Страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1090. Один рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а другой — за 15 ч. Какую часть задания они выполнят, если будут работать вместе $1\frac{1}{4}$ ч? Успеют ли они, работая вместе, выполнить задание за 3 ч?

Для решения задачи сначала определим производительность каждого рабочего, а затем их совместную производительность.

1. Производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{5}$ задания в час.

2. Производительность второго рабочего составляет $\frac{1}{15}$ задания в час.

3. Совместная производительность равна сумме их производительностей:

$P_{общ} = \frac{1}{5} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$P_{общ} = \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}$ задания в час.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Какую часть задания они выполнят, если будут работать вместе $1 \frac{1}{4}$ ч?

Чтобы найти часть выполненного задания, нужно умножить совместную производительность на время работы.
Время работы: $1 \frac{1}{4}$ ч = $\frac{5}{4}$ ч.
Выполненная часть задания = $P_{общ} \times Время = \frac{4}{15} \times \frac{5}{4}$.
$\frac{4}{15} \times \frac{5}{4} = \frac{4 \times 5}{15 \times 4} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Работая вместе $1 \frac{1}{4}$ ч, они выполнят $\frac{1}{3}$ задания.

Успеют ли они, работая вместе, выполнить задание за 3 ч?

Чтобы ответить на этот вопрос, можно вычислить, какую часть задания рабочие выполнят за 3 часа.
Выполненная часть задания за 3 часа = $P_{общ} \times 3 = \frac{4}{15} \times 3 = \frac{12}{15}$.
Сократим дробь: $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
Так как $\frac{4}{5}$ меньше целого задания (1), они не успеют выполнить его полностью.
Другой способ — найти общее время, необходимое для выполнения всего задания:
Время = $\frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{4}{15}} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4}$ часа.
Поскольку $3 \frac{3}{4}$ часа > 3 часа, им не хватит времени.

Ответ: Нет, работая вместе, они не успеют выполнить задание за 3 ч.

1091. Не выполняя умножения, сравните:

1) $200 \cdot \frac{6}{13}$ и $200$;

2) $\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4}$ и $\frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8}$;

3) $\frac{13}{20}$ и $\frac{13}{20} \cdot \frac{8}{7}$.

Выскажите гипотезу: что произойдёт с числом (увеличится, уменьшится или не изменится), если его умножить: 1) на правильную дробь; 2) на неправильную дробь. Обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

1)

Сравниваем $200 \cdot \frac{6}{13}$ и $200$. Дробь $\frac{6}{13}$ является правильной, так как её числитель 6 меньше знаменателя 13. Следовательно, значение этой дроби меньше 1: $\frac{6}{13} < 1$. При умножении положительного числа на число, которое меньше 1, результат всегда будет меньше исходного числа. Таким образом, $200 \cdot \frac{6}{13} < 200$.

Ответ: $200 \cdot \frac{6}{13} < 200$.

2)

Сравниваем $\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4}$ и $\frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8}$. Запишем оба произведения в виде одной дроби:
$\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 4}$
$\frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 8}$
Числители обоих выражений равны ($7 \cdot 3$). Знаменатели также равны, так как по переместительному свойству умножения $8 \cdot 4 = 4 \cdot 8$. Поскольку и числители, и знаменатели равны, то и сами выражения равны.

Ответ: $\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8}$.

3)

Сравниваем $\frac{13}{20}$ и $\frac{13}{20} \cdot \frac{8}{7}$. В этом случае мы умножаем число $\frac{13}{20}$ на дробь $\frac{8}{7}$. Дробь $\frac{8}{7}$ является неправильной, так как её числитель 8 больше знаменателя 7. Следовательно, значение этой дроби больше 1: $\frac{8}{7} > 1$. При умножении положительного числа на число, которое больше 1, результат всегда будет больше исходного числа. Таким образом, $\frac{13}{20} < \frac{13}{20} \cdot \frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{13}{20} < \frac{13}{20} \cdot \frac{8}{7}$.

Выскажите гипотезу: что произойдёт с числом (увеличится, уменьшится или не изменится), если его умножить:

1) на правильную дробь;
Если положительное число умножить на правильную дробь, то оно уменьшится. Это происходит потому, что любая правильная дробь всегда меньше 1.

2) на неправильную дробь.
Если положительное число умножить на неправильную дробь, то оно увеличится (если неправильная дробь больше 1) или не изменится (если неправильная дробь равна 1, например $\frac{7}{7}$). Это происходит потому, что неправильная дробь всегда больше или равна 1.

1092. Не выполняя умножения, сравните:

1) $1000$ и $1000 \cdot \frac{2}{3}$;

2) $\frac{19}{6} \cdot \frac{5}{5}$ и $\frac{19}{6}$;

3) $\frac{7}{12}$ и $\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{8}$.

1) Сравним $1000$ и $1000 \cdot \frac{2}{3}$.

Чтобы сравнить эти выражения, не выполняя умножения, нужно посмотреть на второй множитель во втором выражении. Это дробь $\frac{2}{3}$.

Так как числитель дроби ($2$) меньше ее знаменателя ($3$), то дробь $\frac{2}{3}$ меньше единицы. При умножении положительного числа на число, которое меньше 1, результат становится меньше исходного числа. Следовательно, произведение $1000 \cdot \frac{2}{3}$ будет меньше, чем $1000$.

Ответ: $1000 > 1000 \cdot \frac{2}{3}$.

2) Сравним $\frac{19}{6} \cdot \frac{5}{5}$ и $\frac{19}{6}$.

Рассмотрим первое выражение. В нем дробь $\frac{19}{6}$ умножается на дробь $\frac{5}{5}$.

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице. Таким образом, $\frac{5}{5} = 1$.

При умножении любого числа на 1, это число не изменяется. Значит, $\frac{19}{6} \cdot \frac{5}{5} = \frac{19}{6} \cdot 1 = \frac{19}{6}$.

Следовательно, данные выражения равны.

Ответ: $\frac{19}{6} \cdot \frac{5}{5} = \frac{19}{6}$.

3) Сравним $\frac{7}{12}$ и $\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{8}$.

Во втором выражении дробь $\frac{7}{12}$ умножается на дробь $\frac{9}{8}$.

Сравним множитель $\frac{9}{8}$ с единицей. Так как числитель дроби ($9$) больше ее знаменателя ($8$), то дробь $\frac{9}{8}$ больше единицы. При умножении положительного числа на число, которое больше 1, результат становится больше исходного числа. Следовательно, произведение $\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{8}$ будет больше, чем $\frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{7}{12} \cdot \frac{9}{8}$.

1093. Запишите все правильные дроби с числителем 3, которые больше $\frac{3}{7}$.

Обозначим искомую дробь как $\frac{3}{n}$, где $n$ — натуральное число (знаменатель).

Согласно условию, дробь является правильной. Это означает, что ее числитель меньше знаменателя. Запишем это в виде неравенства:

$3 < n$

Таким образом, знаменатель $n$ может быть любым целым числом, большим 3 (например, 4, 5, 6, 7, ...).

Второе условие гласит, что искомая дробь должна быть больше $\frac{3}{7}$. Запишем и это неравенство:

$\frac{3}{n} > \frac{3}{7}$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно, для выполнения этого условия знаменатель $n$ должен быть меньше 7:

$n < 7$

Теперь нам нужно найти все натуральные числа $n$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$3 < n$ и $n < 7$.

Объединив эти два неравенства, получаем:

$3 < n < 7$

Целые числа, которые находятся в этом интервале, — это 4, 5 и 6.

Подставим найденные значения $n$ в качестве знаменателя, чтобы получить искомые дроби:

При $n=4$ получаем дробь $\frac{3}{4}$.
При $n=5$ получаем дробь $\frac{3}{5}$.
При $n=6$ получаем дробь $\frac{3}{6}$.

Ответ: $\frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{3}{6}$.

1094. Фермер решил посадить кусты смородины. Он мог посадить их или в четыре ряда, или в шесть. Сколько кустов смородины он решил посадить, если известно, что их было больше 85, но меньше 100?

Пусть искомое количество кустов смородины равно $N$.

Согласно условию задачи, все кусты можно посадить как в 4 ряда, так и в 6 рядов. Это означает, что число $N$ должно делиться без остатка и на 4, и на 6. Таким образом, $N$ является общим кратным чисел 4 и 6.

Чтобы найти все возможные значения $N$, сначала найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.

Выпишем кратные для каждого числа:
Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Кратные 6: 6, 12, 18, 24, ...
Наименьшее общее кратное — это 12. Значит, количество кустов должно быть кратно 12.

В задаче указано, что количество кустов было больше 85, но меньше 100. Это можно записать в виде двойного неравенства: $85 < N < 100$.

Теперь нам нужно найти число, кратное 12, которое находится в этом промежутке. Перечислим числа, кратные 12, близкие к заданному диапазону:
$12 \cdot 6 = 72$
$12 \cdot 7 = 84$
$12 \cdot 8 = 96$
$12 \cdot 9 = 108$

Из этих чисел только 96 удовлетворяет условию $85 < 96 < 100$.

Следовательно, фермер решил посадить 96 кустов смородины.

Ответ: 96

1095. Сравните:

1) $ \frac{14}{3} $ и 4;

2) $ \frac{12}{5} $ и 3;

3) 6 и $ \frac{35}{6} $.

1)

Чтобы сравнить неправильную дробь $\frac{14}{3}$ и натуральное число 4, представим число 4 в виде дроби со знаменателем 3. Для этого умножим число 4 на 3 и запишем результат в числитель, а в знаменателе оставим 3: $4 = \frac{4 \times 3}{3} = \frac{12}{3}$. Теперь сравним две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{14}{3}$ и $\frac{12}{3}$. Так как знаменатели равны, сравниваем числители. Поскольку $14 > 12$, то и дробь $\frac{14}{3}$ больше дроби $\frac{12}{3}$. Следовательно, $\frac{14}{3} > 4$.

Ответ: $\frac{14}{3} > 4$.

2)

Чтобы сравнить дробь $\frac{12}{5}$ и число 3, представим число 3 в виде дроби со знаменателем 5. Для этого умножим 3 на 5: $3 = \frac{3 \times 5}{5} = \frac{15}{5}$. Теперь сравним дроби $\frac{12}{5}$ и $\frac{15}{5}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, сравниваем их числители. Поскольку $12 < 15$, то дробь $\frac{12}{5}$ меньше дроби $\frac{15}{5}$. Таким образом, $\frac{12}{5} < 3$.

Ответ: $\frac{12}{5} < 3$.

3)

Для сравнения числа 6 и дроби $\frac{35}{6}$, представим число 6 в виде дроби со знаменателем 6. Умножим 6 на 6: $6 = \frac{6 \times 6}{6} = \frac{36}{6}$. Теперь сравним дроби $\frac{36}{6}$ и $\frac{35}{6}$. Знаменатели у них равны, поэтому сравниваем числители. Так как $36 > 35$, то и дробь $\frac{36}{6}$ больше дроби $\frac{35}{6}$. Следовательно, $6 > \frac{35}{6}$.

Ответ: $6 > \frac{35}{6}$.

1096. Сократите дробь:

1) $\frac{124}{279}$;

2) $\frac{324}{378}$;

3) $\frac{888}{999}$;

4) $\frac{1111}{111111}$;

5) $\frac{2323}{3434}$,

6) $\frac{121212}{191919}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{124}{279}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для этого разложим оба числа на простые множители:
$124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 4 \cdot 31$
$279 = 9 \cdot 31 = 3 \cdot 3 \cdot 31$
Общим множителем является число 31. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 31:
$\frac{124}{279} = \frac{124 \div 31}{279 \div 31} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{324}{378}$, найдем НОД числителя и знаменателя. Разложим числа на простые множители:
$324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 3^4$
$378 = 2 \cdot 189 = 2 \cdot 9 \cdot 21 = 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$
НОД(324, 378) состоит из общих множителей в наименьшей степени: $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.
Теперь сократим дробь на 54:
$\frac{324}{378} = \frac{324 \div 54}{378 \div 54} = \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{6}{7}$

3) Для дроби $\frac{888}{999}$ можно заметить, что и числитель, и знаменатель делятся на 111. Представим их в виде произведения:
$888 = 8 \cdot 111$
$999 = 9 \cdot 111$
Сократим дробь на общий множитель 111:
$\frac{888}{999} = \frac{8 \cdot 111}{9 \cdot 111} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{1111}{111111}$, найдем общие множители. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$1111 = 11 \cdot 101$
$111111 = 111 \cdot 1001 = (3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$
Единственный общий простой множитель - это 11. Сократим дробь на 11:
$\frac{1111}{111111} = \frac{1111 \div 11}{111111 \div 11} = \frac{101}{10101}$
Число 101 является простым. Разложение знаменателя на простые множители: $10101 = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37$. Так как у числителя 101 и знаменателя 10101 нет общих множителей, дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{101}{10101}$

5) В дроби $\frac{2323}{3434}$ числитель и знаменатель состоят из повторяющихся двузначных чисел. Такие числа можно разложить на множители, вынеся за скобки 101:
$2323 = 2300 + 23 = 23 \cdot 100 + 23 = 23 \cdot (100 + 1) = 23 \cdot 101$
$3434 = 3400 + 34 = 34 \cdot 100 + 34 = 34 \cdot (100 + 1) = 34 \cdot 101$
Сократим дробь на общий множитель 101:
$\frac{2323}{3434} = \frac{23 \cdot 101}{34 \cdot 101} = \frac{23}{34}$
Ответ: $\frac{23}{34}$

6) В дроби $\frac{121212}{191919}$ числитель и знаменатель состоят из трехкратно повторяющихся двузначных чисел. Разложим их на множители, вынеся за скобки 10101:
$121212 = 120000 + 1200 + 12 = 12 \cdot 10000 + 12 \cdot 100 + 12 = 12 \cdot (10000 + 100 + 1) = 12 \cdot 10101$
$191919 = 190000 + 1900 + 19 = 19 \cdot 10000 + 19 \cdot 100 + 19 = 19 \cdot (10000 + 100 + 1) = 19 \cdot 10101$
Сократим дробь на общий множитель 10101:
$\frac{121212}{191919} = \frac{12 \cdot 10101}{19 \cdot 10101} = \frac{12}{19}$
Ответ: $\frac{12}{19}$

1097. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий — разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

Пусть три двузначных числа, написанные на доске, это A, B и C. Согласно условию, первая цифра (разряд десятков) одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Представим эти числа в виде:
$A = 50 + a$
$B = 60 + b$
$C = 70 + c$
где $a, b, c$ — это цифры от 0 до 9 (разряд единиц этих чисел).

Учащиеся могли сложить три возможные пары чисел: $A+B$, $A+C$ и $B+C$. Вычислим, какими могут быть эти суммы:
1. $A + B = (50 + a) + (60 + b) = 110 + a + b$
2. $A + C = (50 + a) + (70 + c) = 120 + a + c$
3. $B + C = (60 + b) + (70 + c) = 130 + b + c$

Один из учеников получил в сумме 147. Проанализируем, какая из пар могла дать такой результат, учитывая, что сумма двух цифр (например, $a+b$) может находиться в диапазоне от $0+0=0$ до $9+9=18$.
- Сумма $A+B$ находится в диапазоне от $110+0=110$ до $110+18=128$. Она не может быть равна 147.
- Сумма $A+C$ находится в диапазоне от $120+0=120$ до $120+18=138$. Она не может быть равна 147.
- Сумма $B+C$ находится в диапазоне от $130+0=130$ до $130+18=148$. Только эта сумма может быть равна 147.

Итак, мы определили, что $B+C=147$.
$130 + b + c = 147$
$b + c = 147 - 130$
$b + c = 17$

Два других ученика получили разные трёхзначные числа, первые две цифры которых 1 и 2. Это означает, что их суммы находятся в диапазоне от 120 до 129. Этими суммами должны быть оставшиеся две суммы: $A+B$ и $A+C$.

Для суммы $A+B = 110 + a + b$ должно выполняться:
$120 \le 110 + a + b \le 129$
$10 \le a + b \le 19$
(Так как максимальная сумма двух цифр равна 18, то $10 \le a + b \le 18$)

Для суммы $A+C = 120 + a + c$ должно выполняться:
$120 \le 120 + a + c \le 129$
$0 \le a + c \le 9$

Теперь у нас есть система условий для цифр $a, b, c$:
1) $b + c = 17$
2) $10 \le a + b \le 18$
3) $0 \le a + c \le 9$

Рассмотрим первое условие: $b+c=17$. Поскольку $b$ и $c$ — это цифры от 0 до 9, возможны только два варианта: ($b=8, c=9$) или ($b=9, c=8$). Проверим каждый из них.

Случай 1: $b=8$ и $c=9$.
Подставим эти значения во второе и третье условия:
- Из $10 \le a + 8 \le 18$ следует $2 \le a \le 10$. Так как $a$ - цифра, то $2 \le a \le 9$.
- Из $0 \le a + 9 \le 9$ следует $-9 \le a \le 0$. Так как $a$ - цифра, то $a = 0$.
Получили противоречие: $a$ не может одновременно быть равным 0 и находиться в диапазоне от 2 до 9. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: $b=9$ и $c=8$.
Подставим эти значения во второе и третье условия:
- Из $10 \le a + 9 \le 18$ следует $1 \le a \le 9$.
- Из $0 \le a + 8 \le 9$ следует $-8 \le a \le 1$.
Объединив условия для $a$ ($1 \le a \le 9$ и $-8 \le a \le 1$), получаем единственное возможное значение: $a=1$.

Таким образом, мы нашли все три цифры единиц: $a=1, b=9, c=8$. Теперь можем определить исходные числа:
$A = 50 + a = 50 + 1 = 51$
$B = 60 + b = 60 + 9 = 69$
$C = 70 + c = 70 + 8 = 78$

Проверим, выполняются ли все условия задачи для чисел 51, 69 и 78.
- $51+69 = 120$ (трёхзначное, первые цифры 1 и 2)
- $51+78 = 129$ (трёхзначное, первые цифры 1 и 2, отличается от 120)
- $69+78 = 147$ (сумма, полученная первым учеником)
Все условия выполнены.

Ответ: На доске были написаны числа 51, 69 и 78.