Страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1061. Какое расстояние проедет автомобиль со скоростью 72 км/ч за $2\frac{1}{4}$ ч?

Для того чтобы найти расстояние, которое проедет автомобиль, необходимо умножить его скорость на время в пути. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле:

$S = v \cdot t$

где $v$ — это скорость, а $t$ — это время.

В нашей задаче даны:

• Скорость $v = 72$ км/ч
• Время $t = 2\frac{1}{4}$ ч

Сначала представим время в виде неправильной дроби, чтобы было удобнее выполнять вычисления:

$t = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4}$ ч

Теперь подставим значения скорости и времени в формулу и найдем расстояние:

$S = 72 \cdot \frac{9}{4}$

Для удобства вычислений можно сначала разделить 72 на 4, а затем умножить на 9:

$S = \frac{72}{4} \cdot 9 = 18 \cdot 9$

$S = 162$ км

Ответ: 162 км.

1062.Сколько стоят $3\frac{3}{5}$ кг бананов, если цена 1 кг бананов составляет $57\frac{1}{2}$ р.?

Для того чтобы найти общую стоимость покупки, необходимо умножить массу бананов на цену за один килограмм.

1. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби, чтобы было удобнее выполнять вычисления.
Масса бананов: $3\frac{3}{5}$ кг. Чтобы перевести это число, умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: $3 \times 5 + 3 = 18$. Результат записываем в числитель, а знаменатель оставляем прежним. Получаем $\frac{18}{5}$ кг.
Цена за 1 кг бананов: $57\frac{1}{2}$ р. Поступаем аналогично: $57 \times 2 + 1 = 114 + 1 = 115$. Получаем $\frac{115}{2}$ р.

2. Теперь умножим массу на цену:
Стоимость = $\frac{18}{5} \times \frac{115}{2}$

3. Чтобы упростить вычисление, можно сократить дроби перед умножением. Числитель первой дроби (18) и знаменатель второй (2) делятся на 2. Знаменатель первой дроби (5) и числитель второй (115) делятся на 5.
$\frac{18}{5} \times \frac{115}{2} = \frac{18 \div 2}{5 \div 5} \times \frac{115 \div 5}{2 \div 2} = \frac{9}{1} \times \frac{23}{1} = 9 \times 23$

4. Выполним умножение:
$9 \times 23 = 207$
Таким образом, стоимость $3\frac{3}{5}$ кг бананов составляет 207 рублей.

Ответ: 207 р.

1063. Сколько стоит $6\frac{1}{4}$ кг печенья, если 1 кг печенья стоит $70\frac{2}{5}$ р.?

Чтобы найти общую стоимость печенья, необходимо умножить его количество на цену за один килограмм.

1. Представим смешанные числа в виде неправильных дробей.

Количество печенья: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$ кг.

Цена за 1 кг печенья: $70\frac{2}{5} = \frac{70 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{350 + 2}{5} = \frac{352}{5}$ р.

2. Теперь умножим количество печенья на его цену:

$ \frac{25}{4} \cdot \frac{352}{5} $

3. Для удобства вычислений сократим дроби перед умножением. Числитель 25 и знаменатель 5 можно сократить на 5. Числитель 352 и знаменатель 4 можно сократить на 4.

$ \frac{25 \div 5}{4 \div 4} \cdot \frac{352 \div 4}{5 \div 5} = \frac{5}{1} \cdot \frac{88}{1} $

4. Выполним умножение:

$ 5 \cdot 88 = 440 $

Таким образом, $6\frac{1}{4}$ кг печенья стоят 440 рублей.

Ответ: 440 р.

1064. Выполните умножение:

1) $ \frac{11}{15} \cdot \frac{21}{22} \cdot \frac{9}{28} \cdot \frac{8}{9} $;

2) $ 2 \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{35} $;

3) $ 1 \frac{4}{5} \cdot 1 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{1}{7} \cdot 4 \frac{2}{3} $.

Чтобы перемножить дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения вычислений сначала сократим дроби, находя общие множители в числителе и знаменателе.

$\frac{11}{15} \cdot \frac{21}{22} \cdot \frac{9}{28} \cdot \frac{8}{9} = \frac{11 \cdot 21 \cdot 9 \cdot 8}{15 \cdot 22 \cdot 28 \cdot 9}$

Сократим одинаковые множители 9 в числителе и знаменателе:

$\frac{11 \cdot 21 \cdot \cancel{9} \cdot 8}{15 \cdot 22 \cdot 28 \cdot \cancel{9}} = \frac{11 \cdot 21 \cdot 8}{15 \cdot 22 \cdot 28}$

Теперь последовательно сократим остальные множители:

Сокращаем 11 и 22 на 11: $\frac{\cancel{11}^{1} \cdot 21 \cdot 8}{15 \cdot \cancel{22}^{2} \cdot 28} = \frac{1 \cdot 21 \cdot 8}{15 \cdot 2 \cdot 28}$

Сокращаем 21 и 28 на 7: $\frac{1 \cdot \cancel{21}^{3} \cdot 8}{15 \cdot 2 \cdot \cancel{28}^{4}} = \frac{3 \cdot 8}{15 \cdot 2 \cdot 4}$

Сокращаем 8 и 4: $\frac{3 \cdot \cancel{8}^{2}}{15 \cdot 2 \cdot \cancel{4}^{1}} = \frac{3 \cdot 2}{15 \cdot 2}$

Сокращаем 2: $\frac{3 \cdot \cancel{2}}{15 \cdot \cancel{2}} = \frac{3}{15}$

Сокращаем 3 и 15 на 3: $\frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{15}^{5}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

Теперь выполним умножение полученных дробей:

$2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{35} = \frac{5}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} \cdot \frac{8}{35} = \frac{5 \cdot 10 \cdot 21 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35}$

Сократим дробь:

Сокращаем 5 в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{5} \cdot 10 \cdot 21 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot 35} = \frac{10 \cdot 21 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 35}$

Сокращаем 10 и 2: $\frac{\cancel{10}^{5} \cdot 21 \cdot 8}{\cancel{2}^{1} \cdot 3 \cdot 35} = \frac{5 \cdot 21 \cdot 8}{3 \cdot 35}$

Сокращаем 21 и 3: $\frac{5 \cdot \cancel{21}^{7} \cdot 8}{\cancel{3}^{1} \cdot 35} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 8}{35}$

Так как $5 \cdot 7 = 35$, сокращаем 35 в числителе и знаменателе:

$\frac{(5 \cdot 7) \cdot 8}{35} = \frac{35 \cdot 8}{35} = \frac{\cancel{35} \cdot 8}{\cancel{35}} = 8$

Ответ: 8

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{15}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3}$

Сгруппируем множители в знаменателе: $5 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 7 = 5 \cdot 9 \cdot 7$.

$\frac{9 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 9 \cdot 7}$

Сократим одинаковые множители 9 и 5 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{9} \cdot \cancel{5} \cdot 15 \cdot 14}{\cancel{5} \cdot \cancel{9} \cdot 7} = \frac{15 \cdot 14}{7}$

Сократим 14 и 7:

$\frac{15 \cdot \cancel{14}^{2}}{\cancel{7}^{1}} = 15 \cdot 2$

Вычислим произведение:

$15 \cdot 2 = 30$

Ответ: 30

1065. Выполните умножение:

1) $\frac{5}{16} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{9};$

2) $\frac{19}{25} \cdot \frac{40}{57} \cdot \frac{5}{36} \cdot \frac{9}{16};$

3) $18\frac{1}{3} \cdot 1\frac{2}{11} \cdot 1\frac{4}{5} \cdot 15.$

1) $\frac{5}{16} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{9}$

Чтобы перемножить дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители в одну дробь:

$\frac{5 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 5}{16 \cdot 5 \cdot 25 \cdot 9}$

Теперь сократим дробь, убирая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Сокращаем на 5 и на 9:

$\frac{\cancel{5} \cdot 4 \cdot \cancel{9} \cdot 5}{16 \cdot \cancel{5} \cdot 25 \cdot \cancel{9}} = \frac{4 \cdot 5}{16 \cdot 25}$

Далее сократим 4 и 16 на 4 (в числителе останется 1, в знаменателе 4), а также 5 и 25 на 5 (в числителе останется 1, в знаменателе 5):

$\frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{16}^4 \cdot \cancel{25}^5} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{20}$.

2) $\frac{19}{25} \cdot \frac{40}{57} \cdot \frac{5}{36} \cdot \frac{9}{16}$

Запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{19 \cdot 40 \cdot 5 \cdot 9}{25 \cdot 57 \cdot 36 \cdot 16}$

Для удобства сокращения разложим некоторые числа на множители: $57 = 3 \cdot 19$, $40 = 4 \cdot 10$, $36 = 4 \cdot 9$, $25 = 5 \cdot 5$, $16 = 2 \cdot 8$ или $4 \cdot 4$. Выполним сокращение по шагам:

Сокращаем 19 и 57 на 19: $\frac{\cancel{19}^1 \cdot 40 \cdot 5 \cdot 9}{25 \cdot \cancel{57}^3 \cdot 36 \cdot 16} = \frac{40 \cdot 5 \cdot 9}{25 \cdot 3 \cdot 36 \cdot 16}$

Сокращаем 9 и 36 на 9: $\frac{40 \cdot 5 \cdot \cancel{9}^1}{25 \cdot 3 \cdot \cancel{36}^4 \cdot 16} = \frac{40 \cdot 5}{25 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 16}$

Сокращаем 5 и 25 на 5: $\frac{40 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{25}^5 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 16} = \frac{40}{5 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 16}$

Сокращаем 40 на 5 и на 4 (т.е. на 20): $40 = 20 \cdot 2$, а в знаменателе $5 \cdot 4 = 20$: $\frac{\cancel{40}^2}{\cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{4} \cdot 16} = \frac{2}{3 \cdot 16}$

Сокращаем 2 и 16 на 2: $\frac{\cancel{2}^1}{3 \cdot \cancel{16}^8} = \frac{1}{3 \cdot 8} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$.

3) $18\frac{1}{3} \cdot 1\frac{2}{11} \cdot 1\frac{4}{5} \cdot 15$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. Целое число 15 представим как дробь $\frac{15}{1}$.

$18\frac{1}{3} = \frac{18 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{54 + 1}{3} = \frac{55}{3}$

$1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь выполним умножение полученных дробей:

$\frac{55}{3} \cdot \frac{13}{11} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{15}{1} = \frac{55 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 15}{3 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 1}$

Сократим дробь. Сокращаем 55 и 11 на 11:

$\frac{\cancel{55}^5 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 15}{3 \cdot \cancel{11}^1 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 15}{3 \cdot 5}$

Сокращаем на 5:

$\frac{\cancel{5} \cdot 13 \cdot 9 \cdot 15}{3 \cdot \cancel{5}} = \frac{13 \cdot 9 \cdot 15}{3}$

Сокращаем 9 и 3 на 3:

$\frac{13 \cdot \cancel{9}^3 \cdot 15}{\cancel{3}^1} = 13 \cdot 3 \cdot 15$

Остается вычислить произведение целых чисел:

$13 \cdot 3 \cdot 15 = 39 \cdot 15 = 585$

Ответ: $585$.

1066. Найдите значение степени:

1) $(\frac{1}{2})^4$;

2) $(\frac{2}{5})^3$;

3) $(1\frac{1}{3})^4$;

4) $(2\frac{2}{3})^2$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель.

$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

2) Возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень, используя то же правило.

$(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{2 \times 2 \times 2}{5 \times 5 \times 5} = \frac{8}{125}$.

Ответ: $\frac{8}{125}$.

3) Для возведения в степень смешанного числа, сначала представим его в виде неправильной дроби.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь возведем полученную дробь в четвертую степень.

$(\frac{4}{3})^4 = \frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$.

Для удобства можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель: $256 \div 81 = 3$ и $13$ в остатке.

$\frac{256}{81} = 3\frac{13}{81}$.

Ответ: $3\frac{13}{81}$.

4) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Возводим полученную дробь во вторую степень (в квадрат).

$(\frac{8}{3})^2 = \frac{8^2}{3^2} = \frac{64}{9}$.

Преобразуем результат обратно в смешанное число: $64 \div 9 = 7$ и $1$ в остатке.

$\frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}$.

Ответ: $7\frac{1}{9}$.

1067. Найдите значение степени:

1) $(\frac{1}{3})^5$;

2) $(\frac{3}{7})^3$;

3) $(1\frac{2}{5})^2$;

4) $(3\frac{1}{4})^2$.

1) Для того чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Используем формулу $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5}$
Вычисляем числитель: $1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Вычисляем знаменатель: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
Таким образом, получаем: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$.
Ответ: $\frac{1}{243}$.

2) Аналогично первому пункту, возводим числитель и знаменатель в указанную степень.
$(\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3}$
Вычисляем числитель: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Вычисляем знаменатель: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
В результате получаем: $(\frac{3}{7})^3 = \frac{27}{343}$.
Ответ: $\frac{27}{343}$.

3) В данном случае основание степени является смешанным числом. Сначала необходимо преобразовать его в неправильную дробь.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.
Теперь возводим полученную неправильную дробь в квадрат:
$(\frac{7}{5})^2 = \frac{7^2}{5^2} = \frac{49}{25}$.
Для удобства можно преобразовать результат обратно в смешанное число, выделив целую часть:
$\frac{49}{25} = 1\frac{24}{25}$.
Ответ: $1\frac{24}{25}$.

4) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{12 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Теперь возведем полученную дробь в квадрат:
$(\frac{13}{4})^2 = \frac{13^2}{4^2} = \frac{169}{16}$.
Преобразуем результат в смешанное число:
$\frac{169}{16} = 10\frac{9}{16}$ (так как $16 \cdot 10 = 160$, и $169 - 160 = 9$).
Ответ: $10\frac{9}{16}$.

1068. Найдите значение выражения:

1) $1\frac{3}{22} \cdot 2\frac{14}{15} - \left(1\frac{5}{8} + 2\frac{1}{8} \cdot \frac{11}{17}\right) \cdot \frac{3}{7}$;

2) $6\frac{2}{5} \cdot 1\frac{9}{16} - \left(2\frac{1}{4}\right)^2$.

1) $1\frac{3}{22} \cdot 2\frac{14}{15} - \left(1\frac{5}{8} + 2\frac{1}{8} \cdot \frac{11}{17}\right) \cdot \frac{3}{7}$

Решение будет выполняться по действиям, согласно порядку их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание).

1. Первым действием выполним умножение внутри скобок. Для этого преобразуем смешанное число $2\frac{1}{8}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$

Теперь умножим:

$\frac{17}{8} \cdot \frac{11}{17} = \frac{17 \cdot 11}{8 \cdot 17} = \frac{11}{8}$ (сократили на 17)

2. Вторым действием выполним сложение внутри скобок. Преобразуем $1\frac{5}{8}$ в неправильную дробь:

$1\frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{13}{8}$

Теперь сложим с результатом первого действия:

$\frac{13}{8} + \frac{11}{8} = \frac{13+11}{8} = \frac{24}{8} = 3$

3. Третьим действием выполним умножение $1\frac{3}{22} \cdot 2\frac{14}{15}$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{3}{22} = \frac{1 \cdot 22 + 3}{22} = \frac{25}{22}$

$2\frac{14}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 14}{15} = \frac{30+14}{15} = \frac{44}{15}$

Выполним умножение, сокращая дроби:

$\frac{25}{22} \cdot \frac{44}{15} = \frac{25 \cdot 44}{22 \cdot 15} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 22)}{(22) \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$

4. Четвертым действием умножим результат из скобок (действие 2) на $\frac{3}{7}$:

$3 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7} = \frac{9}{7}$

5. Последним действием выполним вычитание результатов действий 3 и 4:

$\frac{10}{3} - \frac{9}{7}$

Найдем общий знаменатель, который равен $3 \cdot 7 = 21$:

$\frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{70}{21} - \frac{27}{21} = \frac{70 - 27}{21} = \frac{43}{21}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{43}{21} = 2\frac{1}{21}$

Ответ: $2\frac{1}{21}$

2) $6\frac{2}{5} \cdot 1\frac{9}{16} - \left(2\frac{1}{4}\right)^2$

Решение будет выполняться по действиям, согласно порядку их выполнения (сначала возведение в степень, затем умножение, затем вычитание).

1. Первым действием возведем в квадрат число в скобках. Для этого преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь возведем в квадрат:

$\left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$

2. Вторым действием выполним умножение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$6\frac{2}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{32}{5}$

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Выполним умножение, сокращая дроби:

$\frac{32}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{32 \cdot 25}{5 \cdot 16} = \frac{(2 \cdot 16) \cdot (5 \cdot 5)}{5 \cdot 16} = 2 \cdot 5 = 10$

3. Третьим действием выполним вычитание. Из результата второго действия вычтем результат первого:

$10 - \frac{81}{16}$

Представим 10 в виде дроби со знаменателем 16:

$10 = \frac{10 \cdot 16}{16} = \frac{160}{16}$

Выполним вычитание:

$\frac{160}{16} - \frac{81}{16} = \frac{160 - 81}{16} = \frac{79}{16}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{79}{16} = 4\frac{15}{16}$ (так как $79 = 4 \cdot 16 + 15$)

Ответ: $4\frac{15}{16}$

1069. Найдите значение выражения:

1) $4\frac{2}{3} \cdot 6 - 1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} + 2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51};$

2) $\left(\frac{5}{12} + \frac{13}{20}\right)^2 \cdot 1\frac{13}{32}$

1) $4\frac{2}{3} \cdot 6 - 1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} + 2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций: сначала выполняются умножения, затем вычитание и сложение слева направо.

Первое действие (умножение):

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.

$\frac{14}{3} \cdot 6 = \frac{14 \cdot 6}{3} = 14 \cdot 2 = 28$.

Второе действие (умножение):

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{23}{42} = \frac{1 \cdot 42 + 23}{42} = \frac{65}{42}$

$3\frac{1}{13} = \frac{3 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{40}{13}$

$\frac{65}{42} \cdot \frac{40}{13} = \frac{65 \cdot 40}{42 \cdot 13} = \frac{(5 \cdot 13) \cdot 40}{42 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 40}{42} = \frac{200}{42} = \frac{100}{21}$.

Третье действие (умножение):

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$

$1\frac{29}{51} = \frac{1 \cdot 51 + 29}{51} = \frac{80}{51}$

$\frac{17}{8} \cdot \frac{80}{51} = \frac{17 \cdot 80}{8 \cdot 51} = \frac{17 \cdot (8 \cdot 10)}{8 \cdot (3 \cdot 17)} = \frac{10}{3}$.

Четвертое действие (вычитание и сложение):

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$28 - \frac{100}{21} + \frac{10}{3}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 21:

$28 = \frac{28 \cdot 21}{21} = \frac{588}{21}$

$\frac{10}{3} = \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{70}{21}$

Выполним вычисления:

$\frac{588}{21} - \frac{100}{21} + \frac{70}{21} = \frac{588 - 100 + 70}{21} = \frac{488 + 70}{21} = \frac{558}{21}$

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $5+5+8=18$, делится на 3, значит, и число 558 делится на 3.

$\frac{558 \div 3}{21 \div 3} = \frac{186}{7}$

Выделим целую часть:

$186 \div 7 = 26$ (остаток 4). Таким образом, $\frac{186}{7} = 26\frac{4}{7}$.

Ответ: $26\frac{4}{7}$

2) $(\frac{5}{12} + \frac{13}{20})^2 \cdot 1\frac{13}{32}$

Решим выражение по действиям: сначала выполним сложение в скобках, затем возведение в степень, и в конце умножение.

Первое действие (сложение в скобках):

$\frac{5}{12} + \frac{13}{20}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 20. НОК(12, 20) = 60.

$\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{13 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{25}{60} + \frac{39}{60} = \frac{25+39}{60} = \frac{64}{60}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{64 \div 4}{60 \div 4} = \frac{16}{15}$

Второе действие (возведение в квадрат):

$(\frac{16}{15})^2 = \frac{16^2}{15^2} = \frac{256}{225}$

Третье действие (умножение):

$\frac{256}{225} \cdot 1\frac{13}{32}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{13}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{45}{32}$

Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{256}{225} \cdot \frac{45}{32} = \frac{256 \cdot 45}{225 \cdot 32}$

Так как $256 = 8 \cdot 32$ и $225 = 5 \cdot 45$, то:

$\frac{8 \cdot 32 \cdot 45}{5 \cdot 45 \cdot 32} = \frac{8}{5}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$

Ответ: $1\frac{3}{5}$

1070. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

1) $15 \cdot \left(1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$;

2) $48 \cdot \left(\frac{19}{24} - \frac{7}{12} + \frac{3}{8}\right)$;

3) $\frac{7}{9} \cdot \left(\frac{6}{7} - \frac{9}{14}\right)$;

4) $\left(\frac{15}{16} - \frac{5}{12} + 2\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{4}{5}$.

1) $15 \cdot (1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Применим распределительное свойство умножения, согласно которому $a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$. Раскроем скобки, умножив 15 на каждый член внутри скобок:

$15 \cdot (1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 15 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{1}{3} - 15 \cdot \frac{1}{5}$

Теперь вычислим каждое произведение:

$15 \cdot 1 = 15$

$15 \cdot \frac{1}{3} = \frac{15}{3} = 5$

$15 \cdot \frac{1}{5} = \frac{15}{5} = 3$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$15 + 5 - 3 = 20 - 3 = 17$

Ответ: 17

2) $48 \cdot (\frac{19}{24} - \frac{7}{12} + \frac{3}{8})$

Используем распределительное свойство умножения. Умножим 48 на каждую дробь в скобках:

$48 \cdot \frac{19}{24} - 48 \cdot \frac{7}{12} + 48 \cdot \frac{3}{8}$

Выполним вычисления, сокращая дроби:

$\frac{48 \cdot 19}{24} - \frac{48 \cdot 7}{12} + \frac{48 \cdot 3}{8} = 2 \cdot 19 - 4 \cdot 7 + 6 \cdot 3$

Вычислим значения произведений и найдем результат:

$38 - 28 + 18 = 10 + 18 = 28$

Ответ: 28

3) $\frac{7}{9} \cdot (\frac{6}{7} - \frac{9}{14})$

Применим распределительное свойство умножения:

$\frac{7}{9} \cdot \frac{6}{7} - \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{14}$

Выполним умножение, сокращая дроби:

$\frac{7 \cdot 6}{9 \cdot 7} - \frac{7 \cdot 9}{9 \cdot 14} = \frac{6}{9} - \frac{7}{14} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4) $(\frac{15}{16} - \frac{5}{12} + 2\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5}$

Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.

Теперь применим распределительное свойство умножения $(a - b + c) \cdot d = a \cdot d - b \cdot d + c \cdot d$:

$(\frac{15}{16} - \frac{5}{12} + \frac{5}{2}) \cdot \frac{4}{5} = \frac{15}{16} \cdot \frac{4}{5} - \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5}$

Вычислим каждое произведение, выполняя сокращения:

$\frac{15 \cdot 4}{16 \cdot 5} - \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 5} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} - \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + 2$

Приведем дроби к общему знаменателю 12 и выполним вычитание:

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} + 2 = \frac{5}{12} + 2$

Сложим целое число и дробь:

$2 + \frac{5}{12} = 2\frac{5}{12}$

Ответ: $2\frac{5}{12}$

1071. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

1) $18 \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right)$;

2) $\left(2 - \frac{3}{4} - \frac{4}{5}\right) \cdot 20$;

3) $\left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9}\right) \cdot 18$;

4) $\left(\frac{5}{6} + \frac{5}{9}\right) \cdot \frac{18}{25}$.

1) Распределительное свойство умножения относительно вычитания записывается как $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$. Применим его к данному выражению:

$18 \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = 18 \cdot \frac{1}{3} - 18 \cdot \frac{1}{9}$

Теперь вычислим каждое произведение по отдельности:

$18 \cdot \frac{1}{3} = \frac{18}{3} = 6$

$18 \cdot \frac{1}{9} = \frac{18}{9} = 2$

Подставим полученные значения обратно в выражение и найдем разность:

$6 - 2 = 4$

Ответ: 4.

2) Используем распределительное свойство умножения $(a - b - c) \cdot d = a \cdot d - b \cdot d - c \cdot d$:

$\left(2 - \frac{3}{4} - \frac{4}{5}\right) \cdot 20 = 2 \cdot 20 - \frac{3}{4} \cdot 20 - \frac{4}{5} \cdot 20$

Вычислим каждое произведение:

$2 \cdot 20 = 40$

$\frac{3}{4} \cdot 20 = \frac{3 \cdot 20}{4} = 3 \cdot 5 = 15$

$\frac{4}{5} \cdot 20 = \frac{4 \cdot 20}{5} = 4 \cdot 4 = 16$

Теперь выполним вычитание:

$40 - 15 - 16 = 25 - 16 = 9$

Ответ: 9.

3) Применим распределительное свойство умножения, раскрыв скобки:

$\left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9}\right) \cdot 18 = 1 \cdot 18 - \frac{1}{3} \cdot 18 - \frac{1}{6} \cdot 18 - \frac{1}{9} \cdot 18$

Вычислим значения произведений:

$1 \cdot 18 = 18$

$\frac{1}{3} \cdot 18 = \frac{18}{3} = 6$

$\frac{1}{6} \cdot 18 = \frac{18}{6} = 3$

$\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$

Подставим результаты и найдем значение выражения:

$18 - 6 - 3 - 2 = 12 - 3 - 2 = 9 - 2 = 7$

Ответ: 7.

4) Распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Применим его:

$\left(\frac{5}{6} + \frac{5}{9}\right) \cdot \frac{18}{25} = \frac{5}{6} \cdot \frac{18}{25} + \frac{5}{9} \cdot \frac{18}{25}$

Вычислим каждое слагаемое отдельно, сокращая дроби:

$\frac{5}{6} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 6}{6 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

$\frac{5}{9} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 9}{9 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3+2}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Ответ: 1.