Номер 1026, страница 232 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 1026, страница 232.

Условие.

1026. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $\frac{3}{7} + \frac{14}{19} + \frac{4}{7} + \frac{5}{19}$;

2) $\frac{7}{16} + \frac{11}{42} + \frac{9}{16} + \frac{17}{42}$;

3) $\frac{5}{18} + \frac{4}{81} + \frac{7}{18} + \frac{5}{81}$;

4) $\frac{9}{40} + \frac{13}{50} + \frac{12}{50} + \frac{11}{40}$;

5) $3\frac{5}{11} + 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} + 4\frac{6}{11}$;

6) $1\frac{17}{24} + 3\frac{1}{36} + 5\frac{4}{24} + 2\frac{8}{36}$;

Решение.

Решение 2.

1) Для удобства вычисления сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.
$\frac{3}{7} + \frac{14}{19} + \frac{4}{7} + \frac{5}{19} = (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) + (\frac{14}{19} + \frac{5}{19})$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$
$\frac{14}{19} + \frac{5}{19} = \frac{14+5}{19} = \frac{19}{19} = 1$
Теперь сложим полученные результаты:
$1 + 1 = 2$
Ответ: 2

2) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисление.
$\frac{7}{16} + \frac{11}{42} + \frac{9}{16} + \frac{17}{42} = (\frac{7}{16} + \frac{9}{16}) + (\frac{11}{42} + \frac{17}{42})$
Выполним сложение в каждой из групп:
$\frac{7}{16} + \frac{9}{16} = \frac{7+9}{16} = \frac{16}{16} = 1$
$\frac{11}{42} + \frac{17}{42} = \frac{11+17}{42} = \frac{28}{42}$
Сократим вторую дробь. Наибольший общий делитель для 28 и 42 - это 14.
$\frac{28}{42} = \frac{28 \div 14}{42 \div 14} = \frac{2}{3}$
Теперь сложим результаты:
$1 + \frac{2}{3} = 1\frac{2}{3}$
Ответ: $1\frac{2}{3}$

3) Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.
$\frac{5}{18} + \frac{4}{81} + \frac{7}{18} + \frac{5}{81} = (\frac{5}{18} + \frac{7}{18}) + (\frac{4}{81} + \frac{5}{81})$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{5}{18} + \frac{7}{18} = \frac{5+7}{18} = \frac{12}{18}$
$\frac{4}{81} + \frac{5}{81} = \frac{4+5}{81} = \frac{9}{81}$
Сократим полученные дроби:
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
$\frac{9}{81} = \frac{9 \div 9}{81 \div 9} = \frac{1}{9}$
Теперь сложим сокращенные дроби, приведя их к общему знаменателю 9:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

4) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями для удобства вычислений.
$\frac{9}{40} + \frac{13}{50} + \frac{12}{50} + \frac{11}{40} = (\frac{9}{40} + \frac{11}{40}) + (\frac{13}{50} + \frac{12}{50})$
Выполним сложение в каждой группе:
$\frac{9}{40} + \frac{11}{40} = \frac{9+11}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
$\frac{13}{50} + \frac{12}{50} = \frac{13+12}{50} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
Сложим полученные значения:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Ответ: 1

5) Сгруппируем смешанные числа, у которых дробные части имеют одинаковые знаменатели. Будем складывать целые и дробные части отдельно.
$3\frac{5}{11} + 1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} + 4\frac{6}{11} = (3\frac{5}{11} + 4\frac{6}{11}) + (1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16})$
Сложим числа в первой группе:
$3\frac{5}{11} + 4\frac{6}{11} = (3+4) + (\frac{5}{11} + \frac{6}{11}) = 7 + \frac{11}{11} = 7 + 1 = 8$
Сложим числа во второй группе:
$1\frac{3}{16} + 2\frac{5}{16} = (1+2) + (\frac{3}{16} + \frac{5}{16}) = 3 + \frac{8}{16} = 3 + \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$
Теперь сложим результаты обеих групп:
$8 + 3\frac{1}{2} = 11\frac{1}{2}$
Ответ: $11\frac{1}{2}$

6) Сгруппируем смешанные числа с одинаковыми знаменателями в их дробных частях и сложим их по отдельности.
$1\frac{17}{24} + 3\frac{1}{36} + 5\frac{4}{24} + 2\frac{8}{36} = (1\frac{17}{24} + 5\frac{4}{24}) + (3\frac{1}{36} + 2\frac{8}{36})$
Вычислим сумму в первой группе:
$1\frac{17}{24} + 5\frac{4}{24} = (1+5) + (\frac{17}{24} + \frac{4}{24}) = 6 + \frac{21}{24} = 6 + \frac{7}{8} = 6\frac{7}{8}$
Вычислим сумму во второй группе:
$3\frac{1}{36} + 2\frac{8}{36} = (3+2) + (\frac{1}{36} + \frac{8}{36}) = 5 + \frac{9}{36} = 5 + \frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$
Теперь сложим полученные результаты. Сначала сложим целые части: $6 + 5 = 11$.
Затем сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 8:
$\frac{7}{8} + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} + \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8} + \frac{2}{8} = \frac{9}{8}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Добавим это к сумме целых частей:
$11 + 1\frac{1}{8} = 12\frac{1}{8}$
Ответ: $12\frac{1}{8}$