Номер 1132, страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Упражнения - номер 1132, страница 253.

Условие.

1132. Верно ли, что:

1) для любой правильной дроби обратное число будет неправильной дробью;

2) для любой неправильной дроби обратное число будет правильной дробью?

Решение.

Решение 2.

1)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Возьмем любую правильную дробь в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению, для правильной дроби выполняется неравенство $a < b$.

Обратное число для дроби $\frac{a}{b}$ — это дробь $\frac{b}{a}$.

Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В дроби $\frac{b}{a}$ числитель равен $b$, а знаменатель равен $a$. Так как изначальное условие было $a < b$, то для обратной дроби верно, что $b > a$. Это означает, что числитель обратной дроби больше ее знаменателя.

Таким образом, для любой правильной дроби обратное число всегда будет неправильной дробью.

Ответ: да, верно.

2)

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Возьмем любую неправильную дробь в виде $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению, для неправильной дроби выполняется неравенство $c \geq d$.

Обратное число для дроби $\frac{c}{d}$ — это дробь $\frac{d}{c}$.

Чтобы дробь $\frac{d}{c}$ была правильной, ее числитель $d$ должен быть строго меньше знаменателя $c$, то есть должно выполняться условие $d < c$.

Рассмотрим два случая, которые возможны для неправильной дроби $\frac{c}{d}$:

1. Если числитель строго больше знаменателя, то есть $c > d$. В этом случае для обратной дроби $\frac{d}{c}$ будет выполняться условие $d < c$, и она будет правильной. Например, для неправильной дроби $\frac{5}{2}$ обратная дробь $\frac{2}{5}$ является правильной.

2. Если числитель равен знаменателю, то есть $c = d$. В этом случае исходная дробь равна 1 (например, $\frac{3}{3}$). Обратное число к 1 также равно 1, что можно записать в виде дроби $\frac{3}{3}$. Эта дробь не является правильной, так как ее числитель равен знаменателю, а не меньше его. Она является неправильной.

Поскольку утверждение должно выполняться для любой неправильной дроби, а мы нашли контрпример (любая неправильная дробь, равная 1), то данное утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.