Страница 259 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Как найти число по значению его дроби?

Чтобы найти число по значению его дроби, нужно это значение (которое выражает часть числа) разделить на саму дробь.

Формулировка правила

Если известно, что какая-то часть числа, выраженная дробью $\frac{m}{n}$, равна $b$, то чтобы найти всё число, нужно значение $b$ разделить на дробь $\frac{m}{n}$.
Формула для нахождения целого числа $x$:
$x = b \div \frac{m}{n} = b \cdot \frac{n}{m}$

Логическое объяснение и пошаговый алгоритм

Дробь $\frac{m}{n}$ означает, что целое разделили на $n$ равных долей и взяли $m$ таких долей. Нам дано значение ($b$) именно этих $m$ долей.
1. Находим величину одной доли ($1/n$). Если $m$ долей равны $b$, то одна доля будет в $m$ раз меньше. Для этого делим известное значение на числитель дроби:
$b \div m$
2. Находим величину целого. Целое состоит из $n$ таких долей. Умножаем величину одной доли на знаменатель дроби:
$(b \div m) \cdot n$
Эти два действия равносильны делению значения на дробь.

Пример 1: Найти число, если $\frac{2}{3}$ его равны 18.

Решение:
Нам известно значение ($18$), которое составляет дробь ($\frac{2}{3}$) от искомого числа. Чтобы найти всё число, разделим значение на эту дробь.
$18 \div \frac{2}{3} = 18 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} = 9 \cdot 3 = 27$
Проверка: Найдем $\frac{2}{3}$ от числа 27. $27 \cdot \frac{2}{3} = \frac{27 \cdot 2}{3} = 9 \cdot 2 = 18$. Всё верно.
Ответ: 27.

Пример 2: В классе 15 девочек, что составляет 60% всех учащихся. Сколько всего учащихся в классе?

Решение:
1. Сначала переведем проценты в дробь.
$60\% = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
2. Теперь задача звучит так: найти число, если $\frac{3}{5}$ его равны 15.
3. Делим значение (15) на дробь ($\frac{3}{5}$).
$15 \div \frac{3}{5} = 15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25$
Ответ: 25.

1. За какое время работник выполнит всю работу, если за 1 ч он выполнил:

1) $\frac{1}{5}$ работы;

2) $\frac{3}{8}$ работы?

1)

Примем всю работу за 1 (одну целую). По условию, за 1 час работник выполняет $\frac{1}{5}$ всей работы. Это его производительность. Чтобы найти время, за которое будет выполнена вся работа, необходимо разделить весь объём работы (1) на производительность работника ($\frac{1}{5}$ работы в час).

Пусть $T$ – искомое время. Тогда:

$T = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \cdot \frac{5}{1} = 5$ (часов)

Таким образом, всю работу работник выполнит за 5 часов.

Ответ: 5 часов.

2)

Аналогично, примем всю работу за 1. По условию, за 1 час работник выполняет $\frac{3}{8}$ всей работы. Следовательно, его производительность составляет $\frac{3}{8}$ работы в час. Чтобы найти общее время выполнения работы, разделим весь объём работы на производительность.

Пусть $T$ – искомое время. Тогда:

$T = \frac{1}{\frac{3}{8}} = 1 \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$ (часа)

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ (часа)

Можно также перевести дробную часть часа в минуты. В одном часе 60 минут, значит:

$\frac{2}{3} \text{ часа} = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ (минут)

Таким образом, работник выполнит всю работу за 2 часа 40 минут.

Ответ: $2\frac{2}{3}$ часа (или 2 часа 40 минут).

2. Куб, длина ребра которого равна 3 дм, обклеили бумагой в один слой. Сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба?

Чтобы найти, сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба, необходимо вычислить площадь его полной поверхности. Площадь полной поверхности — это сумма площадей всех его граней.

1. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом.

2. Длина ребра куба, а следовательно, и сторона каждой его грани, равна $a = 3$ дм.

3. Вычислим площадь одной грани куба по формуле площади квадрата $S_{грани} = a^2$:
$S_{грани} = 3^2 = 9$ дм².

4. Для нахождения общей площади поверхности куба, умножим площадь одной грани на общее количество граней (6). Формула для вычисления площади полной поверхности куба: $S_{полная} = 6 \cdot a^2$.
$S_{полная} = 6 \cdot 9 = 54$ дм².

Таким образом, для оклеивания всего куба потребовалось 54 квадратных дециметра бумаги.

Ответ: 54 дм².

3. Сергей покрасил в субботу $\frac{1}{4}$ забора. В воскресенье к нему присоединились двое друзей, и они с Сергеем докрасили оставшуюся часть, поделив её поровну между собой. Какую часть забора покрасил каждый из друзей Сергея в воскресенье?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Сначала определим, какая часть забора осталась неокрашенной после того, как Сергей поработал в субботу. Весь забор принимаем за единицу (1). Сергей покрасил $\frac{1}{4}$ забора. Значит, осталось покрасить:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Таким образом, в воскресенье нужно было покрасить $\frac{3}{4}$ забора.

2. В воскресенье к Сергею присоединились двое друзей. Следовательно, оставшуюся работу выполняли три человека (Сергей и два его друга). Они разделили оставшуюся часть забора, равную $\frac{3}{4}$, поровну между собой.

3. Чтобы найти, какую часть забора покрасил каждый из друзей, разделим оставшуюся часть на количество человек:

$\frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

4. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Ответ: каждый из друзей Сергея в воскресенье покрасил $\frac{1}{4}$ часть забора.

1177. Найдите число, если:

1) $\frac{1}{3}$ его равняется 48.

2) $\frac{4}{9}$ его равняется 48.

3) $\frac{12}{13}$ его равняется 48.

4) $\frac{24}{25}$ его равняется 48.

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, необходимо значение этой части разделить на данную дробь. В данной задаче нам нужно найти целое число, зная, что его часть равна 48.

1) Найти число, если $\frac{1}{3}$ его равна 48.

Для этого разделим 48 на дробь $\frac{1}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (в данном случае, на 3).

$48 : \frac{1}{3} = 48 \cdot \frac{3}{1} = 48 \cdot 3 = 144$

Проверка: $\frac{1}{3}$ от 144 это $144 \cdot \frac{1}{3} = \frac{144}{3} = 48$.

Ответ: 144

2) Найти число, если $\frac{4}{9}$ его равна 48.

Разделим 48 на дробь $\frac{4}{9}$.

$48 : \frac{4}{9} = 48 \cdot \frac{9}{4} = \frac{48 \cdot 9}{4}$

Сократим 48 и 4 на 4:

$\frac{12 \cdot 9}{1} = 108$

Проверка: $\frac{4}{9}$ от 108 это $108 \cdot \frac{4}{9} = \frac{108 \cdot 4}{9} = 12 \cdot 4 = 48$.

Ответ: 108

3) Найти число, если $\frac{12}{13}$ его равна 48.

Разделим 48 на дробь $\frac{12}{13}$.

$48 : \frac{12}{13} = 48 \cdot \frac{13}{12} = \frac{48 \cdot 13}{12}$

Сократим 48 и 12 на 12:

$\frac{4 \cdot 13}{1} = 52$

Проверка: $\frac{12}{13}$ от 52 это $52 \cdot \frac{12}{13} = \frac{52 \cdot 12}{13} = 4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 52

4) Найти число, если $\frac{24}{25}$ его равна 48.

Разделим 48 на дробь $\frac{24}{25}$.

$48 : \frac{24}{25} = 48 \cdot \frac{25}{24} = \frac{48 \cdot 25}{24}$

Сократим 48 и 24 на 24:

$\frac{2 \cdot 25}{1} = 50$

Проверка: $\frac{24}{25}$ от 50 это $50 \cdot \frac{24}{25} = \frac{50 \cdot 24}{25} = 2 \cdot 24 = 48$.

Ответ: 50

1178. Найдите число, если:

1) $\frac{1}{2}$ его равняется 56.

2) $\frac{2}{3}$ его равняется 56.

3) $\frac{7}{8}$ его равняется 56.

4) $\frac{14}{13}$ его равняется 56.

Чтобы найти число, зная его часть, выраженную дробью, нужно это значение (эту часть) разделить на дробь. Обозначим искомое число за $x$.

1)

По условию, $\frac{1}{2}$ от числа $x$ равняется 56. Составим уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot x = 56$
Чтобы найти $x$, разделим 56 на $\frac{1}{2}$:
$x = 56 : \frac{1}{2}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$x = 56 \cdot \frac{2}{1} = 112$
Ответ: 112

2)

По условию, $\frac{2}{3}$ от числа $x$ равняется 56. Составим уравнение:
$\frac{2}{3} \cdot x = 56$
Чтобы найти $x$, разделим 56 на $\frac{2}{3}$:
$x = 56 : \frac{2}{3}$
$x = 56 \cdot \frac{3}{2}$
$x = \frac{56 \cdot 3}{2} = \frac{168}{2} = 84$
Ответ: 84

3)

По условию, $\frac{7}{8}$ от числа $x$ равняется 56. Составим уравнение:
$\frac{7}{8} \cdot x = 56$
Чтобы найти $x$, разделим 56 на $\frac{7}{8}$:
$x = 56 : \frac{7}{8}$
$x = 56 \cdot \frac{8}{7}$
$x = \frac{56 \cdot 8}{7}$
Сократим 56 и 7 на 7:
$x = 8 \cdot 8 = 64$
Ответ: 64

4)

По условию, $\frac{14}{13}$ от числа $x$ равняется 56. Составим уравнение:
$\frac{14}{13} \cdot x = 56$
Чтобы найти $x$, разделим 56 на $\frac{14}{13}$:
$x = 56 : \frac{14}{13}$
$x = 56 \cdot \frac{13}{14}$
$x = \frac{56 \cdot 13}{14}$
Сократим 56 и 14 на 14:
$x = 4 \cdot 13 = 52$
Ответ: 52

1179. Найдите число:

1) $\frac{3}{4}$ которого равны 12;

2) $\frac{7}{9}$ которого равны 63;

3) $\frac{9}{7}$ которого равны $7 \frac{1}{14}$;

4) $\frac{5}{7}$ которого равны $\frac{5}{7}$.

Чтобы найти число, зная, что определенная его часть (дробь) равна некоторому значению, необходимо это значение разделить на данную дробь.

1) Найдём число, $ \frac{3}{4} $ которого равны 12. Для этого разделим 12 на $ \frac{3}{4} $.

$ 12 \div \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 $

Ответ: 16.

2) Найдём число, $ \frac{7}{9} $ которого равны 63. Для этого разделим 63 на $ \frac{7}{9} $.

$ 63 \div \frac{7}{9} = 63 \cdot \frac{9}{7} = \frac{63 \cdot 9}{7} = 9 \cdot 9 = 81 $

Ответ: 81.

3) Найдём число, $ \frac{9}{7} $ которого равны $ 7\frac{1}{14} $. Сначала представим смешанное число $ 7\frac{1}{14} $ в виде неправильной дроби:

$ 7\frac{1}{14} = \frac{7 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{98 + 1}{14} = \frac{99}{14} $

Теперь разделим полученное значение на дробь $ \frac{9}{7} $:

$ \frac{99}{14} \div \frac{9}{7} = \frac{99}{14} \cdot \frac{7}{9} = \frac{99 \cdot 7}{14 \cdot 9} = \frac{11 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} $

Ответ: $ 5\frac{1}{2} $.

4) Найдём число, $ \frac{5}{7} $ которого равны $ \frac{5}{7} $. Для этого разделим $ \frac{5}{7} $ на $ \frac{5}{7} $:

$ \frac{5}{7} \div \frac{5}{7} = 1 $

Ответ: 1.