Номер 1167, страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Упражнения - номер 1167, страница 257.

Условие.

1167. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $\frac{4}{5}$ и на $\frac{6}{7}$ в результате получим натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое наименьшее натуральное число — это $N$. По условию задачи, результаты деления $N$ на $\frac{4}{5}$ и на $\frac{6}{7}$ должны быть натуральными числами.

Запишем эти условия в виде математических выражений:

1) $N \div \frac{4}{5} = N \times \frac{5}{4} = \frac{5N}{4}$ должно быть натуральным числом.

2) $N \div \frac{6}{7} = N \times \frac{7}{6} = \frac{7N}{6}$ должно быть натуральным числом.

Рассмотрим первое условие: чтобы дробь $\frac{5N}{4}$ была целым числом, произведение $5N$ должно делиться на 4 без остатка. Поскольку числа 5 и 4 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), то число $N$ должно быть кратно 4.

Рассмотрим второе условие: чтобы дробь $\frac{7N}{6}$ была целым числом, произведение $7N$ должно делиться на 6 без остатка. Поскольку числа 7 и 6 являются взаимно простыми, то число $N$ должно быть кратно 6.

Итак, искомое число $N$ должно быть одновременно кратно и 4, и 6. Чтобы найти наименьшее такое натуральное число, нам необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.

Найдем НОК(4, 6):

Разложим числа на простые множители:
$4 = 2 \times 2 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:
НОК(4, 6) = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям, — это 12.

Выполним проверку:
$12 \div \frac{4}{5} = 12 \times \frac{5}{4} = 3 \times 5 = 15$ (натуральное число).
$12 \div \frac{6}{7} = 12 \times \frac{7}{6} = 2 \times 7 = 14$ (натуральное число).

Оба результата являются натуральными числами, следовательно, число 12 является верным решением.

Ответ: 12