Страница 246 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Как найти дробь от числа?

Чтобы найти дробь от числа, необходимо это число умножить на данную дробь. Есть два равнозначных способа сделать это для обыкновенных дробей.

Способ 1: Умножение числа на дробь

Самый распространённый способ — это умножить число на числитель дроби и результат разделить на знаменатель. Если число целое, его можно представить как дробь со знаменателем 1.

Формула для нахождения дроби $ \frac{a}{b} $ от числа $ c $: $ c \cdot \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{b} $.

Пример: Найти $ \frac{2}{5} $ от числа 30.

Решение:

Умножим число 30 на дробь $ \frac{2}{5} $. Для этого умножим 30 на числитель 2 и разделим на знаменатель 5.

$ 30 \cdot \frac{2}{5} = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{60}{5} = 12 $

Также можно сначала разделить число 30 на знаменатель 5 (если делится нацело), а затем умножить на числитель 2:

$ (30 \div 5) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12 $

Ответ: 12.

Способ 2: Поэтапные вычисления

Этот способ основан на определении дроби. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей нужно взять.

1. Сначала нужно разделить число на знаменатель дроби, чтобы найти величину одной части.

2. Затем нужно умножить полученный результат на числитель дроби, чтобы найти величину нескольких частей.

Пример: Найти $ \frac{2}{5} $ от числа 30.

Решение:

1. Находим, чему равна одна пятая часть ($ \frac{1}{5} $) от 30. Для этого делим 30 на знаменатель 5:

$ 30 \div 5 = 6 $

2. Теперь находим, чему равны две такие части. Для этого умножаем результат на числитель 2:

$ 6 \cdot 2 = 12 $

Ответ: 12.

Случай с десятичной дробью

Чтобы найти десятичную дробь от числа, нужно просто умножить число на эту десятичную дробь.

Пример: Найти 0,7 от числа 40.

Решение:

Умножим число 40 на 0,7:

$ 40 \cdot 0,7 = 28 $

Ответ: 28.

1. Корнем какого из данных уравнений является число $3\frac{1}{2}:$

1) $7x = 1;$

2) $\frac{7}{2}x = 1;$

3) $\frac{2}{7}x = 1;$

4) $2x = 1?$

Чтобы определить, корнем какого из данных уравнений является число $3\frac{1}{2}$, нужно подставить это число вместо $x$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений.

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь подставим значение $x = \frac{7}{2}$ в каждое из предложенных уравнений.

1) $7x = 1$

Подставляем $x = \frac{7}{2}$ в уравнение:

$7 \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{2} = 24.5$

Поскольку $24.5 \neq 1$, равенство неверное.

Ответ: число $3\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.

2) $\frac{7}{2}x = 1$

Подставляем $x = \frac{7}{2}$ в уравнение:

$\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{4} = 12.25$

Поскольку $12.25 \neq 1$, равенство неверное.

Ответ: число $3\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.

3) $\frac{2}{7}x = 1$

Подставляем $x = \frac{7}{2}$ в уравнение:

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{14}{14} = 1$

Поскольку $1 = 1$, равенство верное.

Ответ: число $3\frac{1}{2}$ является корнем этого уравнения.

4) $2x = 1$

Подставляем $x = \frac{7}{2}$ в уравнение:

$2 \cdot \frac{7}{2} = 7$

Поскольку $7 \neq 1$, равенство неверное.

Ответ: число $3\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.

2. Вычислите, используя распределительное свойство умножения:

1) $ \left(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}\right) \cdot 14; $

2) $ \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{6}\right) \cdot 24; $

3) $ \left(\frac{4}{15} - \frac{1}{30}\right) \cdot 30. $

1) Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}) \cdot 14$, применим распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 14:

$(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}) \cdot 14 = \frac{3}{7} \cdot 14 + \frac{5}{14} \cdot 14$

Теперь вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$\frac{3}{7} \cdot 14 = \frac{3 \cdot 14}{7} = 3 \cdot 2 = 6$

$\frac{5}{14} \cdot 14 = \frac{5 \cdot 14}{14} = 5$

Сложим полученные результаты:

$6 + 5 = 11$

Ответ: 11.

2) Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{8} + \frac{1}{6}) \cdot 24$ используем то же распределительное свойство умножения:

$(\frac{1}{8} + \frac{1}{6}) \cdot 24 = \frac{1}{8} \cdot 24 + \frac{1}{6} \cdot 24$

Рассчитаем каждое произведение:

$\frac{1}{8} \cdot 24 = \frac{24}{8} = 3$

$\frac{1}{6} \cdot 24 = \frac{24}{6} = 4$

Сложим результаты:

$3 + 4 = 7$

Ответ: 7.

3) Вычислим значение выражения $(\frac{4}{15} - \frac{1}{30}) \cdot 30$, применяя распределительное свойство умножения относительно вычитания: $(a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 30:

$(\frac{4}{15} - \frac{1}{30}) \cdot 30 = \frac{4}{15} \cdot 30 - \frac{1}{30} \cdot 30$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое отдельно:

$\frac{4}{15} \cdot 30 = \frac{4 \cdot 30}{15} = 4 \cdot 2 = 8$

$\frac{1}{30} \cdot 30 = \frac{1 \cdot 30}{30} = 1$

Теперь выполним вычитание:

$8 - 1 = 7$

Ответ: 7.

3. Трое друзей поймали 5 кг рыбы и поделили её между собой поровну. Какую часть улова получил каждый из друзей? Сколько килограммов рыбы досталось каждому?

Какую часть улова получил каждый из друзей?
Весь улов принимается за одну целую единицу (1). Так как трое друзей поделили улов поровну, чтобы найти часть, которая досталась каждому, нужно единицу разделить на количество друзей.
$1 : 3 = \frac{1}{3}$
Ответ: каждый из друзей получил $\frac{1}{3}$ часть улова.

Сколько килограммов рыбы досталось каждому?
Общий вес пойманной рыбы составляет 5 кг. Чтобы узнать, сколько килограммов рыбы досталось каждому из трёх друзей, необходимо общий вес разделить на их количество.
$5 \text{ кг} : 3 = \frac{5}{3} \text{ кг}$
Представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа, выделив целую часть:
$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ кг
Это значит, что каждый друг получил 1 килограмм и еще $\frac{2}{3}$ килограмма рыбы.
Ответ: каждому досталось $1\frac{2}{3}$ кг рыбы.