Страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие два числа называют взаимно обратными?

1.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице. Это означает, что если у нас есть два числа, $a$ и $b$, не равные нулю, то они являются взаимно обратными, если выполняется следующее равенство:

$$ a \cdot b = 1 $$

Из этого следует, что для любого числа $a$ (кроме нуля), обратным ему будет число $b = \frac{1}{a}$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Для целого числа: число, обратное 7, это дробь $\frac{1}{7}$, потому что их произведение $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.
• Для обыкновенной дроби: чтобы найти обратную дробь, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Например, для дроби $\frac{3}{5}$ обратной будет дробь $\frac{5}{3}$, так как $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1$.
• Для десятичной дроби: сначала её можно представить в виде обыкновенной дроби, а затем найти обратную. Например, число 0,2 равно $\frac{2}{10}$, что сокращается до $\frac{1}{5}$. Обратным для $\frac{1}{5}$ будет число $\frac{5}{1}$, то есть 5. Проверка: $0,2 \cdot 5 = 1$.

Важно отметить, что число 0 не имеет обратного числа, так как деление на ноль невозможно.

Ответ: Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1.

2. Существует ли число, обратное самому себе?

Да, такое число существует, и даже не одно.

Числом, обратным числу $a$ (при $a \neq 0$), называется число $\frac{1}{a}$, такое, что их произведение равно 1, то есть $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

Чтобы найти число, обратное самому себе, нам нужно решить уравнение, в котором число $x$ равно своему обратному числу:

$x = \frac{1}{x}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $x$. Это действие является корректным, так как для существования обратного числа $x$ не может быть равно нулю ($x \neq 0$).

$x \cdot x = \frac{1}{x} \cdot x$

Получаем уравнение:

$x^2 = 1$

Это квадратное уравнение имеет два корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Проверим оба найденных значения:
- Для числа 1: обратным числом является $\frac{1}{1} = 1$. Число равно своему обратному.
- Для числа -1: обратным числом является $\frac{1}{-1} = -1$. Число также равно своему обратному.

Таким образом, мы нашли два числа, которые являются обратными самим себе.

Ответ: Да, существуют. Это числа 1 и -1.

3. Для любого ли числа существует обратное ему число?

Нет, обратное число существует не для любого числа.

По определению, число $b$ является обратным к числу $a$, если их произведение равно единице: $a \cdot b = 1$. Обратное к числу $a$ (если оно существует) обозначается как $\frac{1}{a}$ или $a^{-1}$.

Для любого числа $a$, не равного нулю, обратное число существует и равно $\frac{1}{a}$. Например:

• Для числа $5$ обратным является число $\frac{1}{5}$, так как $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$.
• Для числа $-\frac{2}{3}$ обратным является число $-\frac{3}{2}$, так как $(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{2}) = 1$.
• Для числа $\sqrt{2}$ обратным является число $\frac{1}{\sqrt{2}}$, так как $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.

Рассмотрим случай, когда число равно нулю ($a = 0$). Если бы для нуля существовало обратное число $b$, то должно было бы выполняться равенство: $0 \cdot b = 1$. Однако, согласно свойству умножения, произведение любого числа на ноль всегда равно нулю: $0 \cdot b = 0$. Таким образом, мы приходим к противоречию $0 = 1$, что является неверным. Это доказывает, что не существует такого числа, которое при умножении на ноль дало бы единицу.

Следовательно, для числа 0 не существует обратного ему числа.

Ответ: Нет, не для любого. Для числа 0 обратного числа не существует.

4. Какое число является обратным числу $\frac{a}{b}$?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице.

Пусть дано число $\frac{a}{b}$. Обозначим обратное ему число как $x$. Согласно определению, должно выполняться следующее равенство:

$\frac{a}{b} \cdot x = 1$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 1 на дробь $\frac{a}{b}$. Деление на дробь равносильно умножению на перевёрнутую (обратную) дробь:

$x = 1 \div \frac{a}{b} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a}$

Таким образом, числом, обратным числу $\frac{a}{b}$, является число $\frac{b}{a}$. Это справедливо при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Проверим, равно ли их произведение единице:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$

Равенство выполняется, значит, числа являются взаимно обратными.

Ответ: $\frac{b}{a}$

5. Какое число является обратным натуральному числу $n$?

По определению, два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Иными словами, для числа $a$ обратным является такое число $x$, что выполняется равенство: $a \cdot x = 1$.

В данном случае нам дано натуральное число $n$. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов: $1, 2, 3, \ldots$ .

Чтобы найти число, обратное числу $n$, нам нужно решить уравнение $n \cdot x = 1$ относительно $x$.

Разделим обе части уравнения на $n$. Так как $n$ — натуральное число, оно по определению не равно нулю ($n \ge 1$), поэтому такое деление возможно.

$x = \frac{1}{n}$

Таким образом, числом, обратным натуральному числу $n$, является число $\frac{1}{n}$.

Например:

• для числа 3 обратным будет $\frac{1}{3}$, так как $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$;
• для числа 10 обратным будет $\frac{1}{10}$, так как $10 \cdot \frac{1}{10} = 1$;
• для числа 1 обратным будет $\frac{1}{1} = 1$, так как $1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $\frac{1}{n}$

6. Сформулируйте правило деления дробей.

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная данной, получается путем перестановки числителя и знаменателя.

В общем виде это правило записывается следующей формулой:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Таким образом, для деления дробей нужно выполнить следующие шаги:

1. Первую дробь (делимое) оставить без изменений.
2. Знак деления (:) заменить на знак умножения (·).
3. Вторую дробь (делитель) "перевернуть" (найти обратную ей дробь), то есть поменять местами её числитель и знаменатель.
4. Выполнить умножение дробей: перемножить числители и результат записать в числитель новой дроби; перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.
5. Если возможно, сократить полученную дробь до несократимого вида.

Пример:

Выполним деление дроби $\frac{2}{5}$ на дробь $\frac{3}{4}$:

$\frac{2}{5} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15}$

Полученная дробь $\frac{8}{15}$ является несократимой, следовательно, это окончательный результат.

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю (то есть умножить первую дробь на перевёрнутую вторую).

1. Сколько килограммов содержится:

1) в $\frac{1}{4}$ Т;

2) в $\frac{1}{5}$ Т;

3) в $\frac{3}{10}$ Т;

4) в $\frac{2}{5}$ Ц;

5) в $\frac{3}{25}$ Ц;

6) в $\frac{7}{20}$ Ц?

Для решения этой задачи необходимо знать основные соотношения единиц массы:

• 1 тонна (т) = 1000 килограммов (кг)
• 1 центнер (ц) = 100 килограммов (кг)

Чтобы найти, сколько килограммов составляет указанная часть тонны или центнера, нужно умножить эту часть (дробь) на соответствующее количество килограммов в целой единице.

1) в $\frac{1}{4}$ т

Умножаем долю на количество килограммов в одной тонне:

$\frac{1}{4} \text{ т} = \frac{1}{4} \times 1000 \text{ кг} = \frac{1000}{4} \text{ кг} = 250 \text{ кг}$.

Ответ: 250 кг.

2) в $\frac{1}{5}$ т

Умножаем долю на количество килограммов в одной тонне:

$\frac{1}{5} \text{ т} = \frac{1}{5} \times 1000 \text{ кг} = \frac{1000}{5} \text{ кг} = 200 \text{ кг}$.

Ответ: 200 кг.

3) в $\frac{3}{10}$ т

Умножаем долю на количество килограммов в одной тонне:

$\frac{3}{10} \text{ т} = \frac{3}{10} \times 1000 \text{ кг} = 3 \times \frac{1000}{10} \text{ кг} = 3 \times 100 \text{ кг} = 300 \text{ кг}$.

Ответ: 300 кг.

4) в $\frac{2}{5}$ ц

Умножаем долю на количество килограммов в одном центнере:

$\frac{2}{5} \text{ ц} = \frac{2}{5} \times 100 \text{ кг} = 2 \times \frac{100}{5} \text{ кг} = 2 \times 20 \text{ кг} = 40 \text{ кг}$.

Ответ: 40 кг.

5) в $\frac{3}{25}$ ц

Умножаем долю на количество килограммов в одном центнере:

$\frac{3}{25} \text{ ц} = \frac{3}{25} \times 100 \text{ кг} = 3 \times \frac{100}{25} \text{ кг} = 3 \times 4 \text{ кг} = 12 \text{ кг}$.

Ответ: 12 кг.

6) в $\frac{7}{20}$ ц

Умножаем долю на количество килограммов в одном центнере:

$\frac{7}{20} \text{ ц} = \frac{7}{20} \times 100 \text{ кг} = 7 \times \frac{100}{20} \text{ кг} = 7 \times 5 \text{ кг} = 35 \text{ кг}$.

Ответ: 35 кг.

2. Назовите все дроби, которые больше, чем $ \frac{1}{10} $, и числитель которых равен 1.

По условию, мы ищем дроби, числитель которых равен 1. Такие дроби можно записать в общем виде как $\frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число (знаменатель дроби).

Также по условию, эти дроби должны быть больше, чем $\frac{1}{10}$. Запишем это условие в виде неравенства: $\frac{1}{n} > \frac{1}{10}$

При сравнении двух дробей с одинаковыми положительными числителями (в данном случае числитель равен 1), большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно, чтобы неравенство $\frac{1}{n} > \frac{1}{10}$ было верным, знаменатель $n$ должен быть меньше 10: $n < 10$

Поскольку $n$ — это натуральное число, оно может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Подставляя эти значения в качестве знаменателя, мы получаем все искомые дроби.

Ответ: $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}$.

3. Решите уравнение:

1) $6x = 636$

2) $84 : x = 7$

3) $x \cdot 43 = 43$

1) Решим уравнение $6x = 636$.

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (636) разделить на известный множитель (6).

$x = 636 : 6$

Выполним деление:

$636 : 6 = (600 + 36) : 6 = 600 : 6 + 36 : 6 = 100 + 6 = 106$

$x = 106$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$6 \cdot 106 = 636$

$636 = 636$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: 106

2) Решим уравнение $84 : x = 7$.

В данном уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое (84) разделить на частное (7).

$x = 84 : 7$

Выполним деление:

$84 : 7 = (70 + 14) : 7 = 70 : 7 + 14 : 7 = 10 + 2 = 12$

$x = 12$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$84 : 12 = 7$

$7 = 7$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: 12

3) Решим уравнение $x \cdot 43 = 43$.

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (43) разделить на известный множитель (43).

$x = 43 : 43$

$x = 1$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$1 \cdot 43 = 43$

$43 = 43$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: 1

4. Чему равно значение выражения:

1) $13a + 13b$, если $a + b = 10$;

2) $45m - 45n$, если $m - n = 20$?

1) $13a + 13b$, если $a + b = 10$;

Для решения этой задачи мы можем вынести общий множитель за скобки. В выражении $13a + 13b$ общим множителем является число 13.

Применив распределительный закон умножения, получаем:

$13a + 13b = 13(a + b)$

Согласно условию, нам известно, что $a + b = 10$. Теперь мы можем подставить это значение в полученное выражение:

$13 \cdot (a + b) = 13 \cdot 10 = 130$

Ответ: 130

2) $45m - 45n$, если $m - n = 20$?

Аналогично первому пункту, мы выносим общий множитель за скобки. В выражении $45m - 45n$ общим множителем является число 45.

Выносим 45 за скобки:

$45m - 45n = 45(m - n)$

Из условия задачи нам дано, что $m - n = 20$. Подставим это значение в наше выражение:

$45 \cdot (m - n) = 45 \cdot 20 = 900$

Ответ: 900

1129. Укажите число, обратное числу:

1) $\frac{3}{5}$;

2) 12;

3) $3 \frac{2}{9}$;

4) $\frac{1}{17}$.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данному (кроме 0), нужно 1 разделить на это число. Для нахождения числа, обратного дроби $\frac{a}{b}$, достаточно поменять местами числитель и знаменатель, получив дробь $\frac{b}{a}$.

1) Дано число $\frac{3}{5}$.
Чтобы найти обратное ему число, нужно поменять местами числитель (3) и знаменатель (5).
Получаем дробь $\frac{5}{3}$.
Можно также представить эту неправильную дробь в виде смешанного числа: $1\frac{2}{3}$.
Проверка: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{3 \times 5}{5 \times 3} = \frac{15}{15} = 1$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

2) Дано число 12.
Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $12 = \frac{12}{1}$.
Теперь найдем обратное число для дроби $\frac{12}{1}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{1}{12}$.
Проверка: $12 \times \frac{1}{12} = \frac{12}{1} \times \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

3) Дано смешанное число $3\frac{2}{9}$.
Сначала представим его в виде неправильной дроби:
$3\frac{2}{9} = \frac{3 \times 9 + 2}{9} = \frac{27 + 2}{9} = \frac{29}{9}$.
Теперь найдем обратное число для дроби $\frac{29}{9}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{9}{29}$.
Проверка: $\frac{29}{9} \times \frac{9}{29} = \frac{29 \times 9}{9 \times 29} = 1$.
Ответ: $\frac{9}{29}$.

4) Дано число $\frac{1}{17}$.
Чтобы найти обратное ему число, нужно поменять местами числитель (1) и знаменатель (17).
Получаем дробь $\frac{17}{1}$, что равно 17.
Проверка: $\frac{1}{17} \times 17 = \frac{1}{17} \times \frac{17}{1} = \frac{17}{17} = 1$.
Ответ: 17.

1130.Являются ли взаимно обратными числа:

1) $3\frac{1}{6}$ и $\frac{6}{19}$;

2) $\frac{2}{5}$ и $2\frac{1}{2}$;

3) $1\frac{1}{5}$ и $\frac{5}{6}$;

4) $\frac{6}{7}$ и $\frac{6}{7}$?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это условие для каждой пары чисел.

1) Проверим, являются ли числа $3\frac{1}{6}$ и $\frac{6}{19}$ взаимно обратными.

Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{18 + 1}{6} = \frac{19}{6}$

Теперь найдем произведение этих чисел:

$\frac{19}{6} \cdot \frac{6}{19} = \frac{19 \cdot 6}{6 \cdot 19} = 1$

Поскольку произведение равно 1, данные числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

2) Проверим, являются ли числа $\frac{2}{5}$ и $2\frac{1}{2}$ взаимно обратными.

Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Найдем произведение этих чисел:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 2} = 1$

Поскольку произведение равно 1, данные числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

3) Проверим, являются ли числа $1\frac{1}{5}$ и $\frac{5}{6}$ взаимно обратными.

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Найдем произведение этих чисел:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 6} = 1$

Поскольку произведение равно 1, данные числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

4) Проверим, являются ли числа $\frac{6}{7}$ и $\frac{6}{7}$ взаимно обратными.

Найдем произведение этих чисел:

$\frac{6}{7} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 6}{7 \cdot 7} = \frac{36}{49}$

Произведение не равно 1 ($ \frac{36}{49} \neq 1 $), следовательно, данные числа не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.

1131. Укажите число, обратное числу:

1) $\frac{7}{11}$;

2) $6$;

3) $2\frac{2}{5}$;

4) $\frac{1}{9}$.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данному ($ a $), нужно найти такое число ($ b $), чтобы выполнялось равенство $ a \cdot b = 1 $. Такое число $ b $ равно $ \frac{1}{a} $.

1) Чтобы найти число, обратное дроби $ \frac{7}{11} $, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.

Получаем дробь $ \frac{11}{7} $. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $ \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} $.

Проверка: $ \frac{7}{11} \times \frac{11}{7} = 1 $.

Ответ: $ \frac{11}{7} $.

2) Чтобы найти число, обратное натуральному числу 6, представим его в виде дроби со знаменателем 1: $ 6 = \frac{6}{1} $.

Число, обратное дроби $ \frac{6}{1} $, это дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами: $ \frac{1}{6} $.

Проверка: $ 6 \times \frac{1}{6} = \frac{6}{1} \times \frac{1}{6} = 1 $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

3) Чтобы найти число, обратное смешанному числу $ 2\frac{2}{5} $, сначала необходимо преобразовать его в неправильную дробь.

$ 2\frac{2}{5} = \frac{2 \times 5 + 2}{5} = \frac{10+2}{5} = \frac{12}{5} $.

Теперь найдем число, обратное дроби $ \frac{12}{5} $, поменяв местами ее числитель и знаменатель. Получаем дробь $ \frac{5}{12} $.

Проверка: $ 2\frac{2}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \times \frac{5}{12} = 1 $.

Ответ: $ \frac{5}{12} $.

4) Чтобы найти число, обратное дроби $ \frac{1}{9} $, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.

Получаем дробь $ \frac{9}{1} $, что равно натуральному числу 9.

Проверка: $ \frac{1}{9} \times 9 = \frac{1}{9} \times \frac{9}{1} = 1 $.

Ответ: 9.

1132. Верно ли, что:

1) для любой правильной дроби обратное число будет неправильной дробью;

2) для любой неправильной дроби обратное число будет правильной дробью?

1)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Возьмем любую правильную дробь в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению, для правильной дроби выполняется неравенство $a < b$.

Обратное число для дроби $\frac{a}{b}$ — это дробь $\frac{b}{a}$.

Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В дроби $\frac{b}{a}$ числитель равен $b$, а знаменатель равен $a$. Так как изначальное условие было $a < b$, то для обратной дроби верно, что $b > a$. Это означает, что числитель обратной дроби больше ее знаменателя.

Таким образом, для любой правильной дроби обратное число всегда будет неправильной дробью.

Ответ: да, верно.

2)

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Возьмем любую неправильную дробь в виде $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению, для неправильной дроби выполняется неравенство $c \geq d$.

Обратное число для дроби $\frac{c}{d}$ — это дробь $\frac{d}{c}$.

Чтобы дробь $\frac{d}{c}$ была правильной, ее числитель $d$ должен быть строго меньше знаменателя $c$, то есть должно выполняться условие $d < c$.

Рассмотрим два случая, которые возможны для неправильной дроби $\frac{c}{d}$:

1. Если числитель строго больше знаменателя, то есть $c > d$. В этом случае для обратной дроби $\frac{d}{c}$ будет выполняться условие $d < c$, и она будет правильной. Например, для неправильной дроби $\frac{5}{2}$ обратная дробь $\frac{2}{5}$ является правильной.

2. Если числитель равен знаменателю, то есть $c = d$. В этом случае исходная дробь равна 1 (например, $\frac{3}{3}$). Обратное число к 1 также равно 1, что можно записать в виде дроби $\frac{3}{3}$. Эта дробь не является правильной, так как ее числитель равен знаменателю, а не меньше его. Она является неправильной.

Поскольку утверждение должно выполняться для любой неправильной дроби, а мы нашли контрпример (любая неправильная дробь, равная 1), то данное утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.