Страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1154. Теплоход проходит $40\frac{1}{2}$ км по течению реки за $1\frac{1}{2}$ ч. На сколько больше времени уйдёт на обратный путь, если скорость течения равна $3\frac{3}{8}$ км/ч?

Для решения задачи необходимо выполнить последовательность действий:

1. Найти скорость теплохода по течению реки
Скорость ($V$) вычисляется по формуле $V = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.Переведём смешанные дроби в неправильные для удобства вычислений:
Расстояние: $S = 40\frac{1}{2} \text{ км} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2} \text{ км}$.
Время по течению: $t_{по\;теч} = 1\frac{1}{2} \text{ ч} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \text{ ч}$.
Теперь найдём скорость теплохода по течению реки:
$V_{по\;теч} = S : t_{по\;теч} = \frac{81}{2} : \frac{3}{2} = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{81}{3} = 27 \text{ км/ч}$.

2. Найти собственную скорость теплохода
Скорость по течению равна сумме собственной скорости теплохода ($V_{собств}$) и скорости течения ($V_{теч}$). Следовательно, чтобы найти собственную скорость, нужно из скорости по течению вычесть скорость течения.
Скорость течения: $V_{теч} = 3\frac{3}{8} \text{ км/ч}$.
$V_{собств} = V_{по\;теч} - V_{теч} = 27 - 3\frac{3}{8} = 26\frac{8}{8} - 3\frac{3}{8} = 23\frac{5}{8} \text{ км/ч}$.

3. Найти скорость теплохода против течения реки
Скорость против течения ($V_{против\;теч}$) равна разности собственной скорости теплохода и скорости течения.
$V_{против\;теч} = V_{собств} - V_{теч} = 23\frac{5}{8} - 3\frac{3}{8} = 20\frac{2}{8} = 20\frac{1}{4} \text{ км/ч}$.

4. Найти время, затраченное на обратный путь
Время на обратный путь ($t_{против\;теч}$) равно расстоянию, делённому на скорость против течения. Расстояние то же самое: $S = \frac{81}{2} \text{ км}$.
Переведём скорость против течения в неправильную дробь:
$V_{против\;теч} = 20\frac{1}{4} = \frac{20 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{81}{4} \text{ км/ч}$.
$t_{против\;теч} = S : V_{против\;теч} = \frac{81}{2} : \frac{81}{4} = \frac{81}{2} \cdot \frac{4}{81} = \frac{4}{2} = 2 \text{ ч}$.

5. Найти разницу во времени
Чтобы узнать, на сколько больше времени уйдёт на обратный путь, нужно из времени движения против течения вычесть время движения по течению.
Разница времени $= t_{против\;теч} - t_{по\;теч} = 2 - 1\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.
$\frac{1}{2}$ часа — это 30 минут.

Ответ: на обратный путь уйдёт на $\frac{1}{2}$ часа (или 30 минут) больше.

1155. Необходимо расфасовать $32\frac{1}{2}$ кг сахара в пакеты по $\frac{3}{4}$ кг в каждом.

Сколько получится полных пакетов?

Сколько получится полных пакетов?

Чтобы найти количество полных пакетов, необходимо общее количество сахара разделить на количество сахара, которое помещается в один пакет.

1. Сначала представим общее количество сахара $32\frac{1}{2}$ кг в виде неправильной дроби:

$32\frac{1}{2} = \frac{32 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{64+1}{2} = \frac{65}{2}$ кг.

2. Теперь разделим общее количество сахара на вместимость одного пакета, равную $\frac{3}{4}$ кг:

$\frac{65}{2} \div \frac{3}{4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{65}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{65}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{65 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{260}{6}$

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{260}{6} = \frac{130}{3}$

4. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{130}{3}$, чтобы узнать, сколько получится полных пакетов:

$\frac{130}{3} = 43\frac{1}{3}$

Это означает, что можно заполнить 43 полных пакета, и еще останется сахар на $\frac{1}{3}$ пакета. Так как вопрос состоит в том, сколько получится полных пакетов, мы берем только целую часть от полученного числа.

Ответ: 43.

1156. Для перевязывания одной пачки книг требуется $1\frac{2}{5}$ м веревки. На сколько таких пачек хватит 18 м веревки?

Чтобы определить, на сколько пачек книг хватит верёвки, необходимо общую длину верёвки разделить на длину, которая требуется для перевязывания одной пачки.

Длина верёвки для одной пачки: $1 \frac{2}{5}$ м.

Общая длина верёвки: $18$ м.

1. Переведём смешанное число $1 \frac{2}{5}$ в неправильную дробь:

$1 \frac{2}{5} = \frac{1 \times 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

2. Разделим общую длину верёвки на длину, необходимую для одной пачки:

$18 \div \frac{7}{5}$

3. Для того чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (перевёрнутую):

$18 \times \frac{5}{7} = \frac{18 \times 5}{7} = \frac{90}{7}$

4. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, чтобы узнать количество целых пачек:

$\frac{90}{7} = 12 \frac{6}{7}$

Целая часть полученного числа равна 12. Это означает, что 18 метров верёвки хватит, чтобы полностью перевязать 12 пачек книг. Остаток верёвки ($\frac{6}{7}$ от требуемой длины) будет недостаточен для перевязывания ещё одной пачки.

Ответ: 12 пачек.

1157. Мастер Иван Иванович может отремонтировать кабинет математики за 24 ч, а мастер Пётр Петрович – за 48 ч. За сколько часов, работая вместе, они отремонтируют этот кабинет?

Для решения этой задачи о совместной работе, мы сначала определим производительность (скорость работы) каждого мастера, а затем их общую производительность.

1. Производительность мастера Ивана Ивановича.
Примем весь объем работы по ремонту кабинета за 1 (одну целую).
Мастер Иван Иванович выполняет всю работу за 24 часа. Следовательно, его производительность составляет $P_1 = \frac{1}{24}$ часть работы в час.

2. Производительность мастера Петра Петровича.
Мастер Пётр Петрович выполняет всю работу за 48 часов. Его производительность составляет $P_2 = \frac{1}{48}$ часть работы в час.

3. Совместная производительность.
Когда мастера работают вместе, их производительности складываются. Найдем их общую производительность $P_{общ}$: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{24} + \frac{1}{48}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 48: $\frac{1}{24} = \frac{1 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{2}{48}$
Теперь выполним сложение: $P_{общ} = \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{2+1}{48} = \frac{3}{48}$
Сократим полученную дробь: $P_{общ} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$
Это означает, что, работая вместе, за один час они выполняют $\frac{1}{16}$ часть всей работы.

4. Время выполнения работы при совместной работе.
Чтобы найти общее время ($T$), необходимое для выполнения всей работы (1), нужно разделить работу на общую производительность: $T = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{1}{16} = 1 \cdot \frac{16}{1} = 16$ часов.

Ответ: 16 часов.

1158. Кот Сэм съедает жареную индейку за 20 мин, а мышонок Кэрри — за 30 мин. За сколько минут Сэм и Кэрри съедят индейку вместе?

Для решения этой задачи необходимо найти общую производительность (скорость поедания) кота Сэма и мышонка Кэрри, а затем вычислить время, за которое они вместе справятся со всей "работой", то есть съедят индейку.

1. Определим, какую часть индейки съедает кот Сэм за одну минуту. Если он съедает всю индейку за 20 минут, то его производительность составляет:

$P_{Сэм} = \frac{1}{20}$ индейки в минуту.

2. Определим, какую часть индейки съедает мышонок Кэрри за одну минуту. Если он съедает всю индейку за 30 минут, то его производительность составляет:

$P_{Кэрри} = \frac{1}{30}$ индейки в минуту.

3. Найдем их общую производительность, сложив производительность каждого. Это покажет, какую часть индейки они съедают вместе за одну минуту:

$P_{общая} = P_{Сэм} + P_{Кэрри} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 30 — это 60.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 3}{60} + \frac{1 \cdot 2}{60} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ индейки в минуту.

4. Зная, что вместе они съедают $\frac{1}{12}$ индейки за одну минуту, мы можем найти общее время, необходимое для того, чтобы съесть всю индейку (которую мы приняли за 1). Для этого разделим всю работу на общую производительность:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 1 \cdot 12 = 12$ минут.

Ответ: Сэм и Кэрри съедят индейку вместе за 12 минут.

1159.Первый рабочий может выполнить задание за 30 ч, а второму для этого необходимо в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?
1. Сначала найдем, сколько времени требуется второму рабочему для выполнения всего задания. Ему необходимо в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем первому:
$30 \cdot 1\frac{1}{2} = 30 \cdot \frac{3}{2} = 45$ часов.
2. Теперь определим производительность каждого рабочего, то есть какую часть задания они выполняют за 1 час. Примем все задание за 1.
Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{30}$ задания в час.
Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{45}$ задания в час.
3. Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$
Приведем дроби к общему знаменателю 90:
$P_{общ} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ задания в час.
4. Чтобы найти общее время выполнения задания, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:
$t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ часов.
Ответ: работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?
Чтобы найти, какую часть задания выполнил каждый рабочий, нужно его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).
1. Часть задания, выполненная первым рабочим:
$A_1 = P_1 \cdot t_{общ} = \frac{1}{30} \cdot 18 = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
2. Часть задания, выполненная вторым рабочим:
$A_2 = P_2 \cdot t_{общ} = \frac{1}{45} \cdot 18 = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$
Проверка: $A_1 + A_2 = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (все задание).
Ответ: первый рабочий выполнит $\frac{3}{5}$ задания, а второй — $\frac{2}{5}$ задания.

1160. Первый тракторист может вспахать поле за 12 дней, второму на это требуется в $1 \frac{1}{5}$ раза меньше времени, чем первому, а третьему — в $1 \frac{1}{2}$ раза больше, чем второму. За сколько дней они вместе могут вспахать поле? Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Для решения задачи сначала определим время, которое требуется каждому трактористу для вспашки всего поля в одиночку. Всю работу (вспашку поля) примем за 1.

1. Время работы второго тракториста.
Первый тракторист вспахивает поле за 12 дней. Второму требуется в $1 \frac{1}{5}$ раза меньше времени. Чтобы найти это время, разделим время первого на $1 \frac{1}{5}$.
$1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
$12 \div \frac{6}{5} = 12 \cdot \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 5}{6} = 2 \cdot 5 = 10$ (дней) – требуется второму трактористу.

2. Время работы третьего тракториста.
Третьему требуется в $1 \frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второму. Чтобы найти это время, умножим время второго на $1 \frac{1}{2}$.
$1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$10 \cdot \frac{3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 5 \cdot 3 = 15$ (дней) – требуется третьему трактористу.

3. Производительность каждого тракториста.
Производительность – это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 день).

• Производительность первого: $P_1 = \frac{1}{12}$ поля в день.
• Производительность второго: $P_2 = \frac{1}{10}$ поля в день.
• Производительность третьего: $P_3 = \frac{1}{15}$ поля в день.

За сколько дней они вместе могут вспахать поле?

Чтобы найти, за сколько дней они вспашут поле вместе, нужно сложить их производительности.
$P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12, 10 и 15 – это 60.
$\frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 5}{60} + \frac{1 \cdot 6}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60} = \frac{5+6+4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$
Их общая производительность – $\frac{1}{4}$ поля в день. Это означает, что вместе они вспашут все поле (1) за:
$T_{общ} = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ дня.

Ответ: 4 дня.

Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Чтобы найти, какую часть поля вспашет каждый, нужно его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (4 дня).

• Часть первого: $P_1 \cdot T_{общ} = \frac{1}{12} \cdot 4 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ поля.
• Часть второго: $P_2 \cdot T_{общ} = \frac{1}{10} \cdot 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ поля.
• Часть третьего: $P_3 \cdot T_{общ} = \frac{1}{15} \cdot 4 = \frac{4}{15}$ поля.

Проверим: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{4}{15} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{5+6+4}{15} = \frac{15}{15} = 1$. Сумма частей равна всему полю, значит, расчеты верны.

Ответ: первый тракторист вспашет $\frac{1}{3}$ поля, второй — $\frac{2}{5}$ поля, а третий — $\frac{4}{15}$ поля.

1161. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 10 ч. Наполнение бассейна через вторую трубу потребует в $1\frac{1}{4}$ раза меньше времени. За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы? Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба?

За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

1. Примем весь объем работы (наполнение бассейна) за 1. Первая труба выполняет эту работу за 10 часов, следовательно, ее производительность (скорость наполнения) $P_1$ равна:
$P_1 = \frac{1}{10}$ бассейна/час.

2. Второй трубе требуется в $1 \frac{1}{4}$ раза меньше времени, чем первой. Найдем время $t_2$, за которое вторая труба наполнит бассейн:
$t_2 = 10 \div 1\frac{1}{4} = 10 \div \frac{5}{4} = 10 \cdot \frac{4}{5} = \frac{40}{5} = 8$ часов.

3. Теперь найдем производительность второй трубы $P_2$:
$P_2 = \frac{1}{8}$ бассейна/час.

4. При одновременной работе двух труб их производительности складываются. Найдем общую производительность $P_{общ}$:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{8}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 40:
$P_{общ} = \frac{4 \cdot 1}{40} + \frac{5 \cdot 1}{40} = \frac{4}{40} + \frac{5}{40} = \frac{9}{40}$ бассейна/час.

5. Время $t_{общ}$, за которое бассейн наполнится при совместной работе, найдем, разделив объем работы (1) на общую производительность:
$t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{9}{40} = 1 \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$ часа.

Ответ: $4\frac{4}{9}$ часа.

Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба?

Чтобы определить, какую часть бассейна наполнит каждая труба, нужно производительность каждой трубы умножить на общее время работы ($t_{общ} = \frac{40}{9}$ часа).

1. Часть бассейна, которую наполнит первая труба:
$V_1 = P_1 \cdot t_{общ} = \frac{1}{10} \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$ часть бассейна.

2. Часть бассейна, которую наполнит вторая труба:
$V_2 = P_2 \cdot t_{общ} = \frac{1}{8} \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{72} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{5}{9}$ часть бассейна.

Ответ: первая труба наполнит $\frac{4}{9}$ бассейна, а вторая труба наполнит $\frac{5}{9}$ бассейна.

1162.1) Первое число составляет $\frac{1}{2}$ второго. Во сколько раз второе число больше первого?

2) Первое число составляет $\frac{3}{2}$ второго. Какую часть первого числа составляет второе?

1) Пусть первое число — это $a$, а второе число — это $b$.

По условию задачи, первое число составляет $\frac{1}{2}$ второго. Это можно записать в виде уравнения:

$a = \frac{1}{2} \cdot b$

Чтобы найти, во сколько раз второе число больше первого, нужно найти отношение второго числа к первому, то есть $\frac{b}{a}$.

Из уравнения $a = \frac{1}{2} b$ выразим $b$. Для этого умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot a = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b$

$b = 2a$

Теперь найдем отношение $\frac{b}{a}$:

$\frac{b}{a} = \frac{2a}{a} = 2$

Это означает, что второе число в 2 раза больше первого.

Ответ: в 2 раза.

2) Пусть первое число — это $a$, а второе число — это $b$.

По условию задачи, первое число составляет $\frac{3}{2}$ второго. Запишем это в виде уравнения:

$a = \frac{3}{2} \cdot b$

Нам нужно найти, какую часть первого числа составляет второе. Это значит, что нам нужно найти отношение второго числа к первому, то есть найти значение дроби $\frac{b}{a}$.

Из уравнения $a = \frac{3}{2} b$ выразим $b$. Для этого умножим обе части уравнения на обратную дробь $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3} \cdot a = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot b$

$b = \frac{2}{3} a$

Из этого уравнения видно, что второе число составляет $\frac{2}{3}$ от первого числа.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

1163. Двое строителей, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 15 ч. За сколько часов её может выполнить самостоятельно другой строитель?

Для решения задачи введем понятие производительности труда (скорость выполнения работы). Примем весь объем работы за 1 (одну целую).

1. Найдем совместную производительность двух строителей. Если они выполняют всю работу за 6 часов, то за 1 час они выполняют:
$P_{совместная} = 1 / 6$ часть работы в час.

2. Найдем производительность первого строителя. Если он самостоятельно выполняет всю работу за 15 часов, то за 1 час он выполняет:
$P_1 = 1 / 15$ часть работы в час.

3. Совместная производительность равна сумме производительностей каждого строителя:
$P_{совместная} = P_1 + P_2$
где $P_2$ – производительность второго строителя.

4. Чтобы найти производительность второго строителя, вычтем из совместной производительности производительность первого:
$P_2 = P_{совместная} - P_1 = 1/6 - 1/15$

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 15 равно 30.
$P_2 = 5/30 - 2/30 = (5-2)/30 = 3/30 = 1/10$
Таким образом, производительность второго строителя составляет $1/10$ часть работы в час.

6. Теперь найдем время, за которое второй строитель выполнит всю работу самостоятельно. Для этого разделим весь объем работы (1) на его производительность:
$T_2 = 1 / P_2 = 1 / (1/10) = 10$ часов.

Ответ: за 10 часов.