Номер 1090, страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 39. Умножение обыкновенных дробей. Упражнения - номер 1090, страница 245.

Условие.

1090. Один рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а другой — за 15 ч. Какую часть задания они выполнят, если будут работать вместе $1\frac{1}{4}$ ч? Успеют ли они, работая вместе, выполнить задание за 3 ч?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала определим производительность каждого рабочего, а затем их совместную производительность.

1. Производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{5}$ задания в час.

2. Производительность второго рабочего составляет $\frac{1}{15}$ задания в час.

3. Совместная производительность равна сумме их производительностей:

$P_{общ} = \frac{1}{5} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$P_{общ} = \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}$ задания в час.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Какую часть задания они выполнят, если будут работать вместе $1 \frac{1}{4}$ ч?

Чтобы найти часть выполненного задания, нужно умножить совместную производительность на время работы.
Время работы: $1 \frac{1}{4}$ ч = $\frac{5}{4}$ ч.
Выполненная часть задания = $P_{общ} \times Время = \frac{4}{15} \times \frac{5}{4}$.
$\frac{4}{15} \times \frac{5}{4} = \frac{4 \times 5}{15 \times 4} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Работая вместе $1 \frac{1}{4}$ ч, они выполнят $\frac{1}{3}$ задания.

Успеют ли они, работая вместе, выполнить задание за 3 ч?

Чтобы ответить на этот вопрос, можно вычислить, какую часть задания рабочие выполнят за 3 часа.
Выполненная часть задания за 3 часа = $P_{общ} \times 3 = \frac{4}{15} \times 3 = \frac{12}{15}$.
Сократим дробь: $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
Так как $\frac{4}{5}$ меньше целого задания (1), они не успеют выполнить его полностью.
Другой способ — найти общее время, необходимое для выполнения всего задания:
Время = $\frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{4}{15}} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4}$ часа.
Поскольку $3 \frac{3}{4}$ часа > 3 часа, им не хватит времени.

Ответ: Нет, работая вместе, они не успеют выполнить задание за 3 ч.