Страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

984. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{7}{12} $;

2) $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{15} $;

3) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{11}{12} $;

4) $ \frac{3}{10} $, $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{3}{4} $.

1) Даны дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{7}{12}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 9 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(9, 12) является произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей встречающейся степени:

НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель равен 36. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый.

Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель равен $36 \div 9 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$

Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель равен $36 \div 12 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$

Ответ: $\frac{16}{36}$ и $\frac{21}{36}$.

2) Даны дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{15}$.

Найдем НОК знаменателей 8 и 15.

Разложим знаменатели на простые множители:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$15 = 3 \cdot 5$

Числа 8 и 15 не имеют общих простых множителей, поэтому они являются взаимно простыми. Их НОК равен их произведению.

НОК(8, 15) = $8 \cdot 15 = 120$.

Наименьший общий знаменатель равен 120. Найдем дополнительные множители.

Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $120 \div 8 = 15$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{45}{120}$

Для дроби $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель равен $120 \div 15 = 8$.

$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{32}{120}$

Ответ: $\frac{45}{120}$ и $\frac{32}{120}$.

3) Даны дроби $\frac{2}{15}$ и $\frac{11}{12}$.

Найдем НОК знаменателей 15 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(15, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Наименьший общий знаменатель равен 60. Найдем дополнительные множители.

Для дроби $\frac{2}{15}$ дополнительный множитель равен $60 \div 15 = 4$.

$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}$

Для дроби $\frac{11}{12}$ дополнительный множитель равен $60 \div 12 = 5$.

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$

Ответ: $\frac{8}{60}$ и $\frac{55}{60}$.

4) Даны дроби $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{8}$ и $\frac{3}{4}$.

Найдем НОК знаменателей 10, 8 и 4.

Разложим знаменатели на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

НОК(10, 8, 4) = $2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$.

Наименьший общий знаменатель равен 40. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для дроби $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель равен $40 \div 10 = 4$.

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{12}{40}$

Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $40 \div 8 = 5$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$

Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $40 \div 4 = 10$.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{30}{40}$

Ответ: $\frac{12}{40}$, $\frac{15}{40}$ и $\frac{30}{40}$.

985. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{12} $;

2) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $;

3) $ \frac{4}{13} $ и $ \frac{3}{4} $;

4) $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $.

1) Чтобы привести дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{12} $ к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 8 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 $
$ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $
Для нахождения НОК возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $ НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 $.

Наименьший общий знаменатель равен 24. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый:
Для дроби $ \frac{3}{8} $ дополнительный множитель: $ 24 \div 8 = 3 $.
Для дроби $ \frac{5}{12} $ дополнительный множитель: $ 24 \div 12 = 2 $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $
$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $

Ответ: $ \frac{9}{24} $ и $ \frac{10}{24} $.

2) Приведем дроби $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $ к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 15 и 10.

Разложим на простые множители:
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ НОК(15, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.

Дополнительные множители:
Для $ \frac{2}{15} $: $ 30 \div 15 = 2 $.
Для $ \frac{3}{10} $: $ 30 \div 10 = 3 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30} $
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $

Ответ: $ \frac{4}{30} $ и $ \frac{9}{30} $.

3) Приведем дроби $ \frac{4}{13} $ и $ \frac{3}{4} $ к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 13 и 4.

Числа 13 и 4 являются взаимно простыми (у них нет общих делителей, кроме 1), так как 13 — простое число, а 4 на 13 не делится. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.
$ НОК(13, 4) = 13 \cdot 4 = 52 $.

Дополнительные множители:
Для $ \frac{4}{13} $: $ 52 \div 13 = 4 $.
Для $ \frac{3}{4} $: $ 52 \div 4 = 13 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 52:
$ \frac{4}{13} = \frac{4 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{16}{52} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 13}{4 \cdot 13} = \frac{39}{52} $

Ответ: $ \frac{16}{52} $ и $ \frac{39}{52} $.

4) Приведем дроби $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $ к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 9, 4 и 6.

Разложим на простые множители:
$ 9 = 3^2 $
$ 4 = 2^2 $
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ НОК(9, 4, 6) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $.

Дополнительные множители:
Для $ \frac{1}{9} $: $ 36 \div 9 = 4 $.
Для $ \frac{1}{4} $: $ 36 \div 4 = 9 $.
Для $ \frac{1}{6} $: $ 36 \div 6 = 6 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$ \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{36} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6}{36} $

Ответ: $ \frac{4}{36} $, $ \frac{9}{36} $ и $ \frac{6}{36} $.

986. Сравните дроби:

1) $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{7}{9} $;

2) $ \frac{11}{20} $ и $ \frac{17}{30} $;

3) $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{1}{6} $;

4) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{3}{4} $;

5) $ \frac{8}{38} $ и $ \frac{4}{19} $;

6) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{8}{11} $;

7) $ \frac{8}{25} $ и $ \frac{7}{20} $;

8) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{4}{9} $.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{9}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 9 является их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 7 и 9 взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: $7 \times 9 = 63$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 63:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 7}{9 \times 7} = \frac{49}{63}$

Теперь сравним полученные дроби. Так как у них одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $45 < 49$.

Следовательно, $\frac{45}{63} < \frac{49}{63}$, а значит $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

2) Сравним дроби $\frac{11}{20}$ и $\frac{17}{30}$. Найдем наименьший общий знаменатель, который равен НОК(20, 30). Разложим числа на простые множители: $20 = 2^2 \times 5$, $30 = 2 \times 3 \times 5$. НОК(20, 30) = $2^2 \times 3 \times 5 = 60$.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$\frac{11}{20} = \frac{11 \times 3}{20 \times 3} = \frac{33}{60}$

$\frac{17}{30} = \frac{17 \times 2}{30 \times 2} = \frac{34}{60}$

Сравниваем числители: $33 < 34$. Значит, $\frac{33}{60} < \frac{34}{60}$.

Ответ: $\frac{11}{20} < \frac{17}{30}$.

3) Сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{6}$. Найдем НОК(9, 6). $9 = 3^2$, $6 = 2 \times 3$. НОК(9, 6) = $2 \times 3^2 = 18$.

Приведем дроби к знаменателю 18:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18}$

Сравниваем числители: $4 > 3$. Значит, $\frac{4}{18} > \frac{3}{18}$.

Ответ: $\frac{2}{9} > \frac{1}{6}$.

4) Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{4}$. Найдем НОК(6, 4). $6 = 2 \times 3$, $4 = 2^2$. НОК(6, 4) = $2^2 \times 3 = 12$.

Приведем дроби к знаменателю 12:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$

Сравниваем числители: $10 > 9$. Значит, $\frac{10}{12} > \frac{9}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$.

5) Сравним дроби $\frac{8}{38}$ и $\frac{4}{19}$. Общий знаменатель - 38, так как 38 делится на 19 ($38 = 19 \times 2$).

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Приведем вторую дробь к знаменателю 38:

$\frac{4}{19} = \frac{4 \times 2}{19 \times 2} = \frac{8}{38}$

Теперь сравним дроби $\frac{8}{38}$ и $\frac{8}{38}$. Так как их числители и знаменатели равны, то и сами дроби равны.

Ответ: $\frac{8}{38} = \frac{4}{19}$.

6) Сравним дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{8}{11}$. Так как 9 и 11 взаимно простые, их НОК равно их произведению: $9 \times 11 = 99$.

Приведем дроби к знаменателю 99:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 11}{9 \times 11} = \frac{77}{99}$

$\frac{8}{11} = \frac{8 \times 9}{11 \times 9} = \frac{72}{99}$

Сравниваем числители: $77 > 72$. Значит, $\frac{77}{99} > \frac{72}{99}$.

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{8}{11}$.

7) Сравним дроби $\frac{8}{25}$ и $\frac{7}{20}$. Найдем НОК(25, 20). $25 = 5^2$, $20 = 2^2 \times 5$. НОК(25, 20) = $2^2 \times 5^2 = 100$.

Приведем дроби к знаменателю 100:

$\frac{8}{25} = \frac{8 \times 4}{25 \times 4} = \frac{32}{100}$

$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100}$

Сравниваем числители: $32 < 35$. Значит, $\frac{32}{100} < \frac{35}{100}$.

Ответ: $\frac{8}{25} < \frac{7}{20}$.

8) Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{9}$. Найдем НОК(12, 9). $12 = 2^2 \times 3$, $9 = 3^2$. НОК(12, 9) = $2^2 \times 3^2 = 36$.

Приведем дроби к знаменателю 36:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{16}{36}$

Сравниваем числители: $15 < 16$. Значит, $\frac{15}{36} < \frac{16}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{12} < \frac{4}{9}$.

987. Сравните дроби:

1) $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{11}$;

2) $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$;

3) $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$;

4) $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$;

5) $\frac{3}{7}$ и $\frac{9}{21}$;

6) $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$;

7) $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$;

8) $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{11}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 11 равен их произведению, так как они взаимно простые: $6 \cdot 11 = 66$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 11, а второй дроби — на 6:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{55}{66}$
$\frac{7}{11} = \frac{7 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \frac{42}{66}$
Теперь сравним числители полученных дробей. Так как $55 > 42$, то и $\frac{55}{66} > \frac{42}{66}$.
Следовательно, $\frac{5}{6} > \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{7}{11}$.

2) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$, обратим внимание, что у них одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Это объясняется тем, что одно и то же количество (в данном случае 7) делится на разное число частей. Чем меньше частей, на которые делят, тем больше размер каждой части.
Поскольку знаменатель $13$ меньше знаменателя $16$, то $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$.

3) Сравним дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 8 и 6 равно 24 (НОК(8, 6) = 24).
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.
Для $\frac{1}{6}$ дополнительный множитель: $24 \div 6 = 4$.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$
Сравниваем числители: $9 > 4$.
Значит, $\frac{9}{24} > \frac{4}{24}$, следовательно $\frac{3}{8} > \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{3}{8} > \frac{1}{6}$.

4) Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 10.
НОК(8, 10) = 40.
Приведем дроби к знаменателю 40:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{28}{40}$
Так как $25 < 28$, то $\frac{25}{40} < \frac{28}{40}$.
Следовательно, $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.

5) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{9}{21}$. Заметим, что вторую дробь можно сократить. Числитель и знаменатель дроби $\frac{9}{21}$ имеют общий делитель 3.
$\frac{9}{21} = \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac{3}{7}$
Теперь мы сравниваем дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{7}$. Очевидно, что они равны.
Ответ: $\frac{3}{7} = \frac{9}{21}$.

6) Сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{8}$. Приведем их к общему знаменателю. Знаменатели 5 и 8 являются взаимно простыми числами, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $5 \cdot 8 = 40$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$
Сравнивая числители, получаем $24 < 25$.
Значит, $\frac{24}{40} < \frac{25}{40}$, и следовательно $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$.

7) Сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. Для этого разложим числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}$
Так как $21 < 22$, то $\frac{21}{36} < \frac{22}{36}$.
Следовательно, $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.
Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.

8) Сравним дроби $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 21 и 14. Разложим числа на простые множители:
$21 = 3 \cdot 7$
$14 = 2 \cdot 7$
НОК(21, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$\frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{20}{42}$
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$
Так как $20 < 27$, то $\frac{20}{42} < \frac{27}{42}$.
Следовательно, $\frac{10}{21} < \frac{9}{14}$.
Ответ: $\frac{10}{21} < \frac{9}{14}$.

988. Укажите какую-либо дробь, которая меньше $\frac{1}{2}$ и знаменатель которой равен:

1) 6;

2) 10;

3) 22.

1) Чтобы найти дробь со знаменателем 6, которая меньше, чем $\frac{1}{2}$, нам нужно найти такой числитель $x$, чтобы выполнялось неравенство $\frac{x}{6} < \frac{1}{2}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю 6. $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$. Теперь неравенство выглядит так: $\frac{x}{6} < \frac{3}{6}$. Из этого следует, что числитель $x$ должен быть меньше 3. Так как числитель дроби должен быть натуральным числом, мы можем выбрать любое целое число от 1 до 2. Например, $x=1$. Таким образом, одна из возможных дробей — $\frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Нам нужно найти дробь со знаменателем 10, которая меньше, чем $\frac{1}{2}$. Ищем такой числитель $x$, чтобы выполнялось неравенство $\frac{x}{10} < \frac{1}{2}$. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 10: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$. Неравенство принимает вид: $\frac{x}{10} < \frac{5}{10}$. Следовательно, числитель $x$ должен быть меньше 5. Мы можем выбрать любое натуральное число от 1 до 4. Например, $x=3$. Таким образом, одна из возможных дробей — $\frac{3}{10}$. Ответ: $\frac{3}{10}$

3) Нам нужно найти дробь со знаменателем 22, которая меньше, чем $\frac{1}{2}$. Ищем такой числитель $x$, чтобы выполнялось неравенство $\frac{x}{22} < \frac{1}{2}$. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 22: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 11}{2 \cdot 11} = \frac{11}{22}$. Неравенство принимает вид: $\frac{x}{22} < \frac{11}{22}$. Это означает, что числитель $x$ должен быть меньше 11. Мы можем выбрать любое натуральное число от 1 до 10. Например, $x=10$. Таким образом, одна из возможных дробей — $\frac{10}{22}$. Ответ: $\frac{10}{22}$

989. Укажите какую-либо дробь, которая больше $ \frac{1}{6} $ и знаменатель которой равен:

1) 12;

2) 30;

3) 66.

Чтобы найти дробь, которая больше $\frac{1}{6}$ с заданным знаменателем, нужно привести дробь $\frac{1}{6}$ к этому общему знаменателю. Для этого нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый, и умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби. Затем нужно выбрать для искомой дроби такой числитель, который будет больше нового числителя дроби $\frac{1}{6}$.

1) Укажите дробь со знаменателем 12, которая больше $\frac{1}{6}$.

Сначала приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 12. Найдем дополнительный множитель: $12 \div 6 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{6}$ на 2:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$

Теперь нам нужно найти дробь $\frac{x}{12}$, которая будет больше $\frac{2}{12}$. Для этого числитель $x$ должен быть больше 2. Возьмем любое целое число больше 2, например, 3.

Искомая дробь — $\frac{3}{12}$. Проверим: $\frac{3}{12} > \frac{2}{12}$, так как $3 > 2$.

Ответ: $\frac{3}{12}$ (или любая другая дробь $\frac{x}{12}$, где $x$ — целое число больше 2).

2) Укажите дробь со знаменателем 30, которая больше $\frac{1}{6}$.

Приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 30. Дополнительный множитель: $30 \div 6 = 5$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{6}$ на 5:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$

Нам нужна дробь $\frac{x}{30}$, которая больше $\frac{5}{30}$. Значит, числитель $x$ должен быть больше 5. Возьмем, например, $x=6$.

Искомая дробь — $\frac{6}{30}$. Проверим: $\frac{6}{30} > \frac{5}{30}$, так как $6 > 5$.

Ответ: $\frac{6}{30}$ (или любая другая дробь $\frac{x}{30}$, где $x$ — целое число больше 5).

3) Укажите дробь со знаменателем 66, которая больше $\frac{1}{6}$.

Приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 66. Дополнительный множитель: $66 \div 6 = 11$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{6}$ на 11:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 11}{6 \times 11} = \frac{11}{66}$

Нам нужна дробь $\frac{x}{66}$, которая больше $\frac{11}{66}$. Значит, числитель $x$ должен быть больше 11. Возьмем, например, $x=12$.

Искомая дробь — $\frac{12}{66}$. Проверим: $\frac{12}{66} > \frac{11}{66}$, так как $12 > 11$.

Ответ: $\frac{12}{66}$ (или любая другая дробь $\frac{x}{66}$, где $x$ — целое число больше 11).

990. Расположите в порядке возрастания дроби:

1) $ \frac{7}{12}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \frac{5}{6} $

2) $ \frac{3}{4}, \frac{8}{15}, \frac{5}{12}, \frac{9}{20} $

1) Чтобы расположить дроби $\frac{7}{12}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{6}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12, 8, 4 и 6.

Разложим знаменатели на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

НОК(12, 8, 4, 6) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 24, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сравнить их по числителям. Расположим числители в порядке возрастания: $6 < 9 < 14 < 20$.

Это соответствует следующему порядку дробей: $\frac{6}{24} < \frac{9}{24} < \frac{14}{24} < \frac{20}{24}$.

Вернемся к исходным дробям:

$\frac{1}{4} < \frac{3}{8} < \frac{7}{12} < \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{7}{12}, \frac{5}{6}$.

2) Чтобы расположить дроби $\frac{3}{4}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{9}{20}$ в порядке возрастания, приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 4, 15, 12 и 20.

Разложим знаменатели на простые множители:

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

$15 = 3 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

НОК(4, 15, 12, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 60:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$

$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$

$\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}$

Сравним дроби по их числителям и расположим их в порядке возрастания: $25 < 27 < 32 < 45$.

Соответствующий порядок дробей: $\frac{25}{60} < \frac{27}{60} < \frac{32}{60} < \frac{45}{60}$.

Вернемся к исходным дробям:

$\frac{5}{12} < \frac{9}{20} < \frac{8}{15} < \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{12}, \frac{9}{20}, \frac{8}{15}, \frac{3}{4}$.

991. (Домашняя практическая работа) Расположите в порядке убывания дроби: $\frac{28}{45}$ К, $\frac{5}{9}$ О, $\frac{7}{10}$ У, $\frac{13}{18}$ Ж, $\frac{8}{15}$ В. Буквы, соответствующие данным дробям, образуют фамилию выдающегося советского полководца, четырежды Героя Советского Союза. Найдите в Интернете сведе- ния о его вкладе в победу в Великой Отечествен- ной войне.

1. Расположение дробей в порядке убывания

Чтобы расположить дроби в порядке убывания, необходимо привести их к общему знаменателю. Для дробей $\frac{28}{45}$ (К), $\frac{5}{9}$ (О), $\frac{7}{10}$ (У), $\frac{13}{18}$ (Ж), $\frac{8}{15}$ (В) найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 45, 9, 10, 18, 15.

Разложим знаменатели на простые множители:

• $45 = 3^2 \cdot 5$
• $9 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $18 = 2 \cdot 3^2$
• $15 = 3 \cdot 5$

НОК будет произведением всех простых множителей в их наивысших степенях: $НОК(45, 9, 10, 18, 15) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 90:

• Ж: $\frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90}$
• У: $\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{63}{90}$
• К: $\frac{28}{45} = \frac{28 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{56}{90}$
• О: $\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{50}{90}$
• В: $\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{48}{90}$

Теперь сравним полученные дроби по их числителям и расположим в порядке убывания: $\frac{65}{90} > \frac{63}{90} > \frac{56}{90} > \frac{50}{90} > \frac{48}{90}$.

Это соответствует следующему порядку исходных дробей и соответствующих им букв: $\frac{13}{18}$ (Ж) > $\frac{7}{10}$ (У) > $\frac{28}{45}$ (К) > $\frac{5}{9}$ (О) > $\frac{8}{15}$ (В).

Таким образом, буквы образуют фамилию ЖУКОВ.
Ответ: ЖУКОВ.

2. Сведения о вкладе Г. К. Жукова в победу в Великой Отечественной войне

Георгий Константинович Жуков (1896–1974) — выдающийся советский полководец, Маршал Советского Союза, четырежды Герой Советского Союза. Его роль в достижении победы в Великой Отечественной войне огромна, за что его прозвали «Маршалом Победы».

Ключевые моменты его вклада:

• Оборона Ленинграда (1941): В критический момент был направлен в Ленинград, где сумел стабилизировать фронт и не допустить захвата города немецкими войсками.
• Битва за Москву (1941-1942): Командуя Западным фронтом, сыграл решающую роль в организации обороны столицы и последующего контрнаступления, которое отбросило немцев от Москвы и развеяло миф о непобедимости вермахта.
• Сталинградская битва (1942-1943): Как представитель Ставки Верховного Главнокомандования, координировал действия фронтов в ходе операции «Уран» по окружению и разгрому 6-й армии Паулюса, что стало коренным переломом в войне.
• Курская битва (1943): Координировал действия Воронежского и Степного фронтов, участвовал в планировании оборонительных и наступательных действий, приведших к окончательному перехвату стратегической инициативы Красной Армией.
• Операция «Багратион» (1944): Один из главных организаторов операции по освобождению Белоруссии, в результате которой была разгромлена немецкая группа армий «Центр».
• Берлинская операция (1945): Командуя 1-м Белорусским фронтом, осуществил штурм Берлина, завершившийся полным разгромом нацистской Германии.

8 мая 1945 года именно Г. К. Жуков от имени советского Верховного Главнокомандования принял безоговорочную капитуляцию вооружённых сил нацистской Германии. 24 июня 1945 года он принимал Парад Победы на Красной площади в Москве. Его полководческий талант, жёсткость, воля и умение принимать ответственные решения в самых сложных ситуациях сделали его одним из главных творцов Победы.
Ответ: Георгий Константинович Жуков — один из ключевых полководцев Великой Отечественной войны, руководивший войсками в важнейших сражениях, которые определили исход войны, и принявший капитуляцию нацистской Германии.

992. Расстояние между двумя городами легковой автомобиль преодолевает за 4 ч, а грузовой — за 7 ч. Какой автомобиль проедет большее расстояние: легковой за 3 ч или грузовой за 5 ч?

Чтобы определить, какой автомобиль проедет большее расстояние, необходимо рассчитать, какую долю от всего пути между городами проедет каждый из них за указанное время, и затем сравнить эти доли.

Пусть все расстояние между городами равно $S$.

Скорость легкового автомобиля составляет $v_{л} = \frac{S}{4}$ (расстояния в час), так как он преодолевает весь путь за 4 часа.

Скорость грузового автомобиля составляет $v_{г} = \frac{S}{7}$ (расстояния в час), так как он преодолевает весь путь за 7 часов.

легковой за 3 ч

Вычислим расстояние, которое проедет легковой автомобиль за 3 часа, умножив его скорость на время:
$S_{л} = v_{л} \cdot 3 = \frac{S}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}S$.
Таким образом, легковой автомобиль проедет $\frac{3}{4}$ всего расстояния.

грузовой за 5 ч

Вычислим расстояние, которое проедет грузовой автомобиль за 5 часов, умножив его скорость на время:
$S_{г} = v_{г} \cdot 5 = \frac{S}{7} \cdot 5 = \frac{5}{7}S$.
Таким образом, грузовой автомобиль проедет $\frac{5}{7}$ всего расстояния.

Теперь необходимо сравнить полученные дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$, чтобы понять, какое расстояние больше. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 7 это $4 \cdot 7 = 28$.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28}$

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}$

Сравниваем числители полученных дробей: $21 > 20$.

Следовательно, $\frac{21}{28} > \frac{20}{28}$, что означает $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$.

Это значит, что расстояние, пройденное легковым автомобилем за 3 часа ($\frac{3}{4}S$), больше расстояния, пройденного грузовым автомобилем за 5 часов ($\frac{5}{7}S$).

Ответ: легковой автомобиль за 3 ч проедет большее расстояние.

993. Теплоход проходит расстояние между двумя пристанями за 9 ч, а катер — за 6 ч. Сравните расстояния: пройденное теплоходом за 7 ч и пройденное катером за 5 ч.

Чтобы сравнить расстояния, пройденные теплоходом и катером, сначала найдем их скорости как долю от всего расстояния между пристанями. Примем все расстояние за 1.

1. Скорость теплохода.
Теплоход проходит все расстояние за 9 часов. Значит, за 1 час он проходит $\frac{1}{9}$ всего расстояния. Это и есть его скорость.

2. Скорость катера.
Катер проходит все расстояние за 6 часов. Значит, за 1 час он проходит $\frac{1}{6}$ всего расстояния. Это его скорость.

3. Расстояние, пройденное теплоходом за 7 часов.
Чтобы найти это расстояние, умножим скорость теплохода на время:
$S_т = \frac{1}{9} \times 7 = \frac{7}{9}$ (от всего расстояния).

4. Расстояние, пройденное катером за 5 часов.
Чтобы найти это расстояние, умножим скорость катера на время:
$S_к = \frac{1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}$ (от всего расстояния).

5. Сравнение расстояний.
Теперь нам нужно сравнить две дроби: $\frac{7}{9}$ и $\frac{5}{6}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 9 и 6 это 18.
Приводим первую дробь к знаменателю 18:
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$
Приводим вторую дробь к знаменателю 18:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$

Сравниваем полученные дроби:
$\frac{14}{18} < \frac{15}{18}$, следовательно, $\frac{7}{9} < \frac{5}{6}$.

Это означает, что расстояние, пройденное теплоходом за 7 часов, меньше, чем расстояние, пройденное катером за 5 часов.

Ответ: расстояние, пройденное теплоходом за 7 часов, меньше расстояния, пройденного катером за 5 часов.