Номер 1161, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1161, страница 256.

1161. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 10 ч. Наполнение бассейна через вторую трубу потребует в $1\frac{1}{4}$ раза меньше времени. За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы? Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба?

За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

1. Примем весь объем работы (наполнение бассейна) за 1. Первая труба выполняет эту работу за 10 часов, следовательно, ее производительность (скорость наполнения) $P_1$ равна:
$P_1 = \frac{1}{10}$ бассейна/час.

2. Второй трубе требуется в $1 \frac{1}{4}$ раза меньше времени, чем первой. Найдем время $t_2$, за которое вторая труба наполнит бассейн:
$t_2 = 10 \div 1\frac{1}{4} = 10 \div \frac{5}{4} = 10 \cdot \frac{4}{5} = \frac{40}{5} = 8$ часов.

3. Теперь найдем производительность второй трубы $P_2$:
$P_2 = \frac{1}{8}$ бассейна/час.

4. При одновременной работе двух труб их производительности складываются. Найдем общую производительность $P_{общ}$:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{8}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 40:
$P_{общ} = \frac{4 \cdot 1}{40} + \frac{5 \cdot 1}{40} = \frac{4}{40} + \frac{5}{40} = \frac{9}{40}$ бассейна/час.

5. Время $t_{общ}$, за которое бассейн наполнится при совместной работе, найдем, разделив объем работы (1) на общую производительность:
$t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{9}{40} = 1 \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$ часа.

Ответ: $4\frac{4}{9}$ часа.

Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба?

Чтобы определить, какую часть бассейна наполнит каждая труба, нужно производительность каждой трубы умножить на общее время работы ($t_{общ} = \frac{40}{9}$ часа).

1. Часть бассейна, которую наполнит первая труба:
$V_1 = P_1 \cdot t_{общ} = \frac{1}{10} \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$ часть бассейна.

2. Часть бассейна, которую наполнит вторая труба:
$V_2 = P_2 \cdot t_{общ} = \frac{1}{8} \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{72} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{5}{9}$ часть бассейна.

Ответ: первая труба наполнит $\frac{4}{9}$ бассейна, а вторая труба наполнит $\frac{5}{9}$ бассейна.