Страница 265 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Митя должен был решить 32 задачи. В первый день он решил $\frac{5}{8}$ всех задач, а во второй — $\frac{2}{5}$ количества задач, решённых в первый день. Сколько задач осталось решить Мите?

А) 12 задач

Б) 8 задач

В) 6 задач

Г) 4 задачи

1. Найдем, сколько задач Митя решил в первый день.
Чтобы найти часть от числа, нужно умножить число на эту часть (дробь). В первый день Митя решил $ \frac{5}{8} $ от 32 задач.
$ 32 \cdot \frac{5}{8} = \frac{32 \cdot 5}{8} = 4 \cdot 5 = 20 $ (задач) - решил в первый день.

2. Найдем, сколько задач Митя решил во второй день.
Во второй день он решил $ \frac{2}{5} $ от количества задач, решенных в первый день, то есть от 20.
$ 20 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5} = 4 \cdot 2 = 8 $ (задач) - решил во второй день.

3. Найдем, сколько всего задач Митя решил за два дня.
Сложим количество задач, решенных в первый и во второй день.
$ 20 + 8 = 28 $ (задач) - решил за два дня.

4. Найдем, сколько задач осталось решить Мите.
Вычтем из общего количества задач то количество, которое он уже решил.
$ 32 - 28 = 4 $ (задачи).

Ответ: 4 задачи.

11. Один пешеход преодолевает путь от пункта А до пункта В за 3 ч, а другой пешеход от пункта В до пункта А — за 6 ч. Через сколько часов пешеходы встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В?

А) 2 ч

Б) $2\frac{1}{2}$ ч

В) 3 ч

Г) 6 ч

Примем все расстояние от пункта А до пункта B за 1 (одну целую единицу). Тогда мы можем выразить скорость каждого пешехода как долю пути, которую он проходит за один час.

Скорость первого пешехода, который преодолевает весь путь за 3 часа, равна $v_1 = \frac{1}{3}$ пути в час.

Скорость второго пешехода, который преодолевает тот же путь за 6 часов, равна $v_2 = \frac{1}{6}$ пути в час.

Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Такая суммарная скорость называется скоростью сближения ($v_{сбл}$).

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю:

$v_{сбл} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ пути в час.

Скорость сближения показывает, что за один час оба пешехода вместе проходят половину всего пути.

Чтобы найти время $t$, через которое они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения ($\frac{1}{2}$):

$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

12. Бассейн можно наполнить за 3 ч, а спустить из него воду через сливное отверстие — за 5 ч. Сколько времени понадобится для наполнения бассейна, если не закрывать сливное отверстие?

А) $7\frac{1}{2}$ ч

Б) 8 ч

В) $10\frac{1}{2}$ ч

Г) 15 ч

Для решения этой задачи примем весь объем бассейна за 1 условную единицу.

1. Скорость наполнения бассейна. Если бассейн наполняется за 3 часа, то его скорость наполнения (часть бассейна, наполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{3}$ бассейна в час.

2. Скорость слива воды. Если вся вода из бассейна сливается за 5 часов, то скорость слива составляет $\frac{1}{5}$ бассейна в час.

3. Общая скорость наполнения. Когда одновременно открыты и кран для наполнения, и сливное отверстие, итоговая скорость наполнения будет равна разности между скоростью наполнения и скоростью слива:

$V_{общая} = V_{наполнения} - V_{слива} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$

Таким образом, за 1 час бассейн будет наполняться на $\frac{2}{15}$ своего объема.

4. Время наполнения. Чтобы найти общее время ($t$), необходимое для наполнения всего бассейна (объем 1), нужно разделить объем на общую скорость наполнения:

$t = \frac{1}{V_{общая}} = \frac{1}{\frac{2}{15}} = 1 \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{2}$ часа.

5. Преобразование результата. Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{15}{2} = 7 \frac{1}{2}$ часа.

Следовательно, для наполнения бассейна с открытым сливным отверстием понадобится $7 \frac{1}{2}$ часа.

Ответ: $7 \frac{1}{2}$ ч.