Номер 1085, страница 244 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1085, страница 244.

1085. Велосипедист Андрей ехал со скоростью $8\frac{3}{4}$ км/ч, а велосипедист Богдан — со скоростью, в $1\frac{1}{7}$ раза большей. Каким было расстояние между велосипедистами сначала, если Богдан догнал Андрея через $3\frac{4}{5}$ ч после того, как они одновременно начали двигаться?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость велосипедиста Богдана.

Скорость Андрея $v_А = 8\frac{3}{4}$ км/ч. Скорость Богдана $v_Б$ в $1\frac{1}{7}$ раза больше. Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:

$v_А = 8\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{35}{4}$ км/ч.

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Теперь вычислим скорость Богдана:

$v_Б = v_А \cdot 1\frac{1}{7} = \frac{35}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{35 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 7} = 5 \cdot 2 = 10$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения велосипедистов.

Так как Богдан догонял Андрея, они двигались в одном направлении. Скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_Б - v_А = 10 - 8\frac{3}{4} = 10 - \frac{35}{4} = \frac{40}{4} - \frac{35}{4} = \frac{5}{4}$ км/ч.

Скорость сближения составляет $1\frac{1}{4}$ км/ч.

3. Найдем первоначальное расстояние между велосипедистами.

Богдан догнал Андрея через $t = 3\frac{4}{5}$ ч. Первоначальное расстояние $S$ равно произведению скорости сближения на время, за которое Богдан догнал Андрея.

Переведем время в неправильную дробь:

$t = 3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{19}{5}$ ч.

Теперь вычислим расстояние:

$S = v_{сбл} \cdot t = \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{5} = \frac{5 \cdot 19}{4 \cdot 5} = \frac{19}{4}$ км.

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}$ км.

Ответ: $4\frac{3}{4}$ км.