Страница 232 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1025. Расшифруйте фамилию выдающегося русского математика, жившего на рубеже XIX и XX вв., академика Петербургской академии наук, вице-президента Академии наук СССР, основателя школы математической физики, чьё имя носит Математический институт Российской академии наук в Москве. Номер примера соответствует месту, на котором стоит буква в слове.

Современное здание
Математического института РАН

1) $2/9 + 5/6$;

2) $1 - 5/17$;

3) $6 - 1 \frac{4}{9}$;

4) $2 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{2}$;

5) $1 \frac{1}{7} + 2 \frac{3}{28}$;

6) $5 \frac{1}{6} - 4 \frac{1}{4}$;

7) $1/4 + 1/12 + 2/3$.

Ответ

$5/6$ $1 \frac{1}{18}$ $4 \frac{5}{9}$ $3 \frac{1}{4}$ $1$ $11/12$ $12/17$

Буква

К С Е Л В О Т

Для того чтобы расшифровать фамилию, необходимо решить каждый из семи примеров и сопоставить полученные ответы с буквами из таблицы.

1)

Чтобы сложить дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 это 18.

$\frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{4+15}{18} = \frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}$

В таблице этому ответу соответствует буква С.

Ответ: $1\frac{1}{18}$

2)

Чтобы вычесть дробь из единицы, представим 1 как дробь со знаменателем 17.

$1 - \frac{5}{17} = \frac{17}{17} - \frac{5}{17} = \frac{17-5}{17} = \frac{12}{17}$

В таблице этому ответу соответствует буква Т.

Ответ: $\frac{12}{17}$

3)

Для вычитания смешанного числа из целого, представим целое число в виде смешанного.

$6 - 1\frac{4}{9} = 5\frac{9}{9} - 1\frac{4}{9} = (5-1) + (\frac{9}{9}-\frac{4}{9}) = 4 + \frac{5}{9} = 4\frac{5}{9}$

В таблице этому ответу соответствует буква Е.

Ответ: $4\frac{5}{9}$

4)

Для вычитания смешанных чисел, приведем их дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 2 это 6.

$2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} = 2\frac{2}{6} - 1\frac{3}{6}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{6}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{6}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$2\frac{2}{6} - 1\frac{3}{6} = 1\frac{6+2}{6} - 1\frac{3}{6} = 1\frac{8}{6} - 1\frac{3}{6} = (1-1) + (\frac{8-3}{6}) = \frac{5}{6}$

В таблице этому ответу соответствует буква К.

Ответ: $\frac{5}{6}$

5)

Для сложения смешанных чисел, приведем их дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 28 это 28. Сложим целые и дробные части отдельно.

$1\frac{1}{7} + 2\frac{3}{28} = 1\frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} + 2\frac{3}{28} = 1\frac{4}{28} + 2\frac{3}{28} = (1+2) + (\frac{4}{28} + \frac{3}{28}) = 3 + \frac{7}{28} = 3\frac{1}{4}$

В таблице этому ответу соответствует буква Л.

Ответ: $3\frac{1}{4}$

6)

Для вычитания смешанных чисел, приведем их дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 4 это 12.

$5\frac{1}{6} - 4\frac{1}{4} = 5\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} - 4\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 5\frac{2}{12} - 4\frac{3}{12}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{12}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{12}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого.

$5\frac{2}{12} - 4\frac{3}{12} = 4\frac{12+2}{12} - 4\frac{3}{12} = 4\frac{14}{12} - 4\frac{3}{12} = (4-4) + (\frac{14-3}{12}) = \frac{11}{12}$

В таблице этому ответу соответствует буква О.

Ответ: $\frac{11}{12}$

7)

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 12 и 3 это 12.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{12} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3+1+8}{12} = \frac{12}{12} = 1$

В таблице этому ответу соответствует буква В.

Ответ: $1$

Теперь составим фамилию, расположив буквы в порядке номеров примеров:

1. С
2. Т
3. Е
4. К
5. Л
6. О
7. В

Получилась фамилия: Стеклов.

Речь идет о Владимире Андреевиче Сте́клове — русском и советском математике и механике, организаторе науки, академике Петербургской АН, вице-президенте АН СССР. Математический институт Российской академии наук в Москве носит его имя.

1026. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $\frac{3}{7} + \frac{14}{19} + \frac{4}{7} + \frac{5}{19}$;

2) $\frac{7}{16} + \frac{11}{42} + \frac{9}{16} + \frac{17}{42}$;

3) $\frac{5}{18} + \frac{4}{81} + \frac{7}{18} + \frac{5}{81}$;

4) $\frac{9}{40} + \frac{13}{50} + \frac{12}{50} + \frac{11}{40}$;

5) $3\frac{5}{11} + 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} + 4\frac{6}{11}$;

6) $1\frac{17}{24} + 3\frac{1}{36} + 5\frac{4}{24} + 2\frac{8}{36}$;

1) Для удобства вычисления сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.
$\frac{3}{7} + \frac{14}{19} + \frac{4}{7} + \frac{5}{19} = (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) + (\frac{14}{19} + \frac{5}{19})$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$
$\frac{14}{19} + \frac{5}{19} = \frac{14+5}{19} = \frac{19}{19} = 1$
Теперь сложим полученные результаты:
$1 + 1 = 2$
Ответ: 2

2) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисление.
$\frac{7}{16} + \frac{11}{42} + \frac{9}{16} + \frac{17}{42} = (\frac{7}{16} + \frac{9}{16}) + (\frac{11}{42} + \frac{17}{42})$
Выполним сложение в каждой из групп:
$\frac{7}{16} + \frac{9}{16} = \frac{7+9}{16} = \frac{16}{16} = 1$
$\frac{11}{42} + \frac{17}{42} = \frac{11+17}{42} = \frac{28}{42}$
Сократим вторую дробь. Наибольший общий делитель для 28 и 42 - это 14.
$\frac{28}{42} = \frac{28 \div 14}{42 \div 14} = \frac{2}{3}$
Теперь сложим результаты:
$1 + \frac{2}{3} = 1\frac{2}{3}$
Ответ: $1\frac{2}{3}$

3) Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.
$\frac{5}{18} + \frac{4}{81} + \frac{7}{18} + \frac{5}{81} = (\frac{5}{18} + \frac{7}{18}) + (\frac{4}{81} + \frac{5}{81})$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{5}{18} + \frac{7}{18} = \frac{5+7}{18} = \frac{12}{18}$
$\frac{4}{81} + \frac{5}{81} = \frac{4+5}{81} = \frac{9}{81}$
Сократим полученные дроби:
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
$\frac{9}{81} = \frac{9 \div 9}{81 \div 9} = \frac{1}{9}$
Теперь сложим сокращенные дроби, приведя их к общему знаменателю 9:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

4) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями для удобства вычислений.
$\frac{9}{40} + \frac{13}{50} + \frac{12}{50} + \frac{11}{40} = (\frac{9}{40} + \frac{11}{40}) + (\frac{13}{50} + \frac{12}{50})$
Выполним сложение в каждой группе:
$\frac{9}{40} + \frac{11}{40} = \frac{9+11}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
$\frac{13}{50} + \frac{12}{50} = \frac{13+12}{50} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
Сложим полученные значения:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Ответ: 1

5) Сгруппируем смешанные числа, у которых дробные части имеют одинаковые знаменатели. Будем складывать целые и дробные части отдельно.
$3\frac{5}{11} + 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} + 4\frac{6}{11} = (3\frac{5}{11} + 4\frac{6}{11}) + (1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16})$
Сложим числа в первой группе:
$3\frac{5}{11} + 4\frac{6}{11} = (3+4) + (\frac{5}{11} + \frac{6}{11}) = 7 + \frac{11}{11} = 7 + 1 = 8$
Сложим числа во второй группе:
$1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} = (1+2) + (\frac{3}{16} + \frac{5}{16}) = 3 + \frac{8}{16} = 3 + \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$
Теперь сложим результаты обеих групп:
$8 + 3\frac{1}{2} = 11\frac{1}{2}$
Ответ: $11\frac{1}{2}$

6) Сгруппируем смешанные числа с одинаковыми знаменателями в их дробных частях и сложим их по отдельности.
$1\frac{17}{24} + 3\frac{1}{36} + 5\frac{4}{24} + 2\frac{8}{36} = (1\frac{17}{24} + 5\frac{4}{24}) + (3\frac{1}{36} + 2\frac{8}{36})$
Вычислим сумму в первой группе:
$1\frac{17}{24} + 5\frac{4}{24} = (1+5) + (\frac{17}{24} + \frac{4}{24}) = 6 + \frac{21}{24} = 6 + \frac{7}{8} = 6\frac{7}{8}$
Вычислим сумму во второй группе:
$3\frac{1}{36} + 2\frac{8}{36} = (3+2) + (\frac{1}{36} + \frac{8}{36}) = 5 + \frac{9}{36} = 5 + \frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$
Теперь сложим полученные результаты. Сначала сложим целые части: $6 + 5 = 11$.
Затем сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 8:
$\frac{7}{8} + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} + \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8} + \frac{2}{8} = \frac{9}{8}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Добавим это к сумме целых частей:
$11 + 1\frac{1}{8} = 12\frac{1}{8}$
Ответ: $12\frac{1}{8}$

1027. Решите уравнение:

1) $ \left(x+\frac{5}{12}\right)-\frac{9}{20}=\frac{11}{15} $

2) $ 4\frac{3}{4}-\left(x-2\frac{5}{8}\right)=3\frac{5}{6} $

1) $\left(x + \frac{5}{12}\right) - \frac{9}{20} = \frac{11}{15}$

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем значение выражения в скобках, которое является уменьшаемым. Для этого к разности прибавим вычитаемое:

$x + \frac{5}{12} = \frac{11}{15} + \frac{9}{20}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 20 — это 60.

$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{44}{60}$

$\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}$

Теперь выполним сложение:

$x + \frac{5}{12} = \frac{44}{60} + \frac{27}{60} = \frac{71}{60}$

Теперь $x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, из суммы вычтем известное слагаемое:

$x = \frac{71}{60} - \frac{5}{12}$

Приведем дробь $\frac{5}{12}$ к знаменателю 60:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$

Выполним вычитание:

$x = \frac{71}{60} - \frac{25}{60} = \frac{71 - 25}{60} = \frac{46}{60}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{23}{30}$

Ответ: $x = \frac{23}{30}$

2) $4\frac{3}{4} - \left(x - 2\frac{5}{8}\right) = 3\frac{5}{6}$

В этом уравнении выражение в скобках является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x - 2\frac{5}{8} = 4\frac{3}{4} - 3\frac{5}{6}$

Выполним вычитание смешанных чисел в правой части. Приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — это 12.

$4\frac{3}{4} = 4\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 4\frac{9}{12}$

$3\frac{5}{6} = 3\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 3\frac{10}{12}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{12}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{10}{12}$), займем единицу у целой части уменьшаемого:

$4\frac{9}{12} = 3 + 1 + \frac{9}{12} = 3 + \frac{12}{12} + \frac{9}{12} = 3\frac{21}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$x - 2\frac{5}{8} = 3\frac{21}{12} - 3\frac{10}{12} = \frac{11}{12}$

Теперь $x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности прибавим вычитаемое:

$x = \frac{11}{12} + 2\frac{5}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 8 — это 24.

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}$

$2\frac{5}{8} = 2\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = 2\frac{15}{24}$

Выполним сложение:

$x = \frac{22}{24} + 2\frac{15}{24} = 2\frac{22+15}{24} = 2\frac{37}{24}$

Дробь $\frac{37}{24}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть:

$\frac{37}{24} = 1\frac{13}{24}$

Прибавим эту часть к целой части смешанного числа:

$x = 2 + 1\frac{13}{24} = 3\frac{13}{24}$

Ответ: $x = 3\frac{13}{24}$

1028. Решите уравнение:

1) $\left(x - \frac{8}{9}\right) + \frac{3}{8} = \frac{19}{36};$

2) $3\frac{5}{36} - \left(1\frac{4}{9} - x\right) = 1\frac{17}{18}.$

1) $\left(x-\frac{8}{9}\right)+\frac{3}{8}=\frac{19}{36}$

В данном уравнении скобка $\left(x-\frac{8}{9}\right)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x-\frac{8}{9}=\frac{19}{36}-\frac{3}{8}$

Для вычитания дробей в правой части приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 36 и 8 равно 72.

$x-\frac{8}{9}=\frac{19 \cdot 2}{36 \cdot 2}-\frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9}$

$x-\frac{8}{9}=\frac{38}{72}-\frac{27}{72}$

$x-\frac{8}{9}=\frac{11}{72}$

Теперь в уравнении $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x=\frac{11}{72}+\frac{8}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 72.

$x=\frac{11}{72}+\frac{8 \cdot 8}{9 \cdot 8}$

$x=\frac{11}{72}+\frac{64}{72}$

$x=\frac{11+64}{72}=\frac{75}{72}$

Сократим полученную неправильную дробь на 3 и выделим целую часть.

$x=\frac{75 \div 3}{72 \div 3}=\frac{25}{24}=1\frac{1}{24}$

Ответ: $1\frac{1}{24}$.

2) $3\frac{5}{36}-\left(1\frac{4}{9}-x\right)=1\frac{17}{18}$

В этом уравнении выражение в скобках $\left(1\frac{4}{9}-x\right)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$1\frac{4}{9}-x=3\frac{5}{36}-1\frac{17}{18}$

Выполним вычитание в правой части. Для удобства преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{5}{36}=\frac{3 \cdot 36 + 5}{36}=\frac{113}{36}$

$1\frac{17}{18}=\frac{1 \cdot 18 + 17}{18}=\frac{35}{18}$

Приведем дроби к общему знаменателю 36.

$1\frac{4}{9}-x=\frac{113}{36}-\frac{35 \cdot 2}{18 \cdot 2}$

$1\frac{4}{9}-x=\frac{113}{36}-\frac{70}{36}$

$1\frac{4}{9}-x=\frac{43}{36}$

Теперь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x=1\frac{4}{9}-\frac{43}{36}$

Преобразуем $1\frac{4}{9}$ в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю 36.

$1\frac{4}{9}=\frac{1 \cdot 9 + 4}{9}=\frac{13}{9}$

$x=\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 4}-\frac{43}{36}$

$x=\frac{52}{36}-\frac{43}{36}$

$x=\frac{9}{36}$

Сократим полученную дробь на 9.

$x=\frac{9 \div 9}{36 \div 9}=\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

1029. В трёх ящиках было $36\frac{9}{16}$ кг апельсинов. В первом и втором ящиках было $28\frac{7}{8}$ кг апельсинов, а в первом и третьем — $24\frac{3}{4}$ кг.

Сколько килограммов апельсинов было в каждом ящике?

Для решения задачи обозначим массу апельсинов в первом ящике как $x$, во втором — как $y$, а в третьем — как $z$.
Исходя из условия, составим систему уравнений:

1. 1) $x + y + z = 36\frac{9}{16}$ (общая масса в трёх ящиках)
2. 2) $x + y = 28\frac{7}{8}$ (масса в первом и втором ящиках)
3. 3) $x + z = 24\frac{3}{4}$ (масса в первом и третьем ящиках)

В третьем ящике

Чтобы найти массу апельсинов в третьем ящике ($z$), нужно из общей массы (уравнение 1) вычесть массу апельсинов в первом и втором ящиках (уравнение 2):
$z = (x + y + z) - (x + y) = 36\frac{9}{16} - 28\frac{7}{8}$
Приведём дроби к общему знаменателю 16: $28\frac{7}{8} = 28\frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 28\frac{14}{16}$.
$z = 36\frac{9}{16} - 28\frac{14}{16} = 35\frac{16+9}{16} - 28\frac{14}{16} = 35\frac{25}{16} - 28\frac{14}{16} = 7\frac{11}{16}$ кг.
Ответ: в третьем ящике было $7\frac{11}{16}$ кг апельсинов.

Во втором ящике

Чтобы найти массу апельсинов во втором ящике ($y$), нужно из общей массы (уравнение 1) вычесть массу апельсинов в первом и третьем ящиках (уравнение 3):
$y = (x + y + z) - (x + z) = 36\frac{9}{16} - 24\frac{3}{4}$
Приведём дроби к общему знаменателю 16: $24\frac{3}{4} = 24\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = 24\frac{12}{16}$.
$y = 36\frac{9}{16} - 24\frac{12}{16} = 35\frac{16+9}{16} - 24\frac{12}{16} = 35\frac{25}{16} - 24\frac{12}{16} = 11\frac{13}{16}$ кг.
Ответ: во втором ящике было $11\frac{13}{16}$ кг апельсинов.

В первом ящике

Чтобы найти массу апельсинов в первом ящике ($x$), можно из массы первого и второго ящиков (уравнение 2) вычесть найденную массу апельсинов во втором ящике:
$x = (x + y) - y = 28\frac{7}{8} - 11\frac{13}{16}$
Приведём дробь $28\frac{7}{8}$ к знаменателю 16: $28\frac{7}{8} = 28\frac{14}{16}$.
$x = 28\frac{14}{16} - 11\frac{13}{16} = (28 - 11) + (\frac{14 - 13}{16}) = 17\frac{1}{16}$ кг.
Ответ: в первом ящике было $17\frac{1}{16}$ кг апельсинов.