Номер 1097, страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1097, страница 245.

1097. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий — разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

Пусть три двузначных числа, написанные на доске, это A, B и C. Согласно условию, первая цифра (разряд десятков) одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Представим эти числа в виде:
$A = 50 + a$
$B = 60 + b$
$C = 70 + c$
где $a, b, c$ — это цифры от 0 до 9 (разряд единиц этих чисел).

Учащиеся могли сложить три возможные пары чисел: $A+B$, $A+C$ и $B+C$. Вычислим, какими могут быть эти суммы:
1. $A + B = (50 + a) + (60 + b) = 110 + a + b$
2. $A + C = (50 + a) + (70 + c) = 120 + a + c$
3. $B + C = (60 + b) + (70 + c) = 130 + b + c$

Один из учеников получил в сумме 147. Проанализируем, какая из пар могла дать такой результат, учитывая, что сумма двух цифр (например, $a+b$) может находиться в диапазоне от $0+0=0$ до $9+9=18$.
- Сумма $A+B$ находится в диапазоне от $110+0=110$ до $110+18=128$. Она не может быть равна 147.
- Сумма $A+C$ находится в диапазоне от $120+0=120$ до $120+18=138$. Она не может быть равна 147.
- Сумма $B+C$ находится в диапазоне от $130+0=130$ до $130+18=148$. Только эта сумма может быть равна 147.

Итак, мы определили, что $B+C=147$.
$130 + b + c = 147$
$b + c = 147 - 130$
$b + c = 17$

Два других ученика получили разные трёхзначные числа, первые две цифры которых 1 и 2. Это означает, что их суммы находятся в диапазоне от 120 до 129. Этими суммами должны быть оставшиеся две суммы: $A+B$ и $A+C$.

Для суммы $A+B = 110 + a + b$ должно выполняться:
$120 \le 110 + a + b \le 129$
$10 \le a + b \le 19$
(Так как максимальная сумма двух цифр равна 18, то $10 \le a + b \le 18$)

Для суммы $A+C = 120 + a + c$ должно выполняться:
$120 \le 120 + a + c \le 129$
$0 \le a + c \le 9$

Теперь у нас есть система условий для цифр $a, b, c$:
1) $b + c = 17$
2) $10 \le a + b \le 18$
3) $0 \le a + c \le 9$

Рассмотрим первое условие: $b+c=17$. Поскольку $b$ и $c$ — это цифры от 0 до 9, возможны только два варианта: ($b=8, c=9$) или ($b=9, c=8$). Проверим каждый из них.

Случай 1: $b=8$ и $c=9$.
Подставим эти значения во второе и третье условия:
- Из $10 \le a + 8 \le 18$ следует $2 \le a \le 10$. Так как $a$ - цифра, то $2 \le a \le 9$.
- Из $0 \le a + 9 \le 9$ следует $-9 \le a \le 0$. Так как $a$ - цифра, то $a = 0$.
Получили противоречие: $a$ не может одновременно быть равным 0 и находиться в диапазоне от 2 до 9. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: $b=9$ и $c=8$.
Подставим эти значения во второе и третье условия:
- Из $10 \le a + 9 \le 18$ следует $1 \le a \le 9$.
- Из $0 \le a + 8 \le 9$ следует $-8 \le a \le 1$.
Объединив условия для $a$ ($1 \le a \le 9$ и $-8 \le a \le 1$), получаем единственное возможное значение: $a=1$.

Таким образом, мы нашли все три цифры единиц: $a=1, b=9, c=8$. Теперь можем определить исходные числа:
$A = 50 + a = 50 + 1 = 51$
$B = 60 + b = 60 + 9 = 69$
$C = 70 + c = 70 + 8 = 78$

Проверим, выполняются ли все условия задачи для чисел 51, 69 и 78.
- $51+69 = 120$ (трёхзначное, первые цифры 1 и 2)
- $51+78 = 129$ (трёхзначное, первые цифры 1 и 2, отличается от 120)
- $69+78 = 147$ (сумма, полученная первым учеником)
Все условия выполнены.

Ответ: На доске были написаны числа 51, 69 и 78.