Номер 1096, страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1096, страница 245.

1096. Сократите дробь:

1) $\frac{124}{279}$;

2) $\frac{324}{378}$;

3) $\frac{888}{999}$;

4) $\frac{1111}{111111}$;

5) $\frac{2323}{3434}$,

6) $\frac{121212}{191919}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{124}{279}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для этого разложим оба числа на простые множители:
$124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 4 \cdot 31$
$279 = 9 \cdot 31 = 3 \cdot 3 \cdot 31$
Общим множителем является число 31. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 31:
$\frac{124}{279} = \frac{124 \div 31}{279 \div 31} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{324}{378}$, найдем НОД числителя и знаменателя. Разложим числа на простые множители:
$324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 3^4$
$378 = 2 \cdot 189 = 2 \cdot 9 \cdot 21 = 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$
НОД(324, 378) состоит из общих множителей в наименьшей степени: $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.
Теперь сократим дробь на 54:
$\frac{324}{378} = \frac{324 \div 54}{378 \div 54} = \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{6}{7}$

3) Для дроби $\frac{888}{999}$ можно заметить, что и числитель, и знаменатель делятся на 111. Представим их в виде произведения:
$888 = 8 \cdot 111$
$999 = 9 \cdot 111$
Сократим дробь на общий множитель 111:
$\frac{888}{999} = \frac{8 \cdot 111}{9 \cdot 111} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{1111}{111111}$, найдем общие множители. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$1111 = 11 \cdot 101$
$111111 = 111 \cdot 1001 = (3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$
Единственный общий простой множитель - это 11. Сократим дробь на 11:
$\frac{1111}{111111} = \frac{1111 \div 11}{111111 \div 11} = \frac{101}{10101}$
Число 101 является простым. Разложение знаменателя на простые множители: $10101 = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37$. Так как у числителя 101 и знаменателя 10101 нет общих множителей, дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{101}{10101}$

5) В дроби $\frac{2323}{3434}$ числитель и знаменатель состоят из повторяющихся двузначных чисел. Такие числа можно разложить на множители, вынеся за скобки 101:
$2323 = 2300 + 23 = 23 \cdot 100 + 23 = 23 \cdot (100 + 1) = 23 \cdot 101$
$3434 = 3400 + 34 = 34 \cdot 100 + 34 = 34 \cdot (100 + 1) = 34 \cdot 101$
Сократим дробь на общий множитель 101:
$\frac{2323}{3434} = \frac{23 \cdot 101}{34 \cdot 101} = \frac{23}{34}$
Ответ: $\frac{23}{34}$

6) В дроби $\frac{121212}{191919}$ числитель и знаменатель состоят из трехкратно повторяющихся двузначных чисел. Разложим их на множители, вынеся за скобки 10101:
$121212 = 120000 + 1200 + 12 = 12 \cdot 10000 + 12 \cdot 100 + 12 = 12 \cdot (10000 + 100 + 1) = 12 \cdot 10101$
$191919 = 190000 + 1900 + 19 = 19 \cdot 10000 + 19 \cdot 100 + 19 = 19 \cdot (10000 + 100 + 1) = 19 \cdot 10101$
Сократим дробь на общий множитель 10101:
$\frac{121212}{191919} = \frac{12 \cdot 10101}{19 \cdot 10101} = \frac{12}{19}$
Ответ: $\frac{12}{19}$