Страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1186. На завтрак медвежонок съел $ \frac{6}{17} $ бочонка мёда, а на обед — остальные 22 кг. Сколько килограммов мёда было в бочонке?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала определим, какую часть мёда медвежонок съел на обед. Весь мёд в бочонке примем за 1. На завтрак он съел $\frac{6}{17}$ бочонка. Значит, на обед осталась часть, равная:

$1 - \frac{6}{17} = \frac{17}{17} - \frac{6}{17} = \frac{11}{17}$

Итак, на обед медвежонок съел $\frac{11}{17}$ всего мёда.

2. Из условия задачи мы знаем, что эта оставшаяся часть мёда составляет 22 кг. То есть, $\frac{11}{17}$ от всего мёда равны 22 кг. Чтобы найти общую массу мёда в бочонке (целое по его части), нужно разделить известную массу (22 кг) на соответствующую ей дробь ($\frac{11}{17}$):

$22 \div \frac{11}{17} = 22 \times \frac{17}{11} = \frac{22 \cdot 17}{11} = 2 \cdot 17 = 34$ кг.

Таким образом, изначально в бочонке было 34 кг мёда.

Ответ: 34 кг.

1187. В магазин привезли груши. В первый день продали ${13 \over 21}$ всех груш, а во второй — остальные 128 кг. Сколько килограммов груш продали за два дня?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Определим, какая часть груш была продана во второй день. Примем все груши за 1. Тогда часть, проданная во второй день, равна разности между целым и частью, проданной в первый день.

$1 - \frac{13}{21} = \frac{21}{21} - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}$

Таким образом, во второй день продали $\frac{8}{21}$ всех груш.

2. Из условия известно, что $\frac{8}{21}$ всех груш составляют 128 кг. Теперь мы можем найти общее количество груш, зная часть и её значение. Для этого нужно значение части (128 кг) разделить на саму часть (дробь $\frac{8}{21}$).

$128 \div \frac{8}{21} = 128 \times \frac{21}{8} = \frac{128 \cdot 21}{8}$

Сократим 128 и 8:

$16 \times 21 = 336$ (кг)

3. Общее количество груш, привезённых в магазин, составляет 336 кг. За два дня продали все груши, следовательно, всего было продано 336 кг.

Ответ: 336 кг.

1188.1) Одно из двух слагаемых равно 320, что составляет $\frac{40}{51}$ их суммы.

Найдите второе слагаемое.

2) Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 49, что составляет $\frac{7}{12}$ уменьшаемого.

1) Обозначим первое слагаемое как $a_1$, второе слагаемое как $a_2$ и их сумму как $S$. Из условия задачи известно, что $a_1 = 320$. Также дано, что это слагаемое составляет $\frac{40}{51}$ их суммы, то есть $a_1 = \frac{40}{51} \cdot S$.
Чтобы найти сумму $S$, подставим известное значение $a_1$: $320 = \frac{40}{51} \cdot S$
Выразим $S$: $S = 320 \div \frac{40}{51} = 320 \cdot \frac{51}{40} = \frac{320 \cdot 51}{40} = 8 \cdot 51 = 408$.
Сумма двух слагаемых равна 408.
Чтобы найти второе слагаемое $a_2$, нужно из суммы $S$ вычесть первое слагаемое $a_1$: $a_2 = S - a_1 = 408 - 320 = 88$.
Ответ: 88.

2) Обозначим уменьшаемое как $У$, вычитаемое как $В$ и разность как $Р$. Из условия задачи известно, что вычитаемое $В = 49$. Также дано, что вычитаемое составляет $\frac{7}{12}$ уменьшаемого, то есть $В = \frac{7}{12} \cdot У$.
Чтобы найти уменьшаемое $У$, подставим известное значение $В$: $49 = \frac{7}{12} \cdot У$
Выразим $У$: $У = 49 \div \frac{7}{12} = 49 \cdot \frac{12}{7} = \frac{49 \cdot 12}{7} = 7 \cdot 12 = 84$.
Уменьшаемое равно 84.
Теперь найдем разность $Р$, вычтя из уменьшаемого $У$ вычитаемое $В$: $Р = У - В = 84 - 49 = 35$.
Ответ: 35.

1189.1) Одно из двух слагаемых равно 42, что составляет $\frac{6}{23}$ второго слагаемого. Найдите их сумму.

2) Найдите разность двух чисел, если уменьшаемое равно 90 и составляет $\frac{9}{5}$ вычитаемого.

1)

Пусть первое слагаемое равно $x$, а второе — $y$. Нам нужно найти их сумму $x+y$.

По условию, одно из слагаемых равно 42. Пусть $x = 42$.

Также дано, что это слагаемое (42) составляет $\frac{6}{23}$ второго слагаемого ($y$). Запишем это в виде уравнения: $42 = \frac{6}{23} \cdot y$

Чтобы найти второе слагаемое $y$, нужно 42 разделить на дробь $\frac{6}{23}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $y = 42 : \frac{6}{23} = 42 \cdot \frac{23}{6}$

Сократим 42 и 6 на 6: $y = \frac{42}{6} \cdot 23 = 7 \cdot 23 = 161$

Итак, второе слагаемое равно 161.

Теперь найдем сумму двух слагаемых: Сумма = $x + y = 42 + 161 = 203$

Ответ: 203

2)

Пусть уменьшаемое равно $m$, а вычитаемое — $v$. Нам нужно найти их разность $m-v$.

По условию, уменьшаемое равно 90, то есть $m = 90$.

Также дано, что уменьшаемое (90) составляет $\frac{9}{5}$ вычитаемого ($v$). Запишем это в виде уравнения: $90 = \frac{9}{5} \cdot v$

Чтобы найти вычитаемое $v$, нужно 90 разделить на дробь $\frac{9}{5}$. $v = 90 : \frac{9}{5} = 90 \cdot \frac{5}{9}$

Сократим 90 и 9 на 9: $v = \frac{90}{9} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$

Итак, вычитаемое равно 50.

Теперь найдем разность уменьшаемого и вычитаемого: Разность = $m - v = 90 - 50 = 40$

Ответ: 40

1190. В школьном хоре поют 24 девочки, что составляет $\frac{3}{4}$ количества мальчиков, поющих в хоре. Сколько всего детей в этом хоре?

Для того чтобы найти общее количество детей в хоре, необходимо сначала вычислить, сколько мальчиков поет в хоре, а затем сложить количество мальчиков и девочек.

1. Найдем количество мальчиков в хоре.
По условию задачи, 24 девочки — это $\frac{3}{4}$ от количества мальчиков. Чтобы найти общее количество мальчиков, зная его часть, нужно число, соответствующее этой части (24), разделить на саму дробь ($\frac{3}{4}$).

$24 \div \frac{3}{4} = 24 \times \frac{4}{3} = \frac{24 \times 4}{3} = 8 \times 4 = 32$

Следовательно, в хоре поют 32 мальчика.

2. Найдем, сколько всего детей в хоре.
Для этого сложим количество девочек и количество мальчиков.

$24 \text{ (девочки)} + 32 \text{ (мальчика)} = 56 \text{ (детей)}$

Таким образом, всего в школьном хоре 56 детей.
Ответ: 56 детей.

1191. Одна из сторон прямоугольника равна $2\\frac{5}{8}$ дм, что составляет $\\frac{7}{6}$ длины соседней стороны. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

Для решения задачи сначала найдем длину второй стороны прямоугольника, а затем вычислим его периметр и площадь.

1. Нахождение длины второй стороны

Пусть одна сторона прямоугольника, назовем ее $a$, равна $2\frac{5}{8}$ дм. Переведем это смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:

$a = 2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$ дм.

В условии сказано, что эта сторона составляет $\frac{7}{6}$ длины соседней стороны, которую мы назовем $b$. Это можно записать как уравнение: $a = \frac{7}{6} \cdot b$.

Чтобы найти длину стороны $b$, нужно разделить длину стороны $a$ на дробь $\frac{7}{6}$:

$b = a : \frac{7}{6} = \frac{21}{8} : \frac{7}{6}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$b = \frac{21}{8} \cdot \frac{6}{7} = \frac{21 \cdot 6}{8 \cdot 7}$

Сократим числитель и знаменатель: 21 и 7 на 7, а 6 и 8 на 2.

$b = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{9}{4}$ дм.

Теперь мы знаем длины обеих сторон: $a = \frac{21}{8}$ дм и $b = \frac{9}{4}$ дм.

2. Нахождение периметра и площади

Периметр прямоугольника

Периметр ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. Сначала найдем сумму длин сторон, приведя их к общему знаменателю 8:

$a + b = \frac{21}{8} + \frac{9}{4} = \frac{21}{8} + \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{21}{8} + \frac{18}{8} = \frac{39}{8}$ дм.

Теперь вычислим периметр:

$P = 2 \cdot \frac{39}{8} = \frac{2 \cdot 39}{8} = \frac{78}{8} = \frac{39}{4}$ дм.

Представим результат в виде смешанного числа:

$P = 9\frac{3}{4}$ дм.

Ответ: периметр прямоугольника равен $9\frac{3}{4}$ дм.

Площадь прямоугольника

Площадь ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$S = \frac{21}{8} \cdot \frac{9}{4} = \frac{21 \cdot 9}{8 \cdot 4} = \frac{189}{32}$ дм².

Представим результат в виде смешанного числа, для чего разделим 189 на 32 с остатком:

$189 \div 32 = 5$ (остаток $189 - 5 \cdot 32 = 189 - 160 = 29$).

Таким образом, площадь равна:

$S = 5\frac{29}{32}$ дм².

Ответ: площадь прямоугольника равна $5\frac{29}{32}$ дм².

1192. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 45 см, ширина составляет $ \frac{4}{9} $ длины и $ \frac{12}{7} $ высоты. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо знать его длину, ширину и высоту. По условию, длина известна, а ширину и высоту нужно найти.

1. Найдем ширину параллелепипеда

Длина прямоугольного параллелепипеда равна $45$ см. Ширина составляет $\frac{4}{9}$ от длины.
Чтобы найти ширину, умножим длину на дробь:
$45 \cdot \frac{4}{9} = \frac{45 \cdot 4}{9} = 5 \cdot 4 = 20$ см.
Итак, ширина параллелепипеда равна $20$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда

В условии сказано, что ширина ($20$ см) составляет $\frac{12}{7}$ высоты. Это значит, что если мы разделим ширину на $\frac{12}{7}$, мы найдем высоту.
$20 \div \frac{12}{7} = 20 \cdot \frac{7}{12} = \frac{20 \cdot 7}{12} = \frac{140}{12}$ см.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$H = \frac{140 \div 4}{12 \div 4} = \frac{35}{3}$ см.
Высота параллелепипеда равна $\frac{35}{3}$ см.

3. Вычислим объём прямоугольного параллелепипеда

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = L \cdot W \cdot H$, где $L$ — длина, $W$ — ширина, а $H$ — высота.
Подставим найденные значения:
$V = 45 \cdot 20 \cdot \frac{35}{3}$
Выполним вычисления:
$V = \frac{45 \cdot 20 \cdot 35}{3} = \frac{45}{3} \cdot 20 \cdot 35 = 15 \cdot 20 \cdot 35 = 300 \cdot 35 = 10500$ см³.

Ответ: $10500$ см³.

1193. Ученики 5 класса посадили возле школы деревья. Фруктовые деревья составляют $\frac{11}{15}$ посаженных деревьев. Вишни составляют $\frac{4}{11}$ фруктовых деревьев. Сколько всего деревьев посадили пятиклассники, если вишен посадили 12?

Для решения этой задачи необходимо выполнить действия в обратном порядке: сначала найти общее количество фруктовых деревьев, а затем общее количество всех посаженных деревьев.

1. Найдём количество фруктовых деревьев.

Из условия известно, что посадили 12 вишен, что составляет $\frac{4}{11}$ от общего числа фруктовых деревьев. Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее части, разделить на эту дробь.
$12 \div \frac{4}{11} = 12 \cdot \frac{11}{4} = \frac{12 \cdot 11}{4} = 3 \cdot 11 = 33$ (фруктовых дерева).

2. Найдём общее количество всех деревьев.

Мы выяснили, что всего было посажено 33 фруктовых дерева. По условию, это количество составляет $\frac{11}{15}$ от всех посаженных деревьев. Аналогично первому шагу, найдём общее количество деревьев.
$33 \div \frac{11}{15} = 33 \cdot \frac{15}{11} = \frac{33 \cdot 15}{11} = 3 \cdot 15 = 45$ (деревьев).

Ответ: всего пятиклассники посадили 45 деревьев.

1194. На птицеферме разводят кур, уток и индеек. Утки составляют $\frac{21}{50}$ всех птиц, а количество индеек — $\frac{9}{28}$ количества уток. Сколько всего птиц на ферме, если индеек — 54?

Для решения задачи выполним действия в обратном порядке.

1. Найдем количество уток на ферме.

По условию, количество индеек составляет $ \frac{9}{28} $ от количества уток. Всего на ферме 54 индейки. Чтобы найти общее число, зная его часть, нужно значение этой части разделить на дробь, которая ее выражает. Найдем количество уток:

$ 54 \div \frac{9}{28} = 54 \times \frac{28}{9} = \frac{54 \times 28}{9} = 6 \times 28 = 168 $ (уток).

Таким образом, на птицеферме 168 уток.

2. Найдем общее количество птиц на ферме.

Известно, что утки составляют $ \frac{21}{50} $ от общего количества птиц. Мы уже знаем, что уток 168. Аналогично первому шагу, найдем общее количество птиц на ферме:

$ 168 \div \frac{21}{50} = 168 \times \frac{50}{21} = \frac{168 \times 50}{21} = 8 \times 50 = 400 $ (птиц).

Ответ: всего на ферме 400 птиц.

1195.В детский санаторий привезли апельсины, мандарины и яблоки. Апельсины составляют $ \frac{7}{18} $ массы всех фруктов, мандарины — $ \frac{5}{12} $, а яблоки — остальные 28 кг. Сколько килограммов фруктов привезли в санаторий?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Найдем, какую часть от общей массы составляют апельсины и мандарины вместе.
Для этого сложим их доли: $ \frac{7}{18} + \frac{5}{12} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 12 это 36. $ \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{14}{36} + \frac{15}{36} = \frac{14 + 15}{36} = \frac{29}{36} $.
Таким образом, апельсины и мандарины вместе составляют $ \frac{29}{36} $ массы всех фруктов.

2. Найдем, какую часть от общей массы составляют яблоки.
Массу всех фруктов примем за 1. Чтобы найти долю яблок, вычтем из единицы долю апельсинов и мандаринов: $ 1 - \frac{29}{36} = \frac{36}{36} - \frac{29}{36} = \frac{7}{36} $.
Следовательно, яблоки составляют $ \frac{7}{36} $ от общей массы всех фруктов.

3. Найдем общую массу привезенных фруктов.
Из условия известно, что масса яблок равна 28 кг, и это составляет $ \frac{7}{36} $ от общей массы. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (28 кг) разделить на дробь, которую она составляет ($ \frac{7}{36} $). $ 28 : \frac{7}{36} = 28 \cdot \frac{36}{7} = \frac{28 \cdot 36}{7} = 4 \cdot 36 = 144 $ кг.
Значит, общая масса всех фруктов, привезенных в санаторий, составляет 144 кг.

Ответ: 144 кг.