Номер 1089, страница 244 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1089, страница 244.

1089. Одна швея может выполнить заказ за 4 ч, а другая — за 6 ч. Какую часть заказа они выполнят за $\frac{3}{4}$ ч, работая вместе? Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Какую часть заказа они выполнят за $\frac{3}{4}$ ч, работая вместе?

1. Сначала определим производительность труда каждой швеи, то есть какую часть заказа каждая из них выполняет за 1 час. Весь заказ примем за 1.
Производительность первой швеи: $P_1 = \frac{1}{4}$ заказа в час.
Производительность второй швеи: $P_2 = \frac{1}{6}$ заказа в час.

2. Теперь найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности.
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 12:
$P_{общ} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ заказа в час.

3. Зная общую производительность, вычислим, какую часть заказа швеи выполнят за $\frac{3}{4}$ часа. Для этого умножим общую производительность на время:
Выполненная работа = $P_{общ} \times \text{время} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{4} = \frac{5 \times 3}{12 \times 4} = \frac{15}{48}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

Ответ: За $\frac{3}{4}$ часа совместной работы швеи выполнят $\frac{5}{16}$ часть заказа.

Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Чтобы ответить на этот вопрос, можно либо найти, сколько времени потребуется на выполнение всего заказа, либо определить, какую часть заказа они выполнят за 3 часа.

Способ 1: Найдем общее время на выполнение заказа.
Время выполнения (T) равно отношению всей работы (1) к общей производительности ($P_{общ}$):
$T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = 1 \times \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$ часа.
Переведем в смешанное число: $T = 2\frac{2}{5}$ часа.
Поскольку $2\frac{2}{5}$ часа меньше, чем 3 часа, то времени им хватит.

Способ 2: Найдем, какую часть заказа они выполнят за 3 часа.
Для этого умножим общую производительность на 3 часа:
Выполненная работа = $P_{общ} \times \text{время} = \frac{5}{12} \times 3 = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
Поскольку $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$, что больше 1, это означает, что за 3 часа они выполнят весь заказ.

Ответ: Да, 3 часов им хватит, чтобы выполнить заказ.