24 \div 3}{27 \div 3} = \frac{8}{9}$.
• $\frac{1}{10}$. Эта дробь уже является несократимой.
• $\frac{6}{60}$. Наибольший общий делитель для 6 и 60 это 6. Сокращаем дробь: $\frac{6 \div 6}{60 \div 6} = \frac{1}{10}$.
• $\frac{8}{9}$. Эта дробь уже является несократимой.
• $\frac{40}{45}$. Наибольший общий делитель для 40 и 45 это 5. Сокращаем дробь: $\frac{40 \div 5}{45 \div 5} = \frac{8}{9}$.

Сравнив полученные результаты, мы видим, что дроби $\frac{24}{27}$, $\frac{8}{9}$ и $\frac{40}{45}$ равны между собой, так как все они приводятся к виду $\frac{8}{9}$. Также равны между собой дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{6}{60}$, так как они приводятся к виду $\frac{1}{10}$.

Запишем соответствующие равенства:

$\frac{24}{27} = \frac{8}{9} = \frac{40}{45}$

$\frac{1}{10} = \frac{6}{60}$

Ответ: $\frac{24}{27} = \frac{8}{9} = \frac{40}{45}$; $\frac{1}{10} = \frac{6}{60}$.

964. Какую часть часа составляют:

1) 4 мин;

2) 10 мин;

3) 36 мин;

4) 54 мин;

5) 72 мин?

Для того чтобы найти, какую часть часа составляет определенное количество минут, нужно это количество минут разделить на 60 (так как в одном часе 60 минут) и сократить полученную дробь.

1) 4 мин

Составляем дробь для 4 минут и сокращаем её:

$ \frac{4}{60} = \frac{4 \div 4}{60 \div 4} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $.

2) 10 мин

Составляем дробь для 10 минут и сокращаем её:

$ \frac{10}{60} = \frac{10 \div 10}{60 \div 10} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

3) 36 мин

Составляем дробь для 36 минут и сокращаем её. Наибольший общий делитель для чисел 36 и 60 равен 12.

$ \frac{36}{60} = \frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $.

4) 54 мин

Составляем дробь для 54 минут и сокращаем её. Наибольший общий делитель для чисел 54 и 60 равен 6.

$ \frac{54}{60} = \frac{54 \div 6}{60 \div 6} = \frac{9}{10} $

Ответ: $ \frac{9}{10} $.

5) 72 мин

Составляем дробь для 72 минут и сокращаем её. Так как 72 минуты — это больше, чем один час, получится неправильная дробь. Наибольший общий делитель для чисел 72 и 60 равен 12.

$ \frac{72}{60} = \frac{72 \div 12}{60 \div 12} = \frac{6}{5} $

Эту дробь также можно представить в виде смешанного числа: $ 1\frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.

965. Какую часть суток составляют:

1) 3 ч;

2) 8 ч;

3) 12 ч;

4) 16 ч;

5) 21 ч?

Чтобы найти, какую часть суток составляет определённое количество часов, нужно это количество часов разделить на общее количество часов в сутках. В одних сутках 24 часа.

1) 3 ч

Составим дробь, где в числителе будет 3 часа, а в знаменателе – 24 часа (общее количество часов в сутках):
$ \frac{3}{24} $
Теперь сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для чисел 3 и 24 – это 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8} $
Следовательно, 3 часа составляют $ \frac{1}{8} $ часть суток.
Ответ: $ \frac{1}{8} $

2) 8 ч

Составим дробь, где в числителе 8, а в знаменателе 24:
$ \frac{8}{24} $
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 8 и 24 – это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$ \frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3} $
Следовательно, 8 часов составляют $ \frac{1}{3} $ часть суток.
Ответ: $ \frac{1}{3} $

3) 12 ч

Составим дробь, где в числителе 12, а в знаменателе 24:
$ \frac{12}{24} $
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 24 – это 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:
$ \frac{12 \div 12}{24 \div 12} = \frac{1}{2} $
Следовательно, 12 часов составляют $ \frac{1}{2} $ часть суток.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) 16 ч

Составим дробь, где в числителе 16, а в знаменателе 24:
$ \frac{16}{24} $
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 16 и 24 – это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$ \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $
Следовательно, 16 часов составляют $ \frac{2}{3} $ часть суток.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

5) 21 ч

Составим дробь, где в числителе 21, а в знаменателе 24:
$ \frac{21}{24} $
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 21 и 24 – это 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{21 \div 3}{24 \div 3} = \frac{7}{8} $
Следовательно, 21 час составляет $ \frac{7}{8} $ часть суток.
Ответ: $ \frac{7}{8} $

966. Какую часть развёрнутого угла составляет угол, градусная мера которого равна:

1) $4^\circ$;

2) $12^\circ$;

3) $27^\circ$;

4) $126^\circ$?

Градусная мера развёрнутого угла составляет $180^\circ$. Чтобы определить, какую часть от развёрнутого угла составляет заданный угол, необходимо найти отношение градусной меры заданного угла к $180^\circ$.

1) Для угла в $4^\circ$:
Найдём отношение $4^\circ$ к $180^\circ$ и сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 4 и 180 равен 4.
$\frac{4}{180} = \frac{4 \div 4}{180 \div 4} = \frac{1}{45}$
Ответ: $\frac{1}{45}$

2) Для угла в $12^\circ$:
Найдём отношение $12^\circ$ к $180^\circ$. Наибольший общий делитель для 12 и 180 равен 12.
$\frac{12}{180} = \frac{12 \div 12}{180 \div 12} = \frac{1}{15}$
Ответ: $\frac{1}{15}$

3) Для угла в $27^\circ$:
Найдём отношение $27^\circ$ к $180^\circ$. Наибольший общий делитель для 27 и 180 равен 9.
$\frac{27}{180} = \frac{27 \div 9}{180 \div 9} = \frac{3}{20}$
Ответ: $\frac{3}{20}$

4) Для угла в $126^\circ$:
Найдём отношение $126^\circ$ к $180^\circ$. Наибольший общий делитель для 126 и 180 равен 18.
$\frac{126}{180} = \frac{126 \div 18}{180 \div 18} = \frac{7}{10}$
Ответ: $\frac{7}{10}$

967. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна: 1) $2^\circ$; 2) $15^\circ$; 3) $36^\circ$; 4) $75^\circ$?

Прямой угол равен $90^\circ$. Чтобы найти, какую часть прямого угла составляет данный угол, необходимо разделить градусную меру этого угла на $90^\circ$ и, если возможно, сократить полученную дробь.

1) Найдём, какую часть от $90^\circ$ составляет угол в $2^\circ$.

Для этого составим отношение и сократим дробь: $ \frac{2}{90} = \frac{2 \div 2}{90 \div 2} = \frac{1}{45} $.

Ответ: $ \frac{1}{45} $.

2) Найдём, какую часть от $90^\circ$ составляет угол в $15^\circ$.

Составим отношение и сократим дробь: $ \frac{15}{90} = \frac{15 \div 15}{90 \div 15} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

3) Найдём, какую часть от $90^\circ$ составляет угол в $36^\circ$.

Составим отношение и сократим дробь (наибольший общий делитель для 36 и 90 равен 18): $ \frac{36}{90} = \frac{36 \div 18}{90 \div 18} = \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

4) Найдём, какую часть от $90^\circ$ составляет угол в $75^\circ$.

Составим отношение и сократим дробь (наибольший общий делитель для 75 и 90 равен 15): $ \frac{75}{90} = \frac{75 \div 15}{90 \div 15} = \frac{5}{6} $.

Ответ: $ \frac{5}{6} $.

968. Выполните действие и сократите результат:

1) $\frac{7}{12} + \frac{3}{12}$;

2) $\frac{32}{39} - \frac{6}{39}$;

3) $4\frac{17}{45} + 3\frac{13}{45}$;

4) $9\frac{59}{63} - 5\frac{24}{63}$.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7+3}{12} = \frac{10}{12}$
Далее, сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. НОД(10, 12) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{32}{39} - \frac{6}{39} = \frac{32-6}{39} = \frac{26}{39}$
Сократим результат. НОД(26, 39) = 13. Разделим числитель и знаменатель на 13:
$\frac{26}{39} = \frac{26 \div 13}{39 \div 13} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) При сложении смешанных чисел складывают отдельно их целые части и отдельно их дробные части.
$4\frac{17}{45} + 3\frac{13}{45} = (4+3) + (\frac{17}{45} + \frac{13}{45}) = 7 + \frac{17+13}{45} = 7 + \frac{30}{45} = 7\frac{30}{45}$
Теперь сократим дробную часть. НОД(30, 45) = 15. Разделим числитель и знаменатель дроби на 15:
$\frac{30}{45} = \frac{30 \div 15}{45 \div 15} = \frac{2}{3}$
Таким образом, итоговый результат: $7\frac{2}{3}$.
Ответ: $7\frac{2}{3}$

4) При вычитании смешанных чисел вычитают отдельно их целые части и отдельно их дробные части (если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого).
$9\frac{59}{63} - 5\frac{24}{63} = (9-5) + (\frac{59}{63} - \frac{24}{63}) = 4 + \frac{59-24}{63} = 4 + \frac{35}{63} = 4\frac{35}{63}$
Сократим дробную часть. НОД(35, 63) = 7. Разделим числитель и знаменатель дроби на 7:
$\frac{35}{63} = \frac{35 \div 7}{63 \div 7} = \frac{5}{9}$
Таким образом, итоговый результат: $4\frac{5}{9}$.
Ответ: $4\frac{5}{9}$

969. Выполните действие и сократите результат:

1) $\frac{16}{63} + \frac{12}{63}$;

2) $\frac{53}{85} - \frac{19}{85}$;

3) $8\frac{34}{81} + 2\frac{38}{81}$;

4) $3\frac{49}{56} - 3\frac{17}{56}$.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. После этого сократим полученную дробь.

$\frac{16}{63} + \frac{12}{63} = \frac{16+12}{63} = \frac{28}{63}$

Чтобы сократить дробь $\frac{28}{63}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 28 и знаменателя 63. Этот делитель равен 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{28 \div 7}{63 \div 7} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Затем сократим результат.

$\frac{53}{85} - \frac{19}{85} = \frac{53-19}{85} = \frac{34}{85}$

Сократим дробь $\frac{34}{85}$. НОД для 34 и 85 равен 17. Разделим числитель и знаменатель на 17:

$\frac{34 \div 17}{85 \div 17} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

3) При сложении смешанных чисел нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные части. Затем, если нужно, сократить дробную часть.

$8\frac{34}{81} + 2\frac{38}{81} = (8+2) + (\frac{34}{81} + \frac{38}{81}) = 10 + \frac{34+38}{81} = 10\frac{72}{81}$

Сократим дробную часть $\frac{72}{81}$. НОД для 72 и 81 равен 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{72 \div 9}{81 \div 9} = \frac{8}{9}$

Таким образом, результат равен $10\frac{8}{9}$.

Ответ: $10\frac{8}{9}$.

4) При вычитании смешанных чисел с одинаковыми знаменателями нужно отдельно вычесть их целые части и отдельно — дробные части.

$3\frac{49}{56} - 3\frac{17}{56} = (3-3) + (\frac{49}{56} - \frac{17}{56}) = 0 + \frac{49-17}{56} = \frac{32}{56}$

Сократим полученную дробь $\frac{32}{56}$. НОД для 32 и 56 равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{32 \div 8}{56 \div 8} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$.

970. Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.

Для решения этой задачи необходимо найти все правильные несократимые дроби, знаменатель которых равен 18.

1. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае знаменатель равен 18, значит, числитель $a$ должен быть натуральным числом, удовлетворяющим условию $1 \le a < 18$. Таким образом, возможные значения для числителя — это целые числа от 1 до 17.

2. Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы дробь $\frac{a}{18}$ была несократимой, число $a$ не должно иметь общих простых делителей с числом 18.

Сначала найдем простые множители знаменателя 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Простыми делителями числа 18 являются 2 и 3. Следовательно, чтобы дробь была несократимой, ее числитель $a$ не должен делиться ни на 2, ни на 3.

Теперь необходимо выбрать из всех возможных числителей от 1 до 17 те, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Возможные числители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

Исключим из этого списка все числа, которые делятся на 2 (четные): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Остаются: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Теперь из оставшихся чисел исключим те, которые делятся на 3: 3, 9, 15. Остаются: 1, 5, 7, 11, 13, 17.

Итак, мы нашли все возможные числители. Теперь запишем соответствующие дроби.

Ответ: $\frac{1}{18}, \frac{5}{18}, \frac{7}{18}, \frac{11}{18}, \frac{13}{18}, \frac{17}{18}$.

971. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.

Чтобы найти все неправильные несократимые дроби с числителем 20, нужно определить все возможные знаменатели, удовлетворяющие двум условиям.

1. Условие неправильной дроби.
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть знаменатель равен $n$. Тогда для дроби $\frac{20}{n}$ должно выполняться условие $20 \ge n$. Также знаменатель должен быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$.
Следовательно, знаменатель $n$ может быть любым натуральным числом от 1 до 20 включительно.

2. Условие несократимой дроби.
Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В нашем случае должно выполняться условие НОД$(20, n) = 1$.

Чтобы найти числа, взаимно простые с 20, разложим 20 на простые множители:
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Простые делители числа 20 — это 2 и 5. Значит, чтобы дробь $\frac{20}{n}$ была несократимой, знаменатель $n$ не должен делиться ни на 2 (т.е. быть нечетным), ни на 5.

Теперь объединим оба условия: нам нужно найти все натуральные числа $n$ в диапазоне от 1 до 20, которые не делятся ни на 2, ни на 5.

Перечислим все числа от 1 до 20 и вычеркнем те, которые делятся на 2 или на 5:
1 (подходит)
2 (делится на 2)
3 (подходит)
4 (делится на 2)
5 (делится на 5)
6 (делится на 2)
7 (подходит)
8 (делится на 2)
9 (подходит)
10 (делится на 2 и 5)
11 (подходит)
12 (делится на 2)
13 (подходит)
14 (делится на 2)
15 (делится на 5)
16 (делится на 2)
17 (подходит)
18 (делится на 2)
19 (подходит)
20 (делится на 2 и 5)

Подходящие знаменатели: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Запишем соответствующие дроби: $\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}$.

Ответ: $\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}$.

972. Сократите:

1) $\frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 6}$;

2) $\frac{8 \cdot 13}{39 \cdot 2}$;

3) $\frac{3 \cdot 38}{19 \cdot 27}$;

4) $\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}$;

5) $\frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 12}$;

6) $\frac{3 \cdot 16 - 8 \cdot 3}{27}$;

7) $\frac{9 \cdot 13 + 9 \cdot 2}{54 \cdot 13}$;

8) $\frac{27 \cdot 15 - 7 \cdot 27}{9 \cdot 15 - 9 \cdot 11}$;

9) $\frac{24 \cdot 2 + 6 \cdot 24}{60 \cdot 7 - 5 \cdot 60}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 6}$, разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители.
$4 = 2 \cdot 2$
$25 = 5 \cdot 5$
$6 = 2 \cdot 3$
Подставим разложения в дробь:
$\frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 6} = \frac{(2 \cdot 2) \cdot 5}{(5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)}$
Сократим общие множители (один множитель 2 и один множитель 5) в числителе и знаменателе:
$\frac{2}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

2) Для сокращения дроби $\frac{8 \cdot 13}{39 \cdot 2}$ заметим, что $39 = 3 \cdot 13$.
Подставим это в знаменатель:
$\frac{8 \cdot 13}{3 \cdot 13 \cdot 2}$
Сократим общий множитель 13:
$\frac{8}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}$
Теперь сократим дробь $\frac{8}{6}$ на 2:
$\frac{8 \div 2}{6 \div 2} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

3) В дроби $\frac{3 \cdot 38}{19 \cdot 27}$ разложим числа 38 и 27 на множители.
$38 = 2 \cdot 19$
$27 = 3 \cdot 9$
Подставим в дробь:
$\frac{3 \cdot (2 \cdot 19)}{19 \cdot (3 \cdot 9)}$
Сократим общие множители 3 и 19:
$\frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

4) В дроби $\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}$ есть одинаковые множители в числителе и знаменателе.
Сократим общие множители 4 и 5:
$\frac{2 \cdot 3}{6 \cdot 7}$
Поскольку $2 \cdot 3 = 6$, дробь принимает вид:
$\frac{6}{6 \cdot 7}$
Сократим на 6:
$\frac{1}{7}$
Ответ: $\frac{1}{7}$

5) В дроби $\frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 12}$ сократим общие множители 7 и 9:
$\frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{11 \cdot 12}$
Теперь можно сократить 6 и 12 на 6 ($12 = 2 \cdot 6$):
$\frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{11 \cdot (2 \cdot 6)} = \frac{8 \cdot 10}{11 \cdot 2}$
Сократим 8 и 2 на 2:
$\frac{4 \cdot 10}{11} = \frac{40}{11}$
Ответ: $\frac{40}{11}$

6) В числителе дроби $\frac{3 \cdot 16 - 8 \cdot 3}{27}$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$\frac{3 \cdot (16 - 8)}{27} = \frac{3 \cdot 8}{27}$
Сократим 3 и 27 на 3 ($27 = 9 \cdot 3$):
$\frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

7) В числителе дроби $\frac{9 \cdot 13 + 9 \cdot 2}{54 \cdot 13}$ вынесем общий множитель 9 за скобки:
$\frac{9 \cdot (13 + 2)}{54 \cdot 13} = \frac{9 \cdot 15}{54 \cdot 13}$
Сократим 9 и 54 на 9 ($54 = 6 \cdot 9$):
$\frac{15}{6 \cdot 13}$
Теперь сократим 15 и 6 на 3 ($15 = 5 \cdot 3$, $6 = 2 \cdot 3$):
$\frac{5 \cdot 3}{(2 \cdot 3) \cdot 13} = \frac{5}{2 \cdot 13} = \frac{5}{26}$
Ответ: $\frac{5}{26}$

8) В дроби $\frac{27 \cdot 15 - 7 \cdot 27}{9 \cdot 15 - 9 \cdot 11}$ вынесем общие множители за скобки и в числителе, и в знаменателе.
Числитель: $27 \cdot (15 - 7) = 27 \cdot 8$
Знаменатель: $9 \cdot (15 - 11) = 9 \cdot 4$
Дробь примет вид:
$\frac{27 \cdot 8}{9 \cdot 4}$
Сократим 27 и 9 на 9, а 8 и 4 на 4:
$\frac{(27 \div 9) \cdot (8 \div 4)}{(9 \div 9) \cdot (4 \div 4)} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$
Ответ: $6$

9) В дроби $\frac{24 \cdot 2 + 6 \cdot 24}{60 \cdot 7 - 5 \cdot 60}$ вынесем общие множители за скобки.
Числитель: $24 \cdot (2 + 6) = 24 \cdot 8$
Знаменатель: $60 \cdot (7 - 5) = 60 \cdot 2$
Дробь примет вид:
$\frac{24 \cdot 8}{60 \cdot 2}$
Сократим 8 и 2 на 2:
$\frac{24 \cdot 4}{60}$
Сократим 60 и 4 на 4 ($60 = 15 \cdot 4$):
$\frac{24}{15}$
Сократим 24 и 15 на 3 ($24 = 8 \cdot 3$, $15 = 5 \cdot 3$):
$\frac{8}{5}$
Ответ: $\frac{8}{5}$

973. Сократите:

1) $\frac{12 \cdot 21}{35 \cdot 15}$;

2) $\frac{72 \cdot 11}{33 \cdot 30}$;

3) $\frac{25 \cdot 17 \cdot 44}{51 \cdot 8 \cdot 75}$;

4) $\frac{8 \cdot 3 + 8 \cdot 23}{3 \cdot 16}$;

5) $\frac{17 \cdot 48}{17 \cdot 16 - 9 \cdot 16}$;

6) $\frac{14 \cdot 5 - 14 \cdot 3}{21 \cdot 9 + 21 \cdot 3}$.

1) $\frac{12 \cdot 21}{35 \cdot 15}$
Для сокращения дроби разложим числа в числителе и знаменателе на множители и сократим общие.
$12 = 3 \cdot 4$
$21 = 3 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$
$15 = 3 \cdot 5$
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 7)}{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (3 и 7):
$\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{12}{25}$
Ответ: $\frac{12}{25}$.

2) $\frac{72 \cdot 11}{33 \cdot 30}$
Сократим дробь пошагово, находя общие делители у чисел в числителе и знаменателе.
Сократим 11 и 33 на 11:
$\frac{72 \cdot 1}{3 \cdot 30} = \frac{72}{3 \cdot 30}$
Сократим 72 и 3 на 3:
$\frac{24}{30}$
Сократим 24 и 30 на 6:
$\frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$.

3) $\frac{25 \cdot 17 \cdot 44}{51 \cdot 8 \cdot 75}$
Сократим дробь пошагово.
Сократим 25 и 75 на 25:
$\frac{1 \cdot 17 \cdot 44}{51 \cdot 8 \cdot 3}$
Сократим 17 и 51 на 17:
$\frac{1 \cdot 1 \cdot 44}{3 \cdot 8 \cdot 3}$
Сократим 44 и 8 на 4:
$\frac{11}{3 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{11}{18}$
Ответ: $\frac{11}{18}$.

4) $\frac{8 \cdot 3 + 8 \cdot 23}{3 \cdot 16}$
В числителе вынесем общий множитель 8 за скобки:
$8 \cdot 3 + 8 \cdot 23 = 8 \cdot (3 + 23) = 8 \cdot 26$
Получаем дробь:
$\frac{8 \cdot 26}{3 \cdot 16}$
Сократим 8 и 16 на 8:
$\frac{1 \cdot 26}{3 \cdot 2} = \frac{26}{6}$
Сократим 26 и 6 на 2:
$\frac{13}{3}$
Ответ: $\frac{13}{3}$.

5) $\frac{17 \cdot 48}{17 \cdot 16 - 9 \cdot 16}$
В знаменателе вынесем общий множитель 16 за скобки:
$17 \cdot 16 - 9 \cdot 16 = (17 - 9) \cdot 16 = 8 \cdot 16$
Получаем дробь:
$\frac{17 \cdot 48}{8 \cdot 16}$
Сократим 48 и 16 на 16:
$\frac{17 \cdot 3}{8 \cdot 1} = \frac{51}{8}$
Ответ: $\frac{51}{8}$.

6) $\frac{14 \cdot 5 - 14 \cdot 3}{21 \cdot 9 + 21 \cdot 3}$
В числителе вынесем за скобки общий множитель 14, а в знаменателе — общий множитель 21:
Числитель: $14 \cdot (5 - 3) = 14 \cdot 2$
Знаменатель: $21 \cdot (9 + 3) = 21 \cdot 12$
Получаем дробь:
$\frac{14 \cdot 2}{21 \cdot 12}$
Сократим 14 и 21 на 7:
$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 12} = \frac{4}{36}$
Сократим 4 и 36 на 4:
$\frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$.