Страница 244 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1082. Одна из сторон прямоугольника равна $3\frac{1}{5}$ м, а соседняя — в $1\frac{1}{4}$ раза больше. Вычислите площадь прямоугольника.

Для вычисления площади прямоугольника необходимо знать длины его сторон. Площадь $S$ равна произведению длины $a$ на ширину $b$: $S = a \cdot b$.

1. Найдём длину второй стороны прямоугольника.

Одна сторона, назовем ее $a$, равна $3\frac{1}{5}$ м. Соседняя сторона, $b$, в $1\frac{1}{4}$ раза больше. Чтобы найти ее длину, нужно умножить длину первой стороны на $1\frac{1}{4}$.

Для удобства вычислений представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$a = 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$ м.

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.

Теперь вычислим длину второй стороны $b$:

$b = \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 4}$.

Сокращаем дробь (5 в числителе и знаменателе, а также 16 и 4):

$b = \frac{16}{4} = 4$ м.

2. Вычислим площадь прямоугольника.

Теперь, зная длины обеих сторон ($a = \frac{16}{5}$ м и $b = 4$ м), можем найти площадь:

$S = a \cdot b = \frac{16}{5} \cdot 4 = \frac{16 \cdot 4}{5} = \frac{64}{5}$ м$^2$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы получить окончательный ответ:

$\frac{64}{5} = 12\frac{4}{5}$ м$^2$.

Ответ: $12\frac{4}{5}$ м$^2$.

1083. Турист шёл пешком $5\frac{1}{3}$ ч со скоростью $4\frac{1}{8}$ км/ч и ехал на велосипеде $1\frac{7}{15}$ ч со скоростью $12\frac{1}{2}$ км/ч. Какое расстояние больше: то, которое турист преодолел пешком, или то, которое он проехал на велосипеде, и на сколько километров?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала вычислить расстояние, которое турист прошёл пешком, а затем расстояние, которое он проехал на велосипеде. После этого можно будет сравнить эти два расстояния.

1. Найдём расстояние, которое турист преодолел пешком

Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

Скорость туриста пешком: $v_1 = 4\frac{1}{8}$ км/ч.

Время в пути пешком: $t_1 = 5\frac{1}{3}$ ч.

Для удобства вычислений переведём смешанные числа в неправильные дроби:

$v_1 = 4\frac{1}{8} = \frac{4 \times 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}$ км/ч.

$t_1 = 5\frac{1}{3} = \frac{5 \times 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Теперь вычислим расстояние, пройденное пешком ($S_1$):

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = \frac{33}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{33 \times 16}{8 \times 3}$

Сократим множители в числителе и знаменателе (33 и 3 на 3; 16 и 8 на 8):

$S_1 = \frac{11 \times 2}{1 \times 1} = 22$ км.

2. Найдём расстояние, которое турист проехал на велосипеде

Скорость туриста на велосипеде: $v_2 = 12\frac{1}{2}$ км/ч.

Время в пути на велосипеде: $t_2 = 1\frac{7}{15}$ ч.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

$v_2 = 12\frac{1}{2} = \frac{12 \times 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$ км/ч.

$t_2 = 1\frac{7}{15} = \frac{1 \times 15 + 7}{15} = \frac{22}{15}$ ч.

Вычислим расстояние, пройденное на велосипеде ($S_2$):

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = \frac{25}{2} \times \frac{22}{15} = \frac{25 \times 22}{2 \times 15}$

Сократим множители (25 и 15 на 5; 22 и 2 на 2):

$S_2 = \frac{5 \times 11}{1 \times 3} = \frac{55}{3}$ км.

Представим результат в виде смешанного числа:

$S_2 = 18\frac{1}{3}$ км.

3. Сравним расстояния и найдём разницу

Теперь сравним расстояние, пройденное пешком ($S_1 = 22$ км), и расстояние, которое турист проехал на велосипеде ($S_2 = 18\frac{1}{3}$ км).

Так как $22 > 18\frac{1}{3}$, то расстояние, которое турист преодолел пешком, больше.

Найдём, на сколько километров это расстояние больше, для этого вычтем из большего расстояния меньшее:

$S_1 - S_2 = 22 - 18\frac{1}{3} = 21\frac{3}{3} - 18\frac{1}{3} = (21 - 18) + (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) = 3\frac{2}{3}$ км.

Ответ: Расстояние, которое турист преодолел пешком, больше на $3\frac{2}{3}$ км.

1084. Мальвина купила $4\frac{3}{5}$ кг апельсинов по цене $7\frac{1}{2}$ сольдо за килограмм и $5\frac{1}{4}$ кг яблок по цене $3\frac{1}{5}$ сольдо за килограмм. За какие фрукты — апельсины или яблоки — Мальвина заплатила больше и на сколько сольдо?

Для того чтобы определить, за какие фрукты Мальвина заплатила больше и на сколько, нужно последовательно вычислить стоимость каждой покупки, а затем сравнить их.

Сначала рассчитаем стоимость апельсинов. Для этого умножим массу купленных апельсинов на их цену:

$4 \frac{3}{5} \times 7 \frac{1}{2}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4 \frac{3}{5} = \frac{4 \times 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$

$7 \frac{1}{2} = \frac{7 \times 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

Теперь выполним умножение дробей, предварительно сократив:

$\frac{23}{5} \times \frac{15}{2} = \frac{23 \times 3}{2} = \frac{69}{2} = 34 \frac{1}{2}$

Итак, стоимость апельсинов равна $34 \frac{1}{2}$ сольдо.

Теперь рассчитаем стоимость яблок. Умножим массу яблок на их цену:

$5 \frac{1}{4} \times 3 \frac{1}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$5 \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

$3 \frac{1}{5} = \frac{3 \times 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Выполним умножение дробей, сократив их:

$\frac{21}{4} \times \frac{16}{5} = \frac{21 \times 4}{5} = \frac{84}{5} = 16 \frac{4}{5}$

Стоимость яблок равна $16 \frac{4}{5}$ сольдо.

Сравним стоимость апельсинов ($34 \frac{1}{2}$ сольдо) и яблок ($16 \frac{4}{5}$ сольдо). Поскольку целая часть стоимости апельсинов ($34$) больше целой части стоимости яблок ($16$), Мальвина заплатила больше за апельсины.

Найдем разницу в стоимости. Для этого из стоимости апельсинов вычтем стоимость яблок:

$34 \frac{1}{2} - 16 \frac{4}{5}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 10:

$34 \frac{1}{2} = 34 \frac{5}{10}$

$16 \frac{4}{5} = 16 \frac{8}{10}$

Выполним вычитание, заняв единицу у целой части уменьшаемого:

$34 \frac{5}{10} - 16 \frac{8}{10} = 33 \frac{15}{10} - 16 \frac{8}{10} = (33 - 16) + (\frac{15}{10} - \frac{8}{10}) = 17 \frac{7}{10}$

Разница в стоимости составляет $17 \frac{7}{10}$ сольдо.

Ответ: Мальвина заплатила больше за апельсины на $17 \frac{7}{10}$ сольдо.

1085. Велосипедист Андрей ехал со скоростью $8\frac{3}{4}$ км/ч, а велосипедист Богдан — со скоростью, в $1\frac{1}{7}$ раза большей. Каким было расстояние между велосипедистами сначала, если Богдан догнал Андрея через $3\frac{4}{5}$ ч после того, как они одновременно начали двигаться?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость велосипедиста Богдана.

Скорость Андрея $v_А = 8\frac{3}{4}$ км/ч. Скорость Богдана $v_Б$ в $1\frac{1}{7}$ раза больше. Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:

$v_А = 8\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{35}{4}$ км/ч.

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Теперь вычислим скорость Богдана:

$v_Б = v_А \cdot 1\frac{1}{7} = \frac{35}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{35 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 7} = 5 \cdot 2 = 10$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения велосипедистов.

Так как Богдан догонял Андрея, они двигались в одном направлении. Скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_Б - v_А = 10 - 8\frac{3}{4} = 10 - \frac{35}{4} = \frac{40}{4} - \frac{35}{4} = \frac{5}{4}$ км/ч.

Скорость сближения составляет $1\frac{1}{4}$ км/ч.

3. Найдем первоначальное расстояние между велосипедистами.

Богдан догнал Андрея через $t = 3\frac{4}{5}$ ч. Первоначальное расстояние $S$ равно произведению скорости сближения на время, за которое Богдан догнал Андрея.

Переведем время в неправильную дробь:

$t = 3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{19}{5}$ ч.

Теперь вычислим расстояние:

$S = v_{сбл} \cdot t = \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{5} = \frac{5 \cdot 19}{4 \cdot 5} = \frac{19}{4}$ км.

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}$ км.

Ответ: $4\frac{3}{4}$ км.

1086. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью $10\frac{4}{5}$ км/ч, а мотоциклист — со скоростью, в $5\frac{5}{12}$ раза большей.

Найдите расстояние между городами, если велосипедист и мотоциклист встретились через $3\frac{1}{3}$ ч после начала движения.

Для того чтобы найти расстояние между городами, нужно последовательно выполнить три действия: найти скорость мотоциклиста, затем найти их общую скорость сближения и, наконец, умножить эту скорость на время до встречи.

1. Найдём скорость мотоциклиста

Скорость велосипедиста равна $10\frac{4}{5}$ км/ч. Скорость мотоциклиста в $5\frac{5}{12}$ раза больше. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Скорость велосипедиста: $v_{вело} = 10\frac{4}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{54}{5}$ км/ч.

Во сколько раз скорость мотоциклиста больше: $5\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{65}{12}$.

Теперь вычислим скорость мотоциклиста ($v_{мото}$), умножив скорость велосипедиста на полученное число:

$v_{мото} = \frac{54}{5} \cdot \frac{65}{12} = \frac{54 \cdot 65}{5 \cdot 12}$.

Сократим дробь ($54$ и $12$ на $6$; $65$ и $5$ на $5$):

$v_{мото} = \frac{9 \cdot 13}{1 \cdot 2} = \frac{117}{2} = 58,5$ км/ч.

2. Найдём скорость сближения

Поскольку они двигались навстречу друг другу, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей.

$v_{сбл} = v_{вело} + v_{мото} = \frac{54}{5} + \frac{117}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $10$:

$v_{сбл} = \frac{54 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{117 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{108}{10} + \frac{585}{10} = \frac{108 + 585}{10} = \frac{693}{10} = 69,3$ км/ч.

3. Найдём расстояние между городами

Расстояние ($S$) равно произведению скорости сближения на время в пути до встречи ($t$). Время равно $3\frac{1}{3}$ ч. Преобразуем его в неправильную дробь:

$t = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ ч.

Теперь вычислим расстояние:

$S = v_{сбл} \cdot t = \frac{693}{10} \cdot \frac{10}{3}$.

Сократим $10$ в числителе и знаменателе:

$S = \frac{693}{3} = 231$ км.

Ответ: 231 км.

1087.Лодка плыла $\frac{3}{5}$ ч против течения реки и $1\frac{1}{2}$ ч по течению. Какой путь преодолела лодка за всё время движения, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения — $1\frac{1}{3}$ км/ч?

Для того чтобы найти, какой путь преодолела лодка за всё время движения, необходимо вычислить расстояние, пройденное ею против течения и по течению, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычислим скорость лодки, когда она плыла против течения. Для этого нужно из собственной скорости лодки вычесть скорость течения:

$V_{против} = 18 - 1\frac{1}{3} = 17\frac{3}{3} - 1\frac{1}{3} = 16\frac{2}{3}$ км/ч.

2. Теперь найдем путь, пройденный лодкой против течения. Для этого умножим скорость против течения на время движения против течения ($\frac{3}{5}$ ч):

$S_{против} = 16\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{50}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{50 \times 3}{3 \times 5} = \frac{50}{5} = 10$ км.

3. Вычислим скорость лодки, когда она плыла по течению. Для этого нужно к собственной скорости лодки прибавить скорость течения:

$V_{по} = 18 + 1\frac{1}{3} = 19\frac{1}{3}$ км/ч.

4. Теперь найдем путь, пройденный лодкой по течению. Для этого умножим скорость по течению на время движения по течению ($1\frac{1}{2}$ ч):

$S_{по} = 19\frac{1}{3} \times 1\frac{1}{2} = \frac{58}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{58 \times 3}{3 \times 2} = \frac{58}{2} = 29$ км.

5. Наконец, найдем общий путь, который преодолела лодка, сложив путь против течения и путь по течению:

$S_{общий} = S_{против} + S_{по} = 10 + 29 = 39$ км.

Ответ: 39 км.

1088. Теплоход шёл 3 ч против течения и $1\frac{3}{5}$ ч по течению реки. На сколько километров меньше прошёл теплоход по течению, чем против течения, если скорость течения составляет $2\frac{1}{4}$ км/ч, а собственная скорость теплохода — $22\frac{1}{3}$ км/ч?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти расстояние, пройденное теплоходом против течения, затем расстояние, пройденное по течению, и, наконец, вычислить разницу между этими двумя расстояниями.

1. Найдем расстояние, которое теплоход прошел против течения. Для этого сначала вычислим его скорость против течения, вычтя скорость течения из собственной скорости теплохода:
$V_{против} = 22\frac{1}{3} \text{ км/ч} - 2\frac{1}{4} \text{ км/ч} = 22\frac{4}{12} - 2\frac{3}{12} = 20\frac{1}{12}$ км/ч.
Теперь умножим полученную скорость на время движения (3 ч):
$S_{против} = 20\frac{1}{12} \times 3 = \frac{241}{12} \times 3 = \frac{241}{4} = 60\frac{1}{4}$ км.

2. Найдем расстояние, которое теплоход прошел по течению. Его скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$V_{по} = 22\frac{1}{3} \text{ км/ч} + 2\frac{1}{4} \text{ км/ч} = 22\frac{4}{12} + 2\frac{3}{12} = 24\frac{7}{12}$ км/ч.
Теперь умножим эту скорость на время движения ($1\frac{3}{5}$ ч):
$S_{по} = 24\frac{7}{12} \times 1\frac{3}{5} = \frac{295}{12} \times \frac{8}{5} = \frac{295 \cdot 8}{12 \cdot 5} = \frac{59 \cdot 2}{3} = \frac{118}{3} = 39\frac{1}{3}$ км.

3. Чтобы найти, на сколько километров меньше прошел теплоход по течению, чем против течения, вычтем из расстояния, пройденного против течения, расстояние, пройденное по течению:
$S_{против} - S_{по} = 60\frac{1}{4} - 39\frac{1}{3} = 60\frac{3}{12} - 39\frac{4}{12} = 59\frac{15}{12} - 39\frac{4}{12} = 20\frac{11}{12}$ км.

Ответ: на $20\frac{11}{12}$ км.

1089. Одна швея может выполнить заказ за 4 ч, а другая — за 6 ч. Какую часть заказа они выполнят за $\frac{3}{4}$ ч, работая вместе? Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Какую часть заказа они выполнят за $\frac{3}{4}$ ч, работая вместе?

1. Сначала определим производительность труда каждой швеи, то есть какую часть заказа каждая из них выполняет за 1 час. Весь заказ примем за 1.
Производительность первой швеи: $P_1 = \frac{1}{4}$ заказа в час.
Производительность второй швеи: $P_2 = \frac{1}{6}$ заказа в час.

2. Теперь найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности.
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 12:
$P_{общ} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ заказа в час.

3. Зная общую производительность, вычислим, какую часть заказа швеи выполнят за $\frac{3}{4}$ часа. Для этого умножим общую производительность на время:
Выполненная работа = $P_{общ} \times \text{время} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{4} = \frac{5 \times 3}{12 \times 4} = \frac{15}{48}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

Ответ: За $\frac{3}{4}$ часа совместной работы швеи выполнят $\frac{5}{16}$ часть заказа.

Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Чтобы ответить на этот вопрос, можно либо найти, сколько времени потребуется на выполнение всего заказа, либо определить, какую часть заказа они выполнят за 3 часа.

Способ 1: Найдем общее время на выполнение заказа.
Время выполнения (T) равно отношению всей работы (1) к общей производительности ($P_{общ}$):
$T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = 1 \times \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$ часа.
Переведем в смешанное число: $T = 2\frac{2}{5}$ часа.
Поскольку $2\frac{2}{5}$ часа меньше, чем 3 часа, то времени им хватит.

Способ 2: Найдем, какую часть заказа они выполнят за 3 часа.
Для этого умножим общую производительность на 3 часа:
Выполненная работа = $P_{общ} \times \text{время} = \frac{5}{12} \times 3 = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
Поскольку $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$, что больше 1, это означает, что за 3 часа они выполнят весь заказ.

Ответ: Да, 3 часов им хватит, чтобы выполнить заказ.