Страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1098. Найдите:

1) $ \frac{3}{5} $ от числа 60;

2) $ \frac{5}{6} $ от числа $ \frac{3}{20} $;

3) $ \frac{3}{8} $ от числа $ 2\frac{2}{3} $.

1) Чтобы найти $\frac{3}{5}$ от числа 60, нужно умножить число 60 на эту дробь:

$$60 \cdot \frac{3}{5} = \frac{60 \cdot 3}{5}$$

Можно сначала разделить 60 на знаменатель 5, а затем результат умножить на числитель 3:

$$(60 : 5) \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36$$

Ответ: 36

2) Чтобы найти $\frac{5}{6}$ от числа $\frac{3}{20}$, необходимо перемножить эти дроби:

$$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{20} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 20}$$

Перед умножением сократим множители: 5 и 20 делятся на 5, а 3 и 6 делятся на 3.

$$\frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}^2 \cdot \cancel{20}^4} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$$

Ответ: $\frac{1}{8}$

3) Чтобы найти $\frac{3}{8}$ от числа $2\frac{2}{3}$, сначала представим смешанное число $2\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:

$$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$

Теперь умножим полученную дробь на $\frac{3}{8}$:

$$\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = \frac{24}{24} = 1$$

Ответ: 1

1099. Сколько градусов содержит угол, который составляет:

1) $\frac{2}{15}$ прямого угла;

2) $\frac{13}{20}$ развёрнутого угла?

1) $\frac{2}{15}$ прямого угла

Прямой угол равен $90^\circ$. Чтобы найти, какую часть от него составляет угол, нужно умножить градусную меру прямого угла на заданную дробь.

Вычислим $\frac{2}{15}$ от $90^\circ$:

$\frac{2}{15} \cdot 90^\circ = \frac{2 \cdot 90^\circ}{15}$

Сократим $90$ и $15$ на $15$:

$\frac{2 \cdot 6^\circ}{1} = 12^\circ$

Таким образом, угол составляет $12^\circ$.

Ответ: $12^\circ$

2) $\frac{13}{20}$ развёрнутого угла

Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Чтобы найти, какую часть от него составляет угол, нужно умножить градусную меру развёрнутого угла на заданную дробь.

Вычислим $\frac{13}{20}$ от $180^\circ$:

$\frac{13}{20} \cdot 180^\circ = \frac{13 \cdot 180^\circ}{20}$

Сократим $180$ и $20$ на $20$:

$\frac{13 \cdot 9^\circ}{1} = 117^\circ$

Таким образом, угол составляет $117^\circ$.

Ответ: $117^\circ$

1100. Сколько градусов содержит угол, который составляет:

1) $\frac{23}{18}$ прямого угла;

2) $\frac{11}{12}$ развёрнутого угла?

Чтобы решить эту задачу, необходимо знать, сколько градусов содержит прямой и развёрнутый углы. Прямой угол равен $90^\circ$, а развёрнутый угол — $180^\circ$.

1) $\frac{23}{18}$ прямого угла

Чтобы найти, сколько градусов составляет $\frac{23}{18}$ от прямого угла, нужно величину прямого угла ($90^\circ$) умножить на дробь $\frac{23}{18}$.

$\frac{23}{18} \cdot 90^\circ = \frac{23 \cdot 90^\circ}{18}$

Сократим 90 и 18 на 18 (поскольку $90 \div 18 = 5$):

$23 \cdot 5^\circ = 115^\circ$

Таким образом, угол составляет $115^\circ$.

Ответ: $115^\circ$.

2) $\frac{11}{12}$ развёрнутого угла

Чтобы найти, сколько градусов составляет $\frac{11}{12}$ от развёрнутого угла, нужно величину развёрнутого угла ($180^\circ$) умножить на дробь $\frac{11}{12}$.

$\frac{11}{12} \cdot 180^\circ = \frac{11 \cdot 180^\circ}{12}$

Сократим 180 и 12 на 12 (поскольку $180 \div 12 = 15$):

$11 \cdot 15^\circ = 165^\circ$

Таким образом, угол составляет $165^\circ$.

Ответ: $165^\circ$.

1101. Миша собрал 91 гриб, из них $\frac{5}{13}$ составляли белые. Сколько белых грибов собрал Миша?

Чтобы найти количество белых грибов, нужно вычислить, чему равна дробь $\frac{5}{13}$ от общего количества грибов, равного 91.

Для того чтобы найти дробь от числа, необходимо это число умножить на данную дробь.

Выполним вычисление:

$91 \cdot \frac{5}{13}$

Это можно сделать в два действия:

1. Сначала найдем, сколько грибов составляет одна тринадцатая часть ($\frac{1}{13}$) от общего количества. Для этого разделим общее число грибов на знаменатель дроби:

$91 \div 13 = 7$ (грибов)

2. Теперь, зная, что на одну часть приходится 7 грибов, найдем, сколько грибов составляют пять таких частей ($\frac{5}{13}$). Для этого умножим результат первого действия на числитель дроби:

$7 \cdot 5 = 35$ (грибов)

Таким образом, Миша собрал 35 белых грибов.

Ответ: 35

1102. Оля испекла 45 пирожков, из них $ \frac{4}{9} $ составляли пирожки с вишней.

Сколько пирожков с вишней испекла Оля?

Чтобы найти количество пирожков с вишней, необходимо вычислить, чему равняется $\frac{4}{9}$ от общего числа пирожков, которое составляет 45. Для этого можно сначала найти, сколько пирожков составляет $\frac{1}{9}$ от общего количества, а затем умножить это число на 4.

1. Разделим общее количество пирожков на знаменатель дроби, чтобы найти величину одной части:

$45 : 9 = 5$ (пирожков) — составляет $\frac{1}{9}$ от всех пирожков.

2. Умножим полученное число на числитель дроби, чтобы найти, сколько пирожков составляют четыре таких части:

$5 \cdot 4 = 20$ (пирожков).

Также это можно вычислить одним действием, умножив общее количество на дробь:

$45 \cdot \frac{4}{9} = \frac{45 \cdot 4}{9} = 5 \cdot 4 = 20$ (пирожков).

Ответ: 20 пирожков.

1103. Медь составляет $\frac{4}{7}$ массы сплава. Сколько килограммов меди содержится в 280 кг такого сплава?

Чтобы найти массу меди в сплаве, нужно общую массу сплава умножить на долю меди в этом сплаве.

Общая масса сплава равна 280 кг.

Доля меди в сплаве составляет $ \frac{4}{7} $.

Найдем массу меди, выполнив умножение:

$ 280 \cdot \frac{4}{7} = \frac{280 \cdot 4}{7} $

Сначала разделим 280 на 7:

$ 280 : 7 = 40 $

Теперь умножим полученный результат на 4:

$ 40 \cdot 4 = 160 $ (кг)

Следовательно, в 280 кг сплава содержится 160 кг меди.

Ответ: 160 кг.

1104. Соль составляет $\frac{5}{9}$ массы раствора. Сколько килограммов соли содержится в 18 кг такого раствора?

Для того чтобы найти массу соли в растворе, нужно общую массу раствора умножить на часть, которую составляет соль.

Общая масса раствора равна 18 кг.

Доля соли в растворе составляет $ \frac{5}{9} $.

Вычислим массу соли:

$ 18 \cdot \frac{5}{9} = \frac{18 \cdot 5}{9} $

Сократим 18 и 9 на 9:

$ \frac{18^{2} \cdot 5}{9^{1}} = 2 \cdot 5 = 10 $ (кг)

Следовательно, в 18 кг раствора содержится 10 кг соли.

Ответ: 10 кг.

1105. Во время Северной войны (1700–1721) между Россией и Швецией у деревни Лесной 28 сентября 1708 г. русская армия разбила шестнадцатитысячное шведское войско. Численность русской армии составляла $\frac{7}{8}$ численности шведской. Какова была численность русской армии, сражавшейся у деревни Лесной?

Для того чтобы найти численность русской армии, необходимо вычислить, чему равна $ \frac{7}{8} $ от численности шведского войска, которая составляла 16 000 человек. Нахождение дроби от числа — это операция умножения числа на эту дробь.

1. Сначала определим, чему равна $ \frac{1}{8} $ часть от 16 000. Для этого разделим общую численность шведского войска на знаменатель дроби:

$16000 \div 8 = 2000$ человек.

2. Теперь, зная, что $ \frac{1}{8} $ составляет 2000 человек, мы можем найти, чему равны семь таких частей ($ \frac{7}{8} $). Для этого умножим полученное значение на числитель дроби:

$2000 \times 7 = 14000$ человек.

Таким образом, численность русской армии составляла 14 000 человек.

Это же вычисление можно записать одним выражением:

$16000 \times \frac{7}{8} = \frac{16000 \times 7}{8} = 2000 \times 7 = 14000$ человек.

Ответ: численность русской армии, сражавшейся у деревни Лесной, составляла 14 000 человек.

1106. Колокольня Ивана Великого на территории Московского Кремля стоит на небольшом фундаменте, сложенном из глыб белого камня в виде пирамиды, расширяющейся в глубину. Каменный фундамент колокольни для прочности опирается на свайное основание, образованное большим количеством вбитых в землю брёвен. Глубина на фундамента составляет $\frac{2}{27}$ высоты колокольни, а длина брёвен свайного основания — $\frac{2}{3}$ глубины фундамента. Вычислите глубину фундамента колокольни (в метрах) и длину свай (в сантиметрах), если высота колокольни равна 81 м.

Для решения задачи необходимо выполнить два последовательных вычисления.

1. Вычислим глубину фундамента колокольни (в метрах).

По условию задачи, высота колокольни составляет 81 м. Глубина фундамента равна $ \frac{2}{27} $ от её высоты. Чтобы найти эту величину, нужно высоту колокольни умножить на данную дробь:
$ 81 \cdot \frac{2}{27} = \frac{81 \cdot 2}{27} $
Сократим 81 и 27 (так как $ 81 = 3 \cdot 27 $):
$ \frac{3 \cdot 27 \cdot 2}{27} = 3 \cdot 2 = 6 $ (м).
Таким образом, глубина фундамента колокольни составляет 6 метров.
Ответ: 6 м.

2. Вычислим длину свай (в сантиметрах).

Из условия известно, что длина брёвен свайного основания составляет $ \frac{2}{3} $ от глубины фундамента. Мы уже определили, что глубина фундамента равна 6 м. Вычислим длину свай в метрах:
$ 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4 $ (м).
Теперь необходимо перевести полученное значение в сантиметры. Поскольку в одном метре 100 сантиметров, умножим результат на 100:
$ 4 \text{ м} = 4 \cdot 100 \text{ см} = 400 \text{ см} $.
Таким образом, длина свай составляет 400 сантиметров.
Ответ: 400 см.