Страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Найдите все натуральные значения x, при которых выполняется неравенство $ \frac{x}{9} < \frac{19}{36} $.

А) 1, 2

Б) 1, 2, 3

В) 1, 2, 3, 4

Г) 1, 2, 3, 4, 5

Дано неравенство $\frac{x}{9} < \frac{19}{36}$. Нам необходимо найти все натуральные значения $x$, которые удовлетворяют этому неравенству. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, и так далее).

Для решения неравенства сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 9 и 36 равен 36. Домножим числитель и знаменатель левой дроби на 4, чтобы ее знаменатель стал равен 36:

$\frac{x \cdot 4}{9 \cdot 4} < \frac{19}{36}$

$\frac{4x}{36} < \frac{19}{36}$

Поскольку знаменатели обеих дробей теперь одинаковы и положительны, мы можем сравнить их числители, сохранив знак неравенства:

$4x < 19$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 4:

$x < \frac{19}{4}$

Теперь преобразуем неправильную дробь $\frac{19}{4}$ в смешанное число или десятичную дробь для более ясного понимания ее величины:

$\frac{19}{4} = 4\frac{3}{4} = 4.75$

Таким образом, наше неравенство принимает вид $x < 4.75$.

Согласно условию задачи, мы ищем натуральные значения $x$. Нам нужно выбрать все натуральные числа, которые строго меньше 4.75. Такими числами являются: 1, 2, 3, 4.

Среди предложенных вариантов ответа:
А) 1, 2
Б) 1, 2, 3
В) 1, 2, 3, 4
Г) 1, 2, 3, 4, 5
нашему решению соответствует вариант В.

Ответ: В) 1, 2, 3, 4.

8. Сколько существует дробей со знаменателем 24, которые больше $3/8$, но меньше $2/3$?

А) 1

Б) 2

В) 4

Г) 6

Пусть искомые дроби имеют вид $\frac{x}{24}$, где $x$ — целое число. Согласно условию, эти дроби должны быть больше $\frac{3}{8}$ и меньше $\frac{2}{3}$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{3}{8} < \frac{x}{24} < \frac{2}{3}$

Чтобы решить это неравенство, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 8, 24 и 3 равно 24. Значит, приведем дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$ к знаменателю 24.

1. Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $24 \div 8 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

2. Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $24 \div 3 = 8$. Умножим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

Теперь подставим полученные дроби обратно в исходное неравенство:

$\frac{9}{24} < \frac{x}{24} < \frac{16}{24}$

Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковы, мы можем перейти к неравенству для их числителей:

$9 < x < 16$

Нам нужно найти все целые числа $x$, которые больше 9, но меньше 16. Такими числами являются: 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Подсчитаем количество этих чисел: их всего 6.

Следовательно, существует 6 дробей со знаменателем 24, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 6.

9. Найдите значение выражения $ \frac{7}{15} + \frac{4}{9} - \frac{3}{10} $

А) $ \frac{28}{45} $

Б) $ \frac{11}{18} $

В) $ \frac{1}{2} $

Г) $ \frac{29}{90} $

Для решения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

1. Нахождение наименьшего общего знаменателя (НОЗ)
Найдём наименьшее общее кратное для знаменателей 15, 9 и 10. Для этого разложим их на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
НОЗ(15, 9, 10) равен произведению всех простых множителей, взятых в наибольшей степени: $2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

2. Приведение дробей к общему знаменателю
Теперь приведём каждую дробь к знаменателю 90, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
Для дроби $ \frac{7}{15} $ дополнительный множитель равен $90 \div 15 = 6$.
$ \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{42}{90} $
Для дроби $ \frac{4}{9} $ дополнительный множитель равен $90 \div 9 = 10$.
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{40}{90} $
Для дроби $ \frac{3}{10} $ дополнительный множитель равен $90 \div 10 = 9$.
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{27}{90} $

3. Вычисление значения выражения
Подставим полученные дроби в исходное выражение и выполним действия:
$ \frac{42}{90} + \frac{40}{90} - \frac{27}{90} = \frac{42 + 40 - 27}{90} = \frac{82 - 27}{90} = \frac{55}{90} $

4. Сокращение результата
Сократим полученную дробь $ \frac{55}{90} $. Числитель и знаменатель делятся на 5:
$ \frac{55 \div 5}{90 \div 5} = \frac{11}{18} $

Ответ: $ \frac{11}{18} $

10. Вычислите разность $5\frac{7}{9} - 3\frac{5}{6}$.

А) $2\frac{1}{3}$

Б) $1\frac{1}{18}$

В) $1\frac{17}{18}$

Г) $2\frac{1}{18}$

Чтобы вычислить разность смешанных чисел $5\frac{7}{9} - 3\frac{5}{6}$, можно сначала преобразовать их в неправильные дроби.

1. Преобразуем смешанное число $5\frac{7}{9}$ в неправильную дробь:
$5\frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{45 + 7}{9} = \frac{52}{9}$.

2. Преобразуем смешанное число $3\frac{5}{6}$ в неправильную дробь:
$3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{18 + 5}{6} = \frac{23}{6}$.

3. Теперь вычтем полученные неправильные дроби: $\frac{52}{9} - \frac{23}{6}$.
Для вычитания дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 9 и 6 равно 18.
Дополнительный множитель для первой дроби: $18 \div 9 = 2$.
$\frac{52}{9} = \frac{52 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{104}{18}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $18 \div 6 = 3$.
$\frac{23}{6} = \frac{23 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{69}{18}$.

4. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{104}{18} - \frac{69}{18} = \frac{104 - 69}{18} = \frac{35}{18}$.

5. Преобразуем полученную неправильную дробь $\frac{35}{18}$ обратно в смешанное число, выделив целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$35 \div 18 = 1$ (остаток $17$).
Следовательно, $\frac{35}{18} = 1\frac{17}{18}$.

Таким образом, результат вычисления равен $1\frac{17}{18}$, что соответствует варианту В).

Ответ: В) $1\frac{17}{18}$

11. Решите уравнение $ \frac{13}{21} - \left(x - 2\frac{5}{7}\right) = \frac{3}{14} $.

А) $ 3\frac{23}{42} $

Б) $ 3\frac{1}{14} $

В) $ 2\frac{13}{42} $

Г) $ 3\frac{5}{42} $

Дано уравнение:

$$ \frac{13}{21} - (x - 2\frac{5}{7}) = \frac{3}{14} $$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $ (x - 2\frac{5}{7}) $, нужно из уменьшаемого $ \frac{13}{21} $ вычесть разность $ \frac{3}{14} $.

$$ x - 2\frac{5}{7} = \frac{13}{21} - \frac{3}{14} $$

Для вычитания дробей в правой части найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное чисел 21 и 14 равно 42.

Приведем дроби к знаменателю 42:

$$ \frac{13}{21} = \frac{13 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{26}{42} $$

$$ \frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42} $$

Подставим полученные дроби в уравнение:

$$ x - 2\frac{5}{7} = \frac{26}{42} - \frac{9}{42} $$

$$ x - 2\frac{5}{7} = \frac{17}{42} $$

Теперь найдем неизвестное уменьшаемое $x$. Для этого к разности $ \frac{17}{42} $ прибавим вычитаемое $ 2\frac{5}{7} $.

$$ x = \frac{17}{42} + 2\frac{5}{7} $$

Сначала представим смешанное число $ 2\frac{5}{7} $ в виде неправильной дроби:

$$ 2\frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{14+5}{7} = \frac{19}{7} $$

Теперь выполним сложение, приведя дробь $ \frac{19}{7} $ к знаменателю 42:

$$ x = \frac{17}{42} + \frac{19 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{17}{42} + \frac{114}{42} $$

$$ x = \frac{17 + 114}{42} = \frac{131}{42} $$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$$ 131 \div 42 = 3 \ (остаток \ 5) $$

$$ x = 3\frac{5}{42} $$

Полученный результат соответствует варианту Г).

Ответ: $Г) \ 3\frac{5}{42}$

12. В корзинке лежали яблоки и груши. Съели половину всех яблок и треть всех груш. Какое из следующих утверждений верно?

А) осталась половина фруктов

Б) осталась треть фруктов

В) осталось больше половины фруктов

Г) осталось меньше половины фруктов

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $Я$ — это начальное количество яблок, а $Г$ — начальное количество груш. По условию, в корзинке были и яблоки, и груши, поэтому $Я > 0$ и $Г > 0$.

Общее начальное количество фруктов в корзинке было равно $Я + Г$.

По условию, съели половину всех яблок. Следовательно, в корзинке осталась вторая половина яблок, то есть $\frac{1}{2}Я$.

Также съели треть всех груш. Следовательно, в корзинке осталось две трети груш: $Г - \frac{1}{3}Г = \frac{2}{3}Г$.

Общее количество оставшихся фруктов равно сумме оставшихся яблок и груш: $\frac{1}{2}Я + \frac{2}{3}Г$.

Чтобы определить, какое из предложенных утверждений верно, нам нужно сравнить количество оставшихся фруктов с половиной от их первоначального количества. Половина от первоначального количества фруктов составляет $\frac{1}{2}(Я + Г) = \frac{1}{2}Я + \frac{1}{2}Г$.

Теперь сравним два выражения:

• Количество оставшихся фруктов: $\frac{1}{2}Я + \frac{2}{3}Г$
• Половина от начального количества фруктов: $\frac{1}{2}Я + \frac{1}{2}Г$

В обоих выражениях есть одинаковое слагаемое $\frac{1}{2}Я$. Поэтому для сравнения достаточно рассмотреть только вторые слагаемые: $\frac{2}{3}Г$ и $\frac{1}{2}Г$.

Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

Поскольку $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$, то $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Так как количество груш $Г$ является положительным числом, то и неравенство $\frac{2}{3}Г > \frac{1}{2}Г$ также будет верным.

Из этого следует, что и вся сумма будет больше: $\frac{1}{2}Я + \frac{2}{3}Г > \frac{1}{2}Я + \frac{1}{2}Г$.

Таким образом, мы доказали, что количество оставшихся фруктов строго больше, чем половина от их первоначального количества. Это соответствует утверждению В).

Ответ: В) осталось больше половины фруктов